平行、垂直的綜合問(wèn)題

第六節(jié)平行、垂直的綜合問(wèn)題考向1

平行與垂直關(guān)系的綜合問(wèn)題【典例1】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB的中點(diǎn).求證：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【思路點(diǎn)撥】(1)由B1C1=A1C1，M為A1B1的中點(diǎn)可知C1M⊥A1B1，再根據(jù)C1M⊥A1A即可得證.(2)要證A1B⊥AM，可轉(zhuǎn)化為證明A1B⊥平面AC1M.(3)要證面面平行，應(yīng)轉(zhuǎn)化為證明線面平行.【規(guī)范解答】(1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，M是A1B1的中點(diǎn)，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1=A1，A1A，A1B1?平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B?平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M?平面AC1M，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM?平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM平面B1NC,B1N?平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN?平面B1NC，C1M平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM=M，C1M，AM?平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.【互動(dòng)探究】將本例條件“B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB的中點(diǎn)”改為“AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)”，求證：(1)B1C∥平面A1BD.(2)B1C1⊥平面ABB1A1.【證明】(1)如圖，連接AB1.令A(yù)B1∩A1B=O，則O為AB1的中點(diǎn).連接OD，∵D為AC的中點(diǎn)，∴在△ACB1中，有OD∥B1C.又∵OD?平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AB=B1B，三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，∴四邊形ABB1A1為正方形.∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD，A1B?平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又∵AC1?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，AC1∩AB1=A，∴A1B⊥平面AB1C1.又∵B1C1?平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1，∴A1A⊥B1C1.又∵A1A?平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，A1A∩A1B=A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.

【拓展提升】解決平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題的方法解答立體幾何綜合題時(shí)，要學(xué)會(huì)識(shí)圖、用圖與作圖.圖在解題中起著非常重要的作用，空間平行、垂直關(guān)系的證明，都與幾何體的結(jié)構(gòu)特征相結(jié)合，準(zhǔn)確識(shí)圖，靈活利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征找出平面圖形中的線線平行與垂直關(guān)系是證明的關(guān)鍵.【提醒】在利用線面平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)證明問(wèn)題時(shí)，一定要把條件寫全，否則不一定成立.【變式備選】如圖，已知四棱錐A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn).(1)求證：EF∥平面ABC.(2)求證：平面ADE⊥平面ADC.(3)求四棱錐A-BCDE的體積.【解析】(1)取AC中點(diǎn)G，連接FG，BG，∵F,G分別是AD，AC的中點(diǎn)，∴FG∥CD，且FG=CD=1.∵BE∥CD，BE=CD，∴FG與BE平行且相等，∴四邊形BEFG是平行四邊形.∴EF∥BG.又EF平面ABC，BG?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵△ABC為等邊三角形，∴BG⊥AC，又∵DC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴DC⊥BG.∴BG⊥平面ADC.∵EF∥BG，∴EF⊥平面ADC.∵EF?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ADC.(3)方法一：連接EC，該四棱錐分為兩個(gè)三棱錐：E-ABC和E-ACD.方法二：取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，則AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，又BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，∴AO為四棱錐A-BCDE的高且又S四邊形BCDE=∴VA-BCDE=考向2

平面圖形的折疊問(wèn)題【典例2】(1)如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面三個(gè)結(jié)論：①直線BE與AF異面；②直線BE與CF異面，EF∥平面PBC；③平面BCE∩平面PAD=EF.其中正確的有______(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).(2)(2013·鄭州模擬)圖1是由菱形BCDE和△ABC組成的五邊形，其中P為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)沿BC將菱形BCDE折起，使得AD=AB，得到如圖2所示的幾何體.證明：①AD∥平面PCE；②平面ABD⊥平面ACE.【思路點(diǎn)撥】(1)該幾何體是一個(gè)四棱錐，先畫出四棱錐，然后再判斷.(2)①由于P為AB的中點(diǎn)，故可考慮借助三角形的中位線定理證明；②要證平面ABD⊥平面ACE，可證明BD⊥平面ACE.【規(guī)范解答】(1)如圖所示，①顯然正確；由已知可得EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，即E，F(xiàn)，B，C共面，∴②錯(cuò)誤；③正確.答案:①③(2)①如圖，設(shè)菱形BCDE的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)Q，連接AQ，PQ.在△ABD中，Q為BD的中點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，則AD∥PQ.又∵PQ?平面PCE，AD平面PCE，∴AD∥平面PCE.②∵四邊形BCDE為菱形，∴BD⊥CE，且BQ=DQ.又在△ABD中，AB=AD，BQ=DQ，∴AQ⊥BD.又AQ∩CE=Q，∴BD⊥平面ACE.又BD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACE.【拓展提升】解決折疊問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量.一般情況下，線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口.(2)在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.【變式訓(xùn)練】已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=，過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E，G，F(xiàn)分別為AD，CE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.(1)求證：BC⊥平面CDE.(2)求證：FG∥平面BCD.(3)在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面BCD，并說(shuō)明理由.【解析】(1)由已知得：DE⊥AE，又DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC.又BC⊥CE，DE∩CE=E，∴BC⊥平面CDE.(2)取AB的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H.∵G為AD的中點(diǎn)，∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC.又∵BD?平面BCD，GH平面BCD，BC?平面BCD，F(xiàn)H平面BCD，∴GH∥平面BCD，F(xiàn)H∥平面BCD.又GH∩FH=H，GH，F(xiàn)H?平面FHG，∴平面FHG∥平面BCD.∵FG?平面FHG，∴FG∥平面BCD.(3)R點(diǎn)滿足3AR=RE時(shí)，平面BDR⊥平面BCD.證明如下：取BD中點(diǎn)Q，連接DR，BR，CR，CQ，RQ.容易計(jì)算CD=2，BD=，CR=，BR=，DR=，CQ=在△BDR中，∵BR=，DR=，BD=，根據(jù)余弦定理可得RQ=.在△CRQ中，CQ2+RQ2=CR2，∴CQ⊥RQ.又在△BCD中，CD=CB，Q為BD的中點(diǎn)，∴CQ⊥BD.∴CQ⊥平面BDR，又CQ?平面BCD，∴平面BDR⊥平面BCD.考向3

