15第05章桿件的內(nèi)力講解

第5章桿件的內(nèi)力5.1桿件變形的根本形式5.2軸力與軸力圖5.3扭矩與扭矩圖5.4梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖一、內(nèi)力與截面法：1、內(nèi)力的定義：在外力作用下，構(gòu)件內(nèi)部各局部之間因相對位置改變而引起的附加的相互作用力——附加內(nèi)力。2、內(nèi)力的特點：①連續(xù)分布于截面上各處；②隨外力的變化而變化。3、截面法：用以顯示和求解內(nèi)力的方法，其步驟為：①截開：②代替：③平衡：分為兩局部，在待求內(nèi)力的截面處假想地將構(gòu)件截用內(nèi)力代替棄去局部對脫離體的作用；——通常為分布內(nèi)力系對脫離體列出平衡方程。－脫離體；取其中一局部為研究對象§5.1.1內(nèi)力、應力和應變FN——軸力FSy,FSz——剪力Mx——扭矩My、Mz——彎矩內(nèi)力分量分布內(nèi)力可以簡化為主矢和主矩,用FR和M表示。工程計算中有意義的是內(nèi)力的主矢和主矩在確定坐標系上的分量——應力的概念:比較a、b圖桿兩桿①應力定義：截面上一點處內(nèi)力的聚集程度FNFN兩桿的材料、長度均相同。所受的內(nèi)力相同，為FN顯然粗桿更為平安。

構(gòu)桿的強度與內(nèi)力在截面上的分布和在某點處的聚集程度有關。二、應力是反映一點處內(nèi)力的強弱程度的根本量應力：一點處內(nèi)力的聚集程度②一點的全應力：⊥截面；∥截面。③垂直于截面的應力分量----正應力④切于截面的應力分量------切應力三者之間的關系：⊿A面積上的內(nèi)力合力應力的單位：，或帕(Pa)。1Mpa(兆帕〕=106Pa,1GPa〔吉帕〕=109Pa。三、應變〔衡量變形程度的根本量〕棱邊ka的平均正應變k點沿棱邊ka方向的正應變一、正應變〔線應變〕定義正應變特點1、正應變是無量綱量2、過同一點不同方位的正應變一般不同二、切應變定義微體相鄰棱邊所夾直角的改變量g

