第2講曲線運(yùn)動(dòng)的描述

#第三節(jié)曲線運(yùn)動(dòng)的描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是要經(jīng)過一定的軌道。在第二節(jié)，講述了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所需要的四個(gè)物理量，并沒有涉及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的軌道的樣式。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道可以是直線，也可以是曲線，且曲線運(yùn)動(dòng)是常見的運(yùn)動(dòng)形式，因此本節(jié)將研究如何描述質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見，本節(jié)只研究平面曲線運(yùn)動(dòng)，即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道在一個(gè)平面上。描述質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng),.就是要找出質(zhì)點(diǎn)在曲線運(yùn).動(dòng)過程.中的位置、…速度加速度及運(yùn)動(dòng)方程等的數(shù)學(xué)表示形式。1曲線的描述——曲線的曲率、曲率圓、曲率半徑、曲率中心、鄰切角如圖1所示，從曲線上的兩個(gè)臨近的點(diǎn)Pl、P2各引出一條切線，設(shè)兩條切線的夾角為△0,兩點(diǎn)Pl、P2間的弧長(zhǎng)為△S，那么曲線在Pl點(diǎn)處的曲率定義為"mi（i）ds軌逍R"mi（i）ds軌逍R曲率拠圖1曲線的曲率、鄰切角、曲率圓圖1中，兩個(gè)無限臨近的點(diǎn)Pi、P2切線間的夾角d0稱為鄰切角。由1式看到，曲線上某點(diǎn)的曲率等于在此點(diǎn)處的鄰切角d0與元弧ds的比值。過P1點(diǎn)可以作一個(gè)圓，若此圓的曲率等于P1點(diǎn)處曲線的曲率，那么此圓稱為曲線在此點(diǎn)處的曲率圓。此曲率圓的半徑為dsd并稱其為曲線在此點(diǎn)處的曲率半徑，曲率圓的圓心 0稱為此曲線在P1點(diǎn)處

的曲率中心。2平面曲線運(yùn)動(dòng)的描述在上一節(jié)，使用直角坐標(biāo)系描述物體的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是較常用的方法， 但是在描述曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),直角坐標(biāo)系就顯得不很方便，自然坐標(biāo)系則能夠方便地描述質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)。2.1自然坐標(biāo)系如圖2所示，在描述曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以在曲線上任意選一個(gè)點(diǎn)0作為原點(diǎn)，沿著曲線建立一個(gè)彎曲的坐標(biāo)軸，并沿著曲線指定一個(gè)正方向（人為的，隨意的），圖2自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系中常常使用兩個(gè)單位矢量表示速度和加速度：切向單位矢量和法向單位矢量。切向單位矢量：沿曲線的切線且指向自然坐標(biāo)s增加的方向的單位矢量，通常用T表示。法向單位矢量：沿著曲線的法線方向且指向曲線凹側(cè)的單位矢量，通常用n表示。很明顯，這兩個(gè)單位矢量是相互垂直的。曲線上任意一點(diǎn)P處的切向單位矢量和法向單位矢量如圖3所示。注意：t和n不是恒矢量。雖然其大小不變，皆為1，但其方向?qū)㈦S著P點(diǎn)的位置的變化而發(fā)生變化。因而dT0，dn0（0矢量）。dt dt2.2自然坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的位置及運(yùn)動(dòng)方程

質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的弧長(zhǎng)s就是它在此坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)。圖2a中點(diǎn)P的位置坐標(biāo)為s,而圖2b中點(diǎn)P的位置坐標(biāo)為一s。自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t)2.3曲線運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的速度如圖4所示，質(zhì)點(diǎn)沿著曲線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到Pi點(diǎn)，t+At時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到P2點(diǎn)，當(dāng)△t0時(shí)，△r的方向趨于Pi點(diǎn)的切向；而厶r的大小則等于Pi到P2的弧長(zhǎng)As。所以有，當(dāng)△t0時(shí)，△r=△stlitmlitmostdst=vtdt式中vdt，是速度的切向分量。由此看到，在曲線運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的式中vdt，是速度的切向分量。由此看到，在曲線運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的速度沒2.4曲線運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的加速度如圖5所示，對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的加速度的方向一般不會(huì)與質(zhì)點(diǎn)的速度方向相同，且加速度的方向總是指向曲線凹進(jìn)去的一邊。圖5加速度的方向利用自然坐標(biāo)系，將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度分解成切向加速度和法向加速度是比較方便的。下面設(shè)法進(jìn)行分解。如圖6a所示，質(zhì)點(diǎn)沿著曲線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到Pi點(diǎn)，速度為vi,t+△t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到P2點(diǎn)，速度為V2,并設(shè)曲線在Pi點(diǎn)處的曲率半徑為R。求質(zhì)點(diǎn)在Pi點(diǎn)處的加速度。設(shè)鄰切角為△9,弧長(zhǎng)為△s。如圖6b所示，將矢量V2平移到A點(diǎn)，在矢量AC上截取|AD|=AB|的長(zhǎng)度，連接BD、BC,那么矢量BC=△v就是速度增量，注意到vT=Av反映了速度大小的增量，而矢量BD=△Vn則反映了速度方向的增量。由此速度的增量可表示為△v=Av+AVn(a) (b) (M圖6切向加速度與法向加速度注意：一般說來，△VM△v|。因?yàn)?△V=V2—vl， △V|=|v2—vl|；△V=|V2|—Iv1是速度大小的改變量。下面說明，極限情況下，△Vt是速度增量的切向分量，而△Vn則是速度增量的法向分量。在圖6c中，當(dāng)△t0時(shí)，0,則/ABD90°即厶Vn與Pi點(diǎn)的切線垂直，因而沿著曲線在Pi點(diǎn)的法線方向。則有△Vn=vn|n，若令V=|V1|，由于0時(shí)，◎vn|=vA9,所以△Vn=△Vn|n="△9n，圖6c中，0時(shí)，△—的方向與Vi方向相同，即沿著曲線在Pi點(diǎn)的切線方向。于是有：△Vt=△vTt△VT由此，Pi點(diǎn)的加速度為v v vn V Valimlimlim-limtlimn

