江蘇省蘇州市景范中學2024屆數(shù)學高一上期末聯(lián)考模擬試題含解析

江蘇省蘇州市景范中學2024屆數(shù)學高一上期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.3．已知，則()A. B.1C. D.24．設(shè)命題，則命題p的否定為（）A. B.C. D.5．如圖，點，，分別是正方體的棱，的中點，則異面直線和所成的角是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.7．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.8．如圖是函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，則其解析式是（）A. B.C. D.9．若角的終邊和單位圓的交點坐標為，則（）A. B.C. D.10．圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是（）A.2 B.1＋C.2＋ D.1＋二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．______.12．已知，若，則__________.13．若在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)值滿足等式，則實數(shù)k的取值范圍是_______14．已知長方體的長、寬、高分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是________.15．已知集合．（1）集合A的真子集的個數(shù)為___________；（2）若，則t的所有可能的取值構(gòu)成的集合是___________．16．已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)根，那實數(shù)的取值范圍為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．我們知道，指數(shù)函數(shù)（，且）與對數(shù)函數(shù)（，且）互為反函數(shù).已知函數(shù)，其反函數(shù)為.（1）求函數(shù)，的最小值；（2）對于函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“L函數(shù)”.已知函數(shù)為其定義域上的“L函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.18．已知，、、在同一個平面直角坐標系中的坐標分別為、、（1）若，求角的值；（2）當時，求的值19．在三棱錐中，，，O是線段AC的中點，M是線段BC的中點.（1）求證：PO⊥平面ABC；（2）求直線PM與平面PBO所成的角的正弦值.20．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值，并求函數(shù)取得最大值和最小值時的自變量的值21．已知向量=(3，2)，=(-1，2)，=(4，1)（1）若=m+n，求m，n的值；（2）若向量滿足(-)(+)，|-|=2，求的坐標.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性和單調(diào)性逐一判斷即可得出答案.【題目詳解】解：對于A，函數(shù)的最小正周期為，不符合題意；對于B，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；對于C，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對于D，函數(shù)的最小正周期為，不符合題意.故選：B.2、D【解題分析】先作函數(shù)和的圖象，利用特殊值驗證A錯誤，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的對稱性，計算判斷BCD的正誤即可.【題目詳解】作函數(shù)和的圖象，如圖所示：當時，，即，解得，此時，故A錯誤；結(jié)合圖象知，，當時，可知是方程，即的二根，故，，端點取不到，故BC錯誤；當時，，即，故，即，所以，故，即，所以，故D正確.故選：D.【題目點撥】方法點睛：已知函數(shù)有零點個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)或相關(guān)問題，常先分離參數(shù)，再作圖象，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合法進行分析即可.3、D【解題分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式化為對數(shù)式，再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算法則計算可得；【題目詳解】解：，，，，故選：D4、C【解題分析】由全稱命題的否定是特稱命題即可得解.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可知，命題的否定命題為，故選：C5、C【解題分析】通過平移的方法作出直線和所成的角，并求得角的大小.【題目詳解】依題意點，，分別是正方體的棱，的中點，連接，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線和所成的角，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，是等邊三角形，所以，所以直線和所成的角為.故選：C【題目點撥】本小題主要考查線線角的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】由已知可得出，利用弦化切可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值.【題目詳解】因為，且，則，，可得，解得.故選：D7、D【解題分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合0,1兩個中間量即可求得答案.【題目詳解】因為，，，所以.故選：D.8、B【解題分析】通過函數(shù)的圖象可得到：A=3，，，則，然后再利用點在圖象上求解.，【題目詳解】由函數(shù)的圖象可知：A=3，，，所以，又點在圖象上，所以，即，所以，即，因為，所以所以故選：B【題目點撥】本題主要考查利用三角函數(shù)的圖象求解析式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】直接利用三角函數(shù)的定義可得.