第2講曲線運動的描述

#第三節(jié)曲線運動的描述質點的運動總是要經(jīng)過一定的軌道。在第二節(jié)，講述了描述質點運動所需要的四個物理量，并沒有涉及質點運動所經(jīng)歷的軌道的樣式。質點的運動軌道可以是直線，也可以是曲線，且曲線運動是常見的運動形式，因此本節(jié)將研究如何描述質點的曲線運動。為簡單起見，本節(jié)只研究平面曲線運動，即質點運動的軌道在一個平面上。描述質點的曲線運動,.就是要找出質點在曲線運.動過程.中的位置、…速度加速度及運動方程等的數(shù)學表示形式。1曲線的描述——曲線的曲率、曲率圓、曲率半徑、曲率中心、鄰切角如圖1所示，從曲線上的兩個臨近的點Pl、P2各引出一條切線，設兩條切線的夾角為△0,兩點Pl、P2間的弧長為△S，那么曲線在Pl點處的曲率定義為"mi（i）ds軌逍R"mi（i）ds軌逍R曲率拠圖1曲線的曲率、鄰切角、曲率圓圖1中，兩個無限臨近的點Pi、P2切線間的夾角d0稱為鄰切角。由1式看到，曲線上某點的曲率等于在此點處的鄰切角d0與元弧ds的比值。過P1點可以作一個圓，若此圓的曲率等于P1點處曲線的曲率，那么此圓稱為曲線在此點處的曲率圓。此曲率圓的半徑為dsd并稱其為曲線在此點處的曲率半徑，曲率圓的圓心 0稱為此曲線在P1點處

的曲率中心。2平面曲線運動的描述在上一節(jié)，使用直角坐標系描述物體的質點的運動是較常用的方法， 但是在描述曲線運動時,直角坐標系就顯得不很方便，自然坐標系則能夠方便地描述質點的曲線運動。2.1自然坐標系如圖2所示，在描述曲線運動時，可以在曲線上任意選一個點0作為原點，沿著曲線建立一個彎曲的坐標軸，并沿著曲線指定一個正方向（人為的，隨意的），圖2自然坐標系自然坐標系中常常使用兩個單位矢量表示速度和加速度：切向單位矢量和法向單位矢量。切向單位矢量：沿曲線的切線且指向自然坐標s增加的方向的單位矢量，通常用T表示。法向單位矢量：沿著曲線的法線方向且指向曲線凹側的單位矢量，通常用n表示。很明顯，這兩個單位矢量是相互垂直的。曲線上任意一點P處的切向單位矢量和法向單位矢量如圖3所示。注意：t和n不是恒矢量。雖然其大小不變，皆為1，但其方向將隨著P點的位置的變化而發(fā)生變化。因而dT0，dn0（0矢量）。dt dt2.2自然坐標系中質點的位置及運動方程

質點相對于原點的弧長s就是它在此坐標系中的位置坐標。圖2a中點P的位置坐標為s,而圖2b中點P的位置坐標為一s。自然坐標系中，質點的運動方程為s=s(t)2.3曲線運動中質點的速度如圖4所示，質點沿著曲線運動，t時刻運動到Pi點，t+At時刻運動到P2點，當△t0時，△r的方向趨于Pi點的切向；而厶r的大小則等于Pi到P2的弧長As。所以有，當△t0時，△r=△stlitmlitmostdst=vtdt式中vdt，是速度的切向分量。由此看到，在曲線運動中質點的式中vdt，是速度的切向分量。由此看到，在曲線運動中質點的速度沒2.4曲線運動中質點的加速度如圖5所示，對于曲線運動，質點的加速度的方向一般不會與質點的速度方向相同，且加速度的方向總是指向曲線凹進去的一邊。圖5加速度的方向利用自然坐標系，將質點運動的加速度分解成切向加速度和法向加速度是比較方便的。下面設法進行分解。如圖6a所示，質點沿著曲線運動，t時刻運動到Pi點，速度為vi,t+△t時刻運動到P2點，速度為V2,并設曲線在Pi點處的曲率半徑為R。求質點在Pi點處的加速度。設鄰切角為△9,弧長為△s。如圖6b所示，將矢量V2平移到A點，在矢量AC上截取|AD|=AB|的長度，連接BD、BC,那么矢量BC=△v就是速度增量，注意到vT=Av反映了速度大小的增量，而矢量BD=△Vn則反映了速度方向的增量。由此速度的增量可表示為△v=Av+AVn(a) (b) (M圖6切向加速度與法向加速度注意：一般說來，△VM△v|。因為:△V=V2—vl， △V|=|v2—vl|；△V=|V2|—Iv1是速度大小的改變量。下面說明，極限情況下，△Vt是速度增量的切向分量，而△Vn則是速度增量的法向分量。在圖6c中，當△t0時，0,則/ABD90°即厶Vn與Pi點的切線垂直，因而沿著曲線在Pi點的法線方向。則有△Vn=vn|n，若令V=|V1|，由于0時，◎vn|=vA9,所以△Vn=△Vn|n="△9n，圖6c中，0時，△—的方向與Vi方向相同，即沿著曲線在Pi點的切線方向。于是有：△Vt=△vTt△VT由此，Pi點的加速度為v v vn V Valimlimlim-limtlimn