t0tt0tt0tt0tt0t

dvd—Tvndtdt利用(2)及⑶式有，dddsv。于是，(4)式可寫成dtdsdtRdvddv2va Tv n—t—naTTanndtdtdtR式中adv v式中adv v2t,an —noadt R是切向加速度分量，反映了速度大小的dt2變化；an 是法向加速度分量，反映了速度方向的變化進(jìn)一步，根據(jù)(3)式，有an加速度的大小為加速度的方向與切線方向的夾角dv d2s an加速度的大小為加速度的方向與切線方向的夾角dv d2s T= 2Tdt dt22vnR~2、?、aanarctan西aT(6a)(6b)(6c)(6d)國(guó)際單位制中加速度的單位為：米/秒2(m/s2，m.s-2)4本節(jié)小結(jié)本節(jié)的難點(diǎn)是推導(dǎo)加速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式， aarTann。同時(shí)理解a，產(chǎn)生的原因(2)使用加速度公式(2)使用加速度公式a律T戸靈活應(yīng)用解題。討論題下列情況時(shí)，質(zhì)點(diǎn)各作什么運(yùn)動(dòng)：at等于0,an等于0,質(zhì)點(diǎn)做什么運(yùn)動(dòng)？勻速直線運(yùn)動(dòng)a等于0,an不等于0,質(zhì)點(diǎn)做什么運(yùn)動(dòng)？圓周運(yùn)動(dòng)

a不等于0,r等于0,質(zhì)點(diǎn)做什么運(yùn)動(dòng)？變速（加速）直線運(yùn)動(dòng)at不等于0,an不等于0,質(zhì)點(diǎn)做什么運(yùn)動(dòng)？曲線運(yùn)動(dòng)例題1以初速度vo平拋一小球，不計(jì)空氣阻力，求t時(shí)刻小球的切向加速度、法向加速度的大小及此式運(yùn)動(dòng)軌道的曲率半徑。解：小球運(yùn)動(dòng)的加速度是已知的，為重力加速度g,要求t時(shí)刻小球的切向加速度和法向加速度，則只需要將重力加速度沿著軌道的切向和法向進(jìn)行分解。如圖9所示，對(duì)g進(jìn)行分解時(shí)，需要求出g與vn間的夾角。此夾角可以通過求解t時(shí)刻球的速度得到。作平拋運(yùn)動(dòng)的小球，其運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻Vx=V0，在垂直速運(yùn)動(dòng)和垂直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。在水平方向上小球的速度為方向上小球在agsinVy

g—V_gtg22,2速運(yùn)動(dòng)和垂直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。在水平方向上小球的速度為方向上小球在agsinVy

g—V_gtg22,2Vo gtg2tg2t2angcosgVxVgvo根據(jù)（5）式關(guān)于法向加速度的定義可得，此時(shí)的軌道曲率半徑為TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 ^2 32‘ V2 Vx Vy V0 gtR - -an an gv。練習(xí)題列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛，在我們所討論的時(shí)間范圍內(nèi)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為s=80t-12，（長(zhǎng)度：米，時(shí)間：秒）.t=0時(shí)，列車在點(diǎn)O處.此圓弧形軌道的半徑R=1500m.求列車駛過O點(diǎn)以后前進(jìn)至1200m處的速率及加速度。提示：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立自然坐標(biāo)系，先求出運(yùn)行至1200m處所需的時(shí)間，再由6a式直接求切向加速度；由（3）式求出速率后，由（6b）式求法向加速度。

例題2質(zhì)點(diǎn)M在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌道如圖10所示：OA段為直線，AB和BC段分別為不同半徑的兩個(gè)1/4圓周。設(shè)t=0時(shí)M在0點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程為S=30t+5t2(SI),求t=2秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)M的切向加速度和法向加速度。質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速率v=ds/dt=30+10t解:t=2s時(shí)S=質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速率v=ds/dt=30+10t(m/s),t=2s時(shí)，v=50m/s。于是有q 10m/s2,aq 10m/s2,andt妙83.3m/s230T例題3一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度是時(shí)間的函數(shù)。已知 ax=2,ay=36t2。設(shè)質(zhì)點(diǎn)t=0時(shí)r°=0,v0=O。求：此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；此質(zhì)點(diǎn)的軌道方程；此質(zhì)點(diǎn)的切向加速度。解：(1)由加速度求運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，需要進(jìn)行積分運(yùn)算。dvxdtaydvydt2dvx2dt,dvy36tdtvx0dvx七2dt， Vydvy 七36t2dt00y0vx2t，Vy 12t3rr3r

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dtdx2tdt，dy12t3dtx t y0dx 02tdt，0dy】2t3dt0xt2,y3t4所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為:2 42 4ti