，稱為切應變切應變?yōu)闊o量綱量切應變單位為弧度〔rad〕切應變量綱與單位鋼的彈性模量：銅的彈性模量：三、應力應變之間的相互關系

實驗結(jié)果表明：在彈性范圍內(nèi)加載，正應力與正應變存在線性關系：——虎克定律

E稱為材料的彈性模量或楊氏模量實驗結(jié)果表明：在彈性范圍內(nèi)加載，切應力與切應變存在線性關系：——剪切虎克定律

G稱為材料的切變模量,也稱剪切彈性模量鋼的切變模量：一點的應力與一點的應變之間存在對應的關系單向正應力作用下的變形切應力作用下的變形5.1.2桿件變形的根本形式桿在各種形式的外力作用下，其變形形式是多種多樣的。但不外乎是某一種根本變形或幾種根本變形的組合。桿的根本變形可分為：〔1〕軸向拉伸或壓縮〔2〕剪切〔3〕扭轉(zhuǎn)〔4〕彎曲12桿件的根本變形可分為以下四種：〔1〕.軸向拉伸或軸向壓縮：在兩個作用線與直桿軸線重合的外力作用下，變形形式表現(xiàn)為桿件長度的伸長或縮短。13〔2〕.剪切：在相距很近的大小相等、方向相反、相互平行的一對力作用下，直桿的主要變形是橫截面沿外力作用方向發(fā)生相對錯動。14〔3〕.扭轉(zhuǎn)：在一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面都垂直于直桿軸線的一對外力偶作用下，直桿的兩個相鄰橫截面將發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動，桿件外表縱向線將變?yōu)槁菪€，而軸線仍保持為直線?！?〕彎曲直桿受到垂直于軸線的外力或在包含軸線的平面內(nèi)的力偶作用時，桿的軸線發(fā)生彎曲。桿在外力作用下，假設同時發(fā)生兩種或兩種以上的根本變形，那么稱為組合變形。MM16在工程結(jié)構(gòu)中，桿件在荷載作用下的變形大多為上述幾種根本變形形式的組合——組合變形。5.2軸力與軸力圖ABFAyFAxFPFPFQ/2FPFQFP/2FQ/2FP/2FB外力特點：外力的合力作用線與桿的軸線重合。ABFCBCFNCBFNBCCAFNACFNCAFFll'FFl'l變形特點：桿的主要變形是軸線方向的伸長或縮短，同時桿的橫向〔垂直于軸線方向〕尺寸縮小或增大。19由于外力的作用而引起的“附加內(nèi)力〞，有別于物體中微觀粒子間的作用力，這就是材料力學中的內(nèi)力。5.2.2軸力、截面法、軸力圖當直桿軸向拉伸或壓縮時，所產(chǎn)生的內(nèi)力是沿桿件軸線的，故稱為軸力。軸力的正負號規(guī)定：拉力為正，壓力為負。由于內(nèi)力是受力物體內(nèi)相鄰局部的相互作用力，可用截面法來分析內(nèi)力?！?.2.1拉壓桿的內(nèi)力與計算5.2.1內(nèi)力的概念20截面法的根本步驟如下：1〕截開：2〕代替：3〕平衡：簡捷法21為了表示軸力隨橫截面位置而變化的情況，可選取一定的比例，用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上軸力的數(shù)值，從而繪出表示軸力與截面位置關系的圖線，稱為軸力圖。

習慣上將正值的軸力畫在坐標軸的上側(cè)，負值的軸力畫在下側(cè)。軸力圖上可以確定最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置。畫軸力圖時應注意兩個問題：1.求軸力時，外力不能沿作用線隨意移動。2.截面不能剛好截在外力作用點處。例5–1

求圖示桿的軸力，并畫軸力圖。CBAlba2FnnmmFF解：〔1〕分段求軸力nFN2nFCBAlba2FnnmmFFFFFNx-+FN1mmF〔2〕畫軸力圖例5–2

圖示桿在A、B、C、D四個截面各有一集中力作用，作桿的軸力圖。10kN15kN20kN15kN112233ABCD解：〔1〕分段求軸力10kN11FN110kN15kN22FN220kN33FN310kN15kN20kN15kN112233ABCD-+10520FNx(kN)〔2〕畫軸力圖5.3扭矩與扭矩圖外力特點：外力偶作用在垂直于桿軸線的平面內(nèi)，它一般是由外力簡化得到的。FFTTT變形特點：桿的橫截面繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動，任意兩橫截面之間產(chǎn)生相對角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角；縱線也隨之轉(zhuǎn)過一角度g。工程上，以扭轉(zhuǎn)為主要變形的圓桿通常稱為軸。jgTT§5.3.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力1傳動軸的外力偶矩工程中常見的傳動軸，通常給出的是軸所傳遞的功率和其轉(zhuǎn)速。因此需要求出使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)的外力偶矩。2、求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的方法—截面法ⅠⅠIIMn3、受扭圓軸橫截面上的內(nèi)力—扭矩右手定那么：右手四指內(nèi)屈，與扭矩轉(zhuǎn)向相同，那么拇指的指向表示扭矩矢的方向，假設扭矩矢方向與截面外法線相同，規(guī)定扭矩為正，反之為負。扭矩符號規(guī)定：4、扭矩的符號規(guī)定—右手螺旋法那么mIImIIIIII5.3.2扭矩和扭矩圖