立體幾何中的探索性問(wèn)題【典例3】(2013·海淀模擬)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.(1)若AC⊥PD，求證：AC⊥平面PBD.(2)若平面PAC⊥平面ABCD，求證：PB=PD.(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)M(異于點(diǎn)C)使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)利用菱形的對(duì)角線互相垂直求證.(2)可由面面垂直的性質(zhì)得BD⊥平面PAC，然后借助菱形的性質(zhì)求得PB=PD.(3)可假設(shè)存在點(diǎn)M，然后從BM∥平面PAD推得結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)锳C⊥PD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD.(2)由(1)知AC⊥BD.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.因?yàn)镻O?平面PAC，所以BD⊥PO.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以BO=DO，所以PB=PD.(3)不存在滿足題中條件的點(diǎn)M.下面用反證法說(shuō)明.假設(shè)在棱PC上存在點(diǎn)M(異于點(diǎn)C)使得BM∥平面PAD.在菱形ABCD中，BC∥AD，因?yàn)锳D?平面PAD，BC平面PAD，所以BC∥平面PAD.因?yàn)锽M?平面PBC，BC?平面PBC，BC∩BM=B，所以平面PBC∥平面PAD.而平面PBC與平面PAD相交，矛盾.故假設(shè)不成立，即不存在這樣的點(diǎn)M.【拓展提升】1.探索性問(wèn)題的類型(1)探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么.(2)探索結(jié)論，即在給定的條件下，命題的結(jié)論是什么.2.求解探索性問(wèn)題的方法(1)對(duì)命題條件的探索常采用以下三種方法：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；③把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，探索命題成立的條件.(2)對(duì)命題結(jié)論的探索常采用以下方法：首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過(guò)推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，F(xiàn)是PB的中點(diǎn).(1)求證：PA⊥DF.(2)在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC？若存在，說(shuō)明G點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】(1)如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接EF，DE，則EF∥AB.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB.又AB⊥AD，PD∩AD=D，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA.∵EF∥AB，∴EF⊥PA.∵PD=DC=DA，∴DE⊥PA.∵DE∩EF=E，∴PA⊥平面DEF，∴PA⊥DF.(2)在線段AD上存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC，且G點(diǎn)是AD的中點(diǎn).理由如下：取AD的中點(diǎn)G，連接PG，BG，GF，EG，∵∠PDA=∠BAD，DG=AG，PD=DC=BA，∴△PDG≌△BAG，∴PG=BG.又F為PB的中點(diǎn)，故GF⊥PB.∵EF∥AB，AB⊥BC，∴EF⊥BC.∵EG∥PD，PD⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∴EG⊥BC.又∵EG∩EF=E，∴BC⊥平面EFG.∵GF?平面EFG，∴BC⊥GF.∵GF⊥PB，PB∩BC=B，∴GF⊥平面PBC.【滿分指導(dǎo)】解答立體幾何中的折疊問(wèn)題【典例】(12分)(2012·江西高考)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn)，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.現(xiàn)將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，得到多面體CDEFG.(1)求證：平面DEG⊥平面CFG.(2)求多面體CDEFG的體積.【思路點(diǎn)撥】

【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镈E⊥AB，CF⊥AB，CD∥AB，所以四邊形CDEF為矩形.……………1分由GD=AD