湖南省長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

初三數(shù)學(xué)試卷時間：120分鐘分值：120分一、選擇題1.3的絕對值是（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)一個正數(shù)的絕對值是它本身，得|3|=3．故選：D．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．掌握絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A.x<1 B.x≤1 C.x>1 D.x≥1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【詳解】解：由題意得，x－1≥0，解得x≥1．故選：D．【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握要使二次根式有意義，其被開方數(shù)應(yīng)為非負數(shù)．3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，完全平方公式，平方差公式，單項式除以單項式進行計算即可求解．【詳解】A.，故該選項不正確，不符合題意；B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；D.，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，完全平方公式，平方差公式，單項式除以單項式，熟練掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．4.如圖，四邊形為平行四邊形，A，C兩點的坐標(biāo)分別是，，則平行四邊形的周長等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)點A、C的坐標(biāo)可得OA、OC的長，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC、AB長，由此即可得出答案．【詳解】四邊形為平行四邊形則平行四邊形的周長為故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、兩點之間的距離公式等知識點，熟記平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5.下列函數(shù)圖象中，當(dāng)時，隨的增大而減小的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：A．中，∴隨的增大而增大，故A不符合題意；B．中，∴隨的增大而增大，故B不符合題意；C．的對稱軸為直線，，在對稱軸的右側(cè)，即時，隨的增大而增大，故C不符合題意；D．的對稱軸為直線，，在對稱軸的右側(cè)，即時，隨的增大而減小，∴函數(shù)的圖象中，當(dāng)時，隨的增大而減小，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性．6.一組數(shù)據(jù)4，5，6，7，7，8的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.7，7 B.7，6.5 C.5.5，7 D.6.5，7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)定義進行求解即可．【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大進行排序為4，5，6，7，7，8，排在中間的兩個數(shù)為6，7，∴中位數(shù)是，這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是7，∴眾數(shù)是7，故選：D．【點睛】本題主要考查了求眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)定義，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不只一個；找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．7.已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的兩個實數(shù)根，則α+β﹣αβ的值是（）A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣3【答案】B【解析】【詳解】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子進行整理，即可得出答案．【詳解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的兩個實數(shù)根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．8.某廠一月份生產(chǎn)某大型機器2臺，計劃二、三月份共生產(chǎn)9臺，設(shè)二、三月份每月生產(chǎn)臺數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意列出的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)二、三月份每月的平均增長率為x，則二月份生產(chǎn)某大型機器2（1+x）臺，三月份生產(chǎn)某大型機器2（1+x）2臺，根據(jù)二、三月份共生產(chǎn)9臺，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)二、三月份每月的平均增長率為x，則二月份生產(chǎn)某大型機器2（1+x）臺，三月份生產(chǎn)某大型機器2（1+x）2臺，

依題意，得：2（1+x）+2（1+x）2=9．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9.已知是二次函數(shù)，則的值為（）A.0 B.1 C.－1 D.1或－1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義：形如的函數(shù)叫二次函數(shù)，從三個方面：①含有一個未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高次數(shù)為2次；③是一個整式理解即可得到答案．【詳解】解：是二次函數(shù)，，解得，故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，從三個方面：①含有一個未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高次數(shù)為2次；③是一個整式去理解概念是解決問題的關(guān)鍵．10.如圖，在菱形中，延長于并且，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，再根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到即可求解【詳解】解：∵在中，，，∴，則，∵四邊形是菱形，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，求得是解答的關(guān)鍵．二、填空題11.分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】首先提公因式，原式可化為，再利用公式法進行因式分解可得結(jié)果．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是因式分解的運算，掌握因式分解運算的順序“一提，二套，三分組，十字相乘做輔助”，利用合適方法進行因式分解，注意分解要徹底．12.已知實數(shù)a，b滿足，則_________．【答案】【解析】【分析】由非負數(shù)的性質(zhì)可得且，求解a，b的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵，∴且，解得：，；∴；故答案為：．【點睛】本題考查的是絕對值的非負性，偶次方的非負性的應(yīng)用，負整數(shù)指數(shù)冪的含義，理解非負數(shù)的性質(zhì)，熟記負整數(shù)指數(shù)冪的含義是解本題的關(guān)鍵．13.聯(lián)合國2022年11月15日宣布，全世界人口已達80億．將8000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為__________．【答案】【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】，故答案：．【點睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．14.如圖，函數(shù)和的圖像相交于點，則不等式的解集為_______．【答案】【解析】【分析】首先利用待定系數(shù)法求出A點坐標(biāo)，再以交點為分界，結(jié)合圖象寫出不等式的解集即可．【詳解】解：∵函數(shù)y=2x過點A（m，3），∴2m=3，解得：，∴A（，3），∴不等式的解集為．故答案為．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是求出A點坐標(biāo)．15.若一個正多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個正多邊形的邊數(shù)為________．