圖a所示一圓截面的受扭桿，用截面法求1-1截面上的內(nèi)力。假設取左段為研究對象，由平衡方程得

如果取右段為研究對象（圖c），所得到的1-1截面上的扭矩T，其值仍為，但轉(zhuǎn)向與圖b中所示相反。作用在軸上的外力偶矩往往有多個，因此不同軸段上橫截面的扭矩也各不相同。為了表示沿軸線各截面上的扭矩的變化情況，可仿照作軸力圖的方法繪制扭矩圖。

圖中沿軸線方向的橫坐標表示橫截面的位置，與軸線方向垂直的縱坐標表示相應橫截面上的扭矩值。習慣上將正值的扭矩畫在坐標軸的上側(cè)，負值的扭矩畫在下側(cè)。例5-3

圖示傳動軸，主動輪A輸入功率PA=500kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為，PB=PC=150kW，PD=200kW，軸的轉(zhuǎn)速為n=300轉(zhuǎn)/分。作軸的扭矩圖。332211TATCTDTB〔1〕求外力偶矩332211TATCTDTB解：〔2〕求各段扭矩332211TATCTDTB11TBMx122TCTBMx233TDMx3〔3〕畫扭矩圖|Mx|max=9.56kN·m，發(fā)生在AC段。332211TATCTDTBxMx(kN·m)-+4.789.566.375.4梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖以彎曲為主要變形的桿，通常稱為梁。GAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJFFABFFABFRAFRB5.4梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖工程中大局部梁的橫截面都有一根對稱軸，因而整個桿件有一個包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。當作用在桿件上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，彎曲變形后的軸線也將是位于這個對稱面內(nèi)的一條曲線。這種對稱彎曲是彎曲問題中最常見的情況。外力特點：作用在桿件上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，這里外力包括集中力、分布力或集中力偶。變形特點：桿的軸線彎成曲線。FPq5.4.1梁的內(nèi)力——剪力和彎矩1．截面法求某橫截面的剪力和彎矩根據(jù)平衡方程，可求得支座反力；再用截面法分析和計算任一橫截面上的內(nèi)力。F2xlFRBFRAmF1ABm沿m–m截面將梁截開，取左段梁為研究對象。F2xlFRBFRAmF1ABmxFRAAFQMx在該段梁上作用有支座反力FRA，那么截面m–m上必定存在與該截面平行的內(nèi)力——剪力，用FQ表示。同時，該截面上必有一內(nèi)力偶——彎矩，用Mz表示。截面m–m上的剪力和彎矩也可由右段梁的平衡方程求出，大小與由左段梁相同，但方向相反。F2xlFRBFRAmF1ABmF2FRBF1BFQMxFRAAFQMx正、負號規(guī)定：剪力：作用于橫截面上的剪力使研究對象有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的為正，反之為負。彎矩：作用在橫截面上的彎矩使研究對象產(chǎn)生下凸趨勢的為正〔下側(cè)受拉為正〕，反之為負。簡捷法：〔1〕任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)〔左側(cè)或右側(cè)〕所有豎向外力的代數(shù)和。截面左邊向上的外力〔右邊向下的外力〕使截面產(chǎn)生正號的剪力。〔使得考慮的隔離體有順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢的外力引起正剪力，反之那么引起負值剪力?！场?