2022年湖南省邵陽市莨山實驗學校高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

2022年湖南省邵陽市莨山實驗學校高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的最小值是（

）

A．

4

B.

5

C.

6

D.7參考答案：B2.已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，則這三個數(shù)的大小關系是()a.m＜n＜p

b.m＜p＜n

c.p＜m＜n

d.p＜n＜m參考答案：C本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴0＜0.95.1＜1，即0＜m＜1.又∵5.1＞1，0.9＞0，∴5.10.9＞1，即n＞1.由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴l(xiāng)og0.95.1＜0，即p＜0.綜合可得p＜m＜n.3.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則下列關于復數(shù)z的說法正確的是（

）A. B.C. D.復數(shù)z在復平面內(nèi)表示的點在第四象限參考答案：C【分析】利用復數(shù)的除法求出，然后求出，，以及對應點的坐標，依次排除答案。【詳解】由，可得，，，，復數(shù)在復平面內(nèi)表示的點為，在第二象限；故答案選C【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題。4.如圖，在邊長為的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形.向正方形內(nèi)隨機撒豆子，若撒在圖形內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為，則圖形面積的估計值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D5.雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，離心率為，則的最小值為（

）A

B

C

D

參考答案：C6.若函數(shù)，則（

）A.e B.4 C. D.1參考答案：C【分析】利用分段函數(shù)的解析式先計算出的值，再計算出的值.【詳解】，，因此，，故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)值的計算，解題時要充分利用分段函數(shù)的解析式，對于多層函數(shù)值的計算，采用由內(nèi)到外逐層計算，考查計算能力，屬于基礎題.7.邊長為的正方形，其水平放置的直觀圖的面積為（▲）

A.

B.1

C.

D.8參考答案：C正方形的邊長為，故面積為8，而原圖和直觀圖面積之間的關系，故直觀圖的面積為8×=，故選：C．8.

已知，則直線OC與AB的位置關系是（

）A．平行

B．垂直

C．重合

D．相交但不垂直參考答案：B9.拋物線的焦點到準線的距離是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.蘋果手機上的商標圖案（如圖所示）是在一個蘋果圖案中，以曲線段AB為分界線，裁去一部分圖形制作而成的，如果該分界線是一段半徑為R的圓弧，且A、B兩點間的距離為，那么分界線的長度應為（）A． B． C． D．πR參考答案：C【考點】曲線與方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用分界線是一段半徑為R的圓弧，且A、B兩點間的距離為，可得∠AOB=90°，即可求出分界線的長度【解答】解：設圓心為O，則∵分界線是一段半徑為R的圓弧，且A、B兩點間的距離為，∴∠AOB=90°，∴分界線的長度為=．故選：C．【點評】本題考查曲線與方程，考查圓的周長公式，考查學生的計算能力，比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)，則m=________.參考答案：2【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，判斷即可．【詳解】若冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，則由m2﹣3m+3＝1解得：m＝2或m＝1，m＝2時，f（x）＝x，是增函數(shù)，m＝1時，f（x）＝1，是常函數(shù)（不合題意，舍去），故答案為：2．【點睛】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎題．12.記不等式組所表示的平面區(qū)域為D．若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是．參考答案：[，4]【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，我們要先畫出滿足約束條件

的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，然后將其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）對應的a的端點值即可．【解答】解：滿足約束條件

的平面區(qū)域如圖示：因為y=a（x+1）過定點（﹣1，0）．所以當y=a（x+1）過點B（0，4）時，得到a=4，當y=a（x+1）過點A（1，1）時，對應a=．又因為直線y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點．所以≤a≤4．故答案為：[，4]13.已知，若，則的最大值為

.參考答案：14.已知且

為偶函數(shù)，則

參考答案：-615.設，定義一種運算：11=2，，則=_________.參考答案：略16.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)圖像如圖所示，則函數(shù)的極大值點是：

.（把你認為是極值點的值都填上，多個用“，”隔開）參考答案：略17.若函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+1既有極大值也有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，）【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，+∞）內(nèi)既有極大值，又有極小值，故導函數(shù)為0的方程有不等的實數(shù)根，可求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：求導函數(shù)：f′（x）=3x2+2x+a，∵函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，∴△=4﹣12a＞0，∴a＜，故答案為：（﹣∞，）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.有一條直線與拋物線y=x2相交于A，B兩點，線段AB與拋物線所圍成的面積恒等于，求線段AB的中點P的軌跡方程。參考答案：設A(a,a2),B(b,b2)(a<b)則直線AB與拋物線圍成圖形的面積為：=∴

∴b－a=2

（6分）設線段AB的中點P(x,y)，其中x=,y=,將b－a=2即b=a+2代入得：消去a得：y=x2+1故所求的軌跡方程為：y=x2+1

（12分）19.（1）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，求（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值．（2）請用數(shù)學歸納法證明：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（n≥2，n∈N*）．參考答案：【考點】RG：數(shù)學歸納法；RA：二維形式的柯西不等式．【分析】（1）使用柯西不等式證明；（2）先驗證n=2成立，假設n=k成立，推導n=k+1成立即可．【解答】解：（1）由柯西不等式得：（4+4+1）×[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥[2（a﹣1）+2（b+2）+c﹣3]2，∴9[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥（2a+2b+c﹣1）2．∵2a+2b+c=8，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2≥，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是．（2）證明：①當n=2時，左邊=1﹣=，右邊==，所以等式成立．②假設當n=k（k≥2，k∈N+）時，等式成立，即

（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（k≥2，k∈N+）．當n=k+1時，（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=?==，∴當n=k+1時，等式成立．∴對n≥2，n∈N+時，等式成立．【點評】本題考查了柯西不等式的應用，屬于歸納法證明，屬于中檔題．20.已知函數(shù)在處取得極值,并且它的圖象與直線在點(1,0)處相切,求a,b,c的值.參考答案：略21.（本小題13分）已知雙曲線的漸近線方程為，為坐標原點，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線交于兩點，且，求的最小值.參考答案：解：(1)雙曲線的漸近線方程為

雙曲線的方程可設為

點在雙曲線上，可解得

雙曲線的方程為………6分

（2）設直線的方程為，點將直線的方程代入雙曲線的方程，可化為

①

………8分由即化簡得

………10分當時，成