【答案】6【解析】【分析】設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式和外角和列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得，解得，∴這個正多邊形的邊數(shù)為6，故答案為：6．【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和和外角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和為是解答的關(guān)鍵．16.如圖，在等腰中，，過點作于點，為邊的中點，連接．若，則的長為_____________．【答案】##2.5【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出答案．【詳解】∵，，，∴，．∵，∴．∵為邊的中點，∴．故答案是．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．三、解答題17.計算：．【答案】4【解析】【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、分別化簡，進而計算得出答案．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.先化簡，再求值：，其中．【答案】；2【解析】【分析】先將括號部分通分相加，相乘時，將兩個分式的分子和分母因式分解，進行化簡，最后代入求值即可．【詳解】解：，，，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練將分式化簡是解題的關(guān)鍵．19.如圖，直線經(jīng)過點和點．（1）求直線的解析式；（2）連接，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）求出直線與y軸的交點坐標(biāo)，即可得到的面積．【小問1詳解】解：設(shè)直線的解析式為，把點和點代入得，，解得，∴直線的解析式為；【小問2詳解】如圖，設(shè)直線與y軸交于點C，當(dāng)時，，∴點C的坐標(biāo)為，∴的面積為：．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵20.黨的二十大報告指出：“我們要全方位夯實糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕地紅線．確保中國人的飯碗牢牢端在自己手中”．為了了解糧食生產(chǎn)情況，某校數(shù)學(xué)興趣小組調(diào)查了某種糧大戶2018年至2022年糧食總產(chǎn)量及2022年糧食分季節(jié)占比情況如下：請根據(jù)圖中信息回答下列問題：（1）該種糧大戶2022年早稻產(chǎn)量是__________噸；（2）2018年至2022年該種糧大戶糧食總產(chǎn)量的中位數(shù)是__________，平均數(shù)是__________；（3）該糧食大戶估計2023年的糧食總產(chǎn)量年增長率與2022年的相同，那么2023年該糧食大戶的糧食總產(chǎn)量是多少噸？【答案】（1）92（2）160噸；172噸（3）264.5噸【解析】【分析】（1）用2022年總量乘以早稻所占的百分比求解即可；（2）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的概念求解即可；（3）首先求出年增長率，進而求解即可．小問1詳解】（噸）故答案為：9.2．【小問2詳解】2018年至2022年該種糧大戶糧食總產(chǎn)量從小到大排列如下：120，150，160，200，230∴2018年至2022年該種糧大戶糧食總產(chǎn)量的中位數(shù)是160噸；（噸）∴2018年至2022年該種糧大戶糧食總產(chǎn)量的平均數(shù)是172噸；故答案為：160噸，172噸；【小問3詳解】（噸）∴2023年該糧食大戶的糧食總產(chǎn)量是264.5噸．【點睛】此題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖，求中位數(shù)和平均數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．21.如圖，，，，垂足分別為，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用“”可證明；（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理計算出，從而得到的長，然后計算即可．【小問1詳解】證明：，，，在和中，，；【小問2詳解】解：，，在中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．22.“六一”兒童節(jié)將至，張老板計劃購買A型玩具和B型玩具進行銷售，若用1200元購買A型玩具的數(shù)量比用1500元購買B型玩具的數(shù)量多20個，且一個B型玩具的進價是一個A型玩具進價的1.5倍．（1）求A型玩具和B型玩具的進價分別是多少？（2）若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個，張老板購進A，B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進多少個？【答案】（1）A型，B型玩具的單價分別是10元/個，15元/個（2）最多可購進A型玩具25個【解析】【分析】（1）設(shè)型玩具的單價為元/件．依題意列出分式方程，進行求解；（2）根據(jù)題意列出不等式進行求解即可．【小問1詳解】設(shè)型玩具的單價為元/件．由題意得：，解得：經(jīng)檢驗，是原方程的解B型玩具的單價為元/個∴A型，B型玩具的單價分別是10元/個，15元/個．【小問2詳解】設(shè)購進A型玩具個．解得：∴最多可購進A型玩具25個．【點睛】本題考查了分式方程，一元一次不等式的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程或不等式．23.已知，如圖，在中，分別在邊上取兩點，使得,連接相交于點,若求證：四邊形是菱形；．若菱形的周長為求的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得，故ABEF為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直即可得證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可證得為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是平行四邊形，，又∵，，，四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形；（2）∵菱形的周長為，，又∵，，為等邊三角形，，．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，熟知平行四邊形和菱形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系中，如果點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點為和諧點，例如：點，，，……都是和諧點．（1）判斷函數(shù)的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標(biāo)；（2）若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個和諧點．①求，的值；②若時，函數(shù)的最小值為－1，最大值為3，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）存在，（2）①；【解析】【分析】（1）根據(jù)定義可知，和諧點都在上，聯(lián)立兩直線解析式即可求解；（2）①根據(jù)題意可知二次函數(shù)與相切于點，據(jù)此即可求解；②根據(jù)①得到解析式，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)分析即可求解．【小問1詳解】解：∵點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點為和諧點，∴和諧點都在上，，解得，上的和諧點為；【小問2詳解】解：①∵二次函數(shù)的圖象上有且只有一個和諧點，∴即有兩個相等的實數(shù)根，，解得①，將代入得，，聯(lián)立①②，得，②，，其頂點坐標(biāo)為，則最大值為3，在時，隨的增大而增大，當(dāng)時，，根據(jù)對稱軸可知，當(dāng)時，，時，函數(shù)的最小值為－1，最大值為3，根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為－1，最大值為3，實數(shù)取值范圍為：．【點睛】本題考查了新定義問題，兩直線交點問題，一次函數(shù)與拋物線交點問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解新定義是解題的關(guān)鍵．25.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點C（0，3），與x軸分別交于點A，點B（3，0）．點P是直線BC上方的拋物線上一動點．（1）求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達式；（2）連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C，若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積．【答案】（1））y=﹣x2+2x+3（2）