第二章矩陣及其運(yùn)算習(xí)題課

線性代數(shù)習(xí)題講解第二章矩陣及其運(yùn)算一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)二、作業(yè)講解三、典型例題介紹一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)矩陣的概念定義特殊矩陣矩陣的運(yùn)算基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)逆矩陣定義矩陣的概念定義特殊矩陣基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)性質(zhì)矩陣的概念定義特殊矩陣矩陣的運(yùn)算基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)矩陣的概念定義特殊矩陣基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)矩陣的概念定義特殊矩陣矩陣的運(yùn)算基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)矩陣的概念定義特殊矩陣基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)

逆矩陣的求法分塊矩陣分塊對(duì)角矩陣初等變換與初等矩陣定義秩的求法定義與運(yùn)算初等變換初等矩陣矩陣的秩定義秩的相關(guān)結(jié)論

NEXT1.矩陣的概念

Back定義2.1由個(gè)元素排成的行列的數(shù)表：稱為行列矩陣，簡稱矩陣，簡記為，其中稱為的元素.

所有元素的矩陣稱為零矩陣，記為；當(dāng)時(shí)，稱為行矩陣；當(dāng)時(shí)，稱為列矩陣；當(dāng)時(shí)，稱為階方陣；若兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣.幾種常用方陣：

（1）.對(duì)角方陣（當(dāng)時(shí)，）

簡稱對(duì)角陣，可記為.

（2）.單位矩陣（當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）簡稱單位陣，可記為.（3）.上三角矩陣（當(dāng)時(shí)，）

（4）.下三角矩陣（當(dāng)時(shí)，）上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱三角矩陣.2.矩陣的運(yùn)算

設(shè)矩陣，則

矩陣相等（對(duì)一切），為同型矩陣.

矩陣的和

為同型矩陣.

數(shù)乘矩陣為任意常數(shù).

矩陣相乘

，其中即要求的列數(shù)必須等于的行數(shù).一般地矩陣的乘法不滿足交換律，即.

方陣的冪

轉(zhuǎn)置矩陣是矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.

對(duì)稱矩陣稱滿足的方陣為對(duì)稱矩陣，即對(duì)所有滿足.

反對(duì)稱矩陣稱滿足

的方陣

為對(duì)稱矩陣，即對(duì)所有

滿足.

3.逆矩陣

（7）若可逆，則.4.分塊矩陣

（2）數(shù)乘設(shè)，為數(shù)，則

.（3）乘法設(shè)為矩陣，為矩陣，分塊為

其中的列數(shù)分別對(duì)應(yīng)等于的行數(shù)，則

其中.

.（4）轉(zhuǎn)置設(shè)，則.

定義2.6設(shè)為階方陣，稱如下形式的分塊矩陣為分塊對(duì)角矩陣

其中皆為方陣.

設(shè)方陣，則有當(dāng)且均可逆時(shí)，有.

5.初等變換與初等矩陣

定義2.7矩陣的初等行（列）變換指如下三種變換：（1）對(duì)換變換：對(duì)調(diào)矩陣的第行（列）與第行（列），記為；（2）數(shù)乘變換：以非零常數(shù)乘矩陣的第記為；行（列）的所有元素，（3）倍加變換：將矩陣的行（列）的所有元素的倍加到第行（列）對(duì)應(yīng)元素上，記為.

定義2.8滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：（1）各非零行的第一個(gè)非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增加而嚴(yán)格增大；（2）如果矩陣有零行，那么零行在矩陣的最下方.定義2.9滿足下列條件的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣：（1）各非零行的第一個(gè)非零元素都是1；（2）各非零行的第一個(gè)非零元素所在列的其他元素都是零.定義2.10形如下列形式的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：定理2.4

設(shè)為非零矩陣，那么階梯形及行最簡形，再進(jìn)行初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.

一定可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行推論可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是單位矩陣，并且只需要進(jìn)行初等行變換就能將可逆矩陣化為單位矩陣.定義2.11

由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣：逆矩陣的求法：（1）根據(jù)矩陣的定義，，則（2）根據(jù)伴隨矩陣求，，其中（3）初等變換法，；.；為伴隨矩陣；6.矩陣的秩

），定義2.12

在矩陣中，任取行與列（位于這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變他們?cè)谥兴幍奈恢么涡蚨A行列式得到的的秩，記為.

定義2.14若為階方陣，，則稱為滿秩矩陣.

秩的相關(guān)結(jié)論：

（3），為非零常數(shù)；求秩的方法（1）定義法：考察矩陣的所有子式，其最高階不為0的子式的階數(shù)為矩陣的秩.（2）初等變換法：運(yùn)用初等行變化化矩陣為行階梯形，其非零行的行數(shù)即為矩陣的秩.二、作業(yè)講解1.設(shè)矩陣2.計(jì)算下列矩陣的乘積（3）.解：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2）.解：=，

，

又所以.5.設(shè)，求及.

解：，.，（必要性）若

，即

所以，化簡得.

7.證明：對(duì)于任意的矩陣，與都是對(duì)稱方陣.9.求下列矩陣的逆陣：（1）

；（2）.解：由于此題中的矩陣階數(shù)較低，可直接采用伴隨矩陣的方法求解.（1）因?yàn)?，所以可逆，?0.解下列矩陣方程：（1）；（2）.解：此類問題先求出的表達(dá)式，然后求