【題目詳解】因為角的終邊和單位圓的交點坐標為，所以由三角函數(shù)定義可得：.故選：C10、B【解題分析】根據(jù)圓心到直線的距離加上圓的半徑即為圓上點到直線距離的最大值求解出結(jié)果.【題目詳解】因為圓心為，半徑，直線的一般式方程為，所以圓上點到直線的最大距離為：，故選：B【題目點撥】本題考查圓上點到直線的距離的最大值，難度一般.圓上點到直線的最大距離等于圓心到直線的距離加上圓的半徑，最小距離等于圓心到直線的距離減去半徑.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】利用兩角和的正切公式進行化簡求值.【題目詳解】由于，所以，即，所以故答案為：【題目點撥】本小題主要考查兩角和的正切公式，屬于中檔題.12、【解題分析】由已知先求得，再求得，代入可得所需求的函數(shù)值.【題目詳解】由已知得，即，所以，而，故答案為.【題目點撥】本題考查函數(shù)求值中的給值求值問題，關(guān)鍵在于由已知的函數(shù)值求得其數(shù)量關(guān)系，代入所需求的函數(shù)解析式中，可得其值，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】討論函數(shù)在的單調(diào)性即可得解.【題目詳解】函數(shù)，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，，，，所以在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)值滿足等式，則，所以.故答案為：14、【解題分析】長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積【題目詳解】長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，所以長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為：，所以球的半徑為：，則這個球的表面積是：故答案為：【題目點撥】本題考查球的內(nèi)接多面體的有關(guān)知識，球的表面積的求法，注意球的直徑與長方體的對角線的轉(zhuǎn)化是本題的解答的關(guān)鍵，考查計算能力，空間想象能力15、①.15②.【解題分析】（1）根據(jù)集合真子集的計算公式即可求解；（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解．【題目詳解】解：（1）集合A的真子集的個數(shù)為個，（2）因為，又，所以t可能的取值構(gòu)成的集合為，故答案為：15；．16、【解題分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的問題，觀察圖象即可得到結(jié)果.【題目詳解】作出的圖象，如下圖所示：∵關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)根，∴函數(shù)的圖象與有且只有一個交點，由圖可知，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【解題分析】（1）利用換元法令，可得所求為關(guān)于p的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析討論，即可得答案.（2）根據(jù)題意，分別討論在、和上存在實數(shù)，滿足題意，根據(jù)所給方程，代入計算，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，分析即可得答案.【小問1詳解】由題意得所以，，令，設(shè)則為開口向上，對稱軸為的拋物線，當時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的最小值為；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；當時，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以的最小值為；綜上，當時，的最小值為，當時，的最小值為，當時，的最小值為【小問2詳解】①設(shè)在上存在，滿足，則，令，則，當且僅當時取等號，又，所以，即，所以，所以所以②設(shè)存在，滿足，則，即有解，因為在上單調(diào)遞減，所以，同理當在存在，滿足時，解得，所以實數(shù)的取值范圍【題目點撥】解題的關(guān)鍵是理解新定義，并根據(jù)所給定義，代入計算，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)存在性思想，進行求解，屬難題18、（1）（2）-【解題分析】⑴首先可以通過、、寫出和，然后通過化簡可得，最后通過即可得出角的值；⑵首先可通過化簡得到，再通過化簡得到，最后對化簡即可得到的值【題目詳解】⑴已知、、，所以，，因為，所以化簡得，即，因為，所以；⑵由可得，化簡得，，所以，所以，綜上所述，【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)以及向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了三角恒等變換的相關(guān)性質(zhì)以及向量的運算的相關(guān)性質(zhì)，考查了計算能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，鍛煉了學生對于公式的使用，是難題19、（1）證明見解析；（2）【解題分析】（1）利用勾股定理得出線線垂直，結(jié)合等邊三角形的特點，再次利用勾股定理得出線線垂直，進而得出線面垂直；（2）根據(jù)線面垂直面，得出線和面的夾角，從而得出線面角的正弦值.【題目詳解】（1）由，有，從而有，且又是邊長等于的等邊三角形，.又，從而有又平面.（2）過點作交于點，連.由（1）知平面，得，又平面是直線與平面所成的角.由（1），從而為線段的中點，，，所以直線與平面所成的角的正弦值為20、（1）;（2）【解題分析】【試題分析】（1）先運用三角變換公式化簡，再用周期公式求解；（2）借助所給定義域內(nèi)的變量的取值范圍結(jié)合三角函數(shù)的圖象探求..（1）.（2）.點睛：本題旨在考查二倍角正弦、余弦公式、兩角和差的正弦公式以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)等有關(guān)知識的綜合運用．第一問時，先借助二倍角的正弦、余弦公式及兩角和的正弦公式將其化簡，再運用周期公式求解；解答第二問時，