t0tt0tt0tt0tt0t

dvd—Tvndtdt利用(2)及⑶式有，dddsv。于是，(4)式可寫成dtdsdtRdvddv2va Tv n—t—naTTanndtdtdtR式中adv v式中adv v2t,an —noadt R是切向加速度分量，反映了速度大小的dt2變化；an 是法向加速度分量，反映了速度方向的變化進一步，根據(jù)(3)式，有an加速度的大小為加速度的方向與切線方向的夾角dv d2s an加速度的大小為加速度的方向與切線方向的夾角dv d2s T= 2Tdt dt22vnR~2、?、aanarctan西aT(6a)(6b)(6c)(6d)國際單位制中加速度的單位為：米/秒2(m/s2，m.s-2)4本節(jié)小結本節(jié)的難點是推導加速度的數(shù)學表達式， aarTann。同時理解a，產(chǎn)生的原因(2)使用加速度公式(2)使用加速度公式a律T戸靈活應用解題。討論題下列情況時，質點各作什么運動：at等于0,an等于0,質點做什么運動？勻速直線運動a等于0,an不等于0,質點做什么運動？圓周運動

a不等于0,r等于0,質點做什么運動？變速（加速）直線運動at不等于0,an不等于0,質點做什么運動？曲線運動例題1以初速度vo平拋一小球，不計空氣阻力，求t時刻小球的切向加速度、法向加速度的大小及此式運動軌道的曲率半徑。解：小球運動的加速度是已知的，為重力加速度g,要求t時刻小球的切向加速度和法向加速度，則只需要將重力加速度沿著軌道的切向和法向進行分解。如圖9所示，對g進行分解時，需要求出g與vn間的夾角。此夾角可以通過求解t時刻球的速度得到。作平拋運動的小球，其運動可分解為水平方向的勻Vx=V0，在垂直速運動和垂直方向的自由落體運動。在水平方向上小球的速度為方向上小球在agsinVy

g—V_gtg22,2速運動和垂直方向的自由落體運動。在水平方向上小球的速度為方向上小球在agsinVy

g—V_gtg22,2Vo gtg2tg2t2angcosgVxVgvo根據(jù)（5）式關于法向加速度的定義可得，此時的軌道曲率半徑為TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 ^2 32‘ V2 Vx Vy V0 gtR - -an an gv。練習題列車在圓弧形軌道上自東轉向北行駛，在我們所討論的時間范圍內，其運動學方程為s=80t-12，（長度：米，時間：秒）.t=0時，列車在點O處.此圓弧形軌道的半徑R=1500m.求列車駛過O點以后前進至1200m處的速率及加速度。提示：以O點為原點建立自然坐標系，先求出運行至1200m處所需的時間，再由6a式直接求切向加速度；由（3）式求出速率后，由（6b）式求法向加速度。

例題2質點M在水平面內運動軌道如圖10所示：OA段為直線，AB和BC段分別為不同半徑的兩個1/4圓周。設t=0時M在0點，其運動方程為S=30t+5t2(SI),求t=2秒時質點M的切向加速度和法向加速度。質點的瞬時速率v=ds/dt=30+10t解:t=2s時S=質點的瞬時速率v=ds/dt=30+10t(m/s),t=2s時，v=50m/s。于是有q 10m/s2,aq 10m/s2,andt妙83.3m/s230T例題3一質點在xOy平面內作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。已知 ax=2,ay=36t2。設質點t=0時r°=0,v0=O。求：此質點的運動方程；此質點的軌道方程；此質點的切向加速度。解：(1)由加速度求運動學方程，需要進行積分運算。dvxdtaydvydt2dvx2dt,dvy36tdtvx0dvx七2dt， Vydvy 七36t2dt00y0vx2t，Vy 12t3rr3r

v2ti12tjdxvx五，vydy

dtdx2tdt，dy12t3dtx t y0dx 02tdt，0dy】2t3dt0xt2,y3t4所以質點的運動方程為:2 42 4ti