〕任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)〔左側(cè)或右側(cè)〕所有外力〔包括外力偶〕對該截面形心的力矩的代數(shù)和。截面左邊的順時針的力矩〔右邊逆時針的力矩〕使截面產(chǎn)生正號的彎矩。2、剪力方程和彎矩方程為了說明梁的各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，可將橫截面的位置用x表示，把橫截面上的剪力和彎矩寫成x的函數(shù)，即——剪力方程——彎矩方程5.4.2梁的內(nèi)力圖——剪力圖和彎矩圖根據(jù)剪力方程和彎矩方程，可以畫出剪力圖和彎矩圖。由剪力圖和彎矩圖可以看出梁的各橫截面上剪力和彎矩的變化情況，同時可找出梁的最大剪力和最大彎矩以及它們所在的截面。注意：正的剪力畫在橫坐標軸的上方，正的彎矩畫在橫坐標軸的下方〔即彎矩畫在梁的受拉一側(cè)〕。例5–5一簡支梁受均布荷載作用。試列出剪力方程和彎矩方程，畫剪力圖和彎矩圖。lBA解：〔1〕求支座反力由平衡方程及對稱性條件得到FRBFRAxlBA〔2〕列剪力方程和彎矩方程FRBFRAql/82Mz圖ql/2ql/2FQ圖xlBA〔3〕畫剪力圖和彎矩圖剪力隨x成線性變化，即剪力圖是直線。彎矩是x的二次函數(shù)，即彎矩圖是二次拋物線。由剪力圖和彎矩圖看出由得彎矩有極值的截面位置為例5–6一簡支梁受一集中荷載作用。試列出剪力方程和彎矩方程，并畫剪力圖和彎矩圖。lFBAbaC解：〔1〕求支座反力FRBFRAlxFBAbaC〔2〕列剪力方程和彎矩方程AC段：CB段：FRBFRAlxFBAbaCMz圖FablFQ圖FblFal〔3〕畫剪力圖和彎矩圖剪力圖如下圖彎矩圖如下圖集中力作用點C處，剪力圖發(fā)生突變，突變大?。篎，方向：從左往右與F一致，彎矩圖有尖角。由剪力圖和彎矩圖看出：例5–7一簡支梁在C處受一矩為Me的集中力偶作用。試列出剪力方程和彎矩方程，并畫剪力圖和彎矩圖。lMeBAbaC解：〔1〕求支座反力xMeBAbaClFRBFRA〔2〕列剪力方程和彎矩方程AC段：CB段：xMz圖MaleMbleFQ圖MelMeBAbaClFRBFRA〔3〕畫剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖如下圖在集中力偶作用點C處，剪力無影響，彎矩發(fā)生突變，突變值：等于該集中力偶的數(shù)值，方向：從左往右逆上順下。5.4.3剪力、彎矩和荷載集度之間的關系由上節(jié)的例題可以看出，剪力圖和彎矩圖的變化有一定的規(guī)律性。事實上，剪力、彎矩和荷載集度之間存在一定的關系，了解并掌握這些關系，將給作圖帶來極大的方便，甚至不用列內(nèi)力方程就可以畫出內(nèi)力圖來。幾何意義：剪力圖上某點的切線斜率等于梁上與該點對應處的荷載集度。彎矩圖上某點的切線斜率等于梁上與該點對應處的橫截面上的剪力。橫截面上的彎矩對x的二階導數(shù)，等于同一橫截面上分布荷載的集度。該式可用來判斷彎矩圖的凹凸方向。59

荷載集度、剪力與彎矩之間的關系以及剪力圖、彎矩圖的特征匯總整理見表5.1。利用上述規(guī)律，可以方便地畫出剪力圖和彎矩圖，而不需列出剪力方程和彎矩方程：先求出支座反力〔如果需要的話〕，再由左至右求出幾個控制截面的剪力和彎矩，在控制截面之間，利用以上關系式，可以確定剪力圖和彎矩圖的線型，最后得到剪力圖和彎矩圖。如果梁上某段內(nèi)有分布荷載作用，那么需求出該段內(nèi)剪力FQ=0截面上彎矩的極值，最后標出具有代表性的剪力值和彎矩值。例5–8畫圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。aqBAaC2qa解：〔1〕求支座反力〔2〕畫剪力圖〔3〕畫彎矩圖FQ圖5qa/43qa/47qa/4Mz圖25qa/4aqBAaC2qaFRBFRA63

解：〔1〕由平衡方程和求得A、B處的支座反力分別為：方向如下圖。例題5.9：圖示外伸梁，