高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專題80 排列組合中的常見模型 (含解析)

PAGE微專題80排列組合的常見模型一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）處理排列組合問題的常用思路：1、特殊優(yōu)先：對(duì)于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無要求的元素。例如：用SKIPIF1<0組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？解：五位數(shù)意味著首位不能是0，所以先處理首位，共有4種選擇，而其余數(shù)位沒有要求，只需將剩下的元素全排列即可，所以排法總數(shù)為SKIPIF1<0種2、尋找對(duì)立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對(duì)立面，再用全部可能的總數(shù)減去對(duì)立面的個(gè)數(shù)即可。例如：在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品。從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，至少有一件次品的情況有多少種解：如果從正面考慮，則“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情況，需要進(jìn)行分類討論，但如果從對(duì)立面想，則只需用所有抽取情況減去全是正品的情況即可，列式較為簡單。SKIPIF1<0（種）3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)SKIPIF1<0是指從SKIPIF1<0個(gè)元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素，再將這SKIPIF1<0個(gè)元素進(jìn)行排列。但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時(shí)就要將過程拆分成兩個(gè)階段，可先將所需元素取出，然后再進(jìn)行排列。例如：從4名男生和3名女生中選3人，分別從事3項(xiàng)不同的工作，若這3人中只有一名女生，則選派方案有多少種。解：本題由于需要先確定人數(shù)的選取，再能進(jìn)行分配（排列），所以將方案分為兩步，第一步：確定選哪些學(xué)生，共有SKIPIF1<0種可能，然后將選出的三個(gè)人進(jìn)行排列：SKIPIF1<0。所以共有SKIPIF1<0種方案（二）排列組合的常見模型1、捆綁法（整體法）：當(dāng)題目中有“相鄰元素”時(shí)，則可將相鄰元素視為一個(gè)整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可。例如：5個(gè)人排隊(duì)，其中甲乙相鄰，共有多少種不同的排法解：考慮第一步將甲乙視為一個(gè)整體，與其余3個(gè)元素排列，則共有SKIPIF1<0種位置，第二步考慮甲乙自身順序，有SKIPIF1<0種位置，所以排法的總數(shù)為SKIPIF1<0種2、插空法：當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時(shí)，則可考慮用剩余元素“搭臺(tái)”，不相鄰元素進(jìn)行“插空”，然后再進(jìn)行各自的排序注：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊（2）要從題目中判斷是否需要各自排序例如：有6名同學(xué)排隊(duì)，其中甲乙不相鄰，則共有多少種不同的排法解：考慮剩下四名同學(xué)“搭臺(tái)”，甲乙不相鄰，則需要從5個(gè)空中選擇2個(gè)插入進(jìn)去，即有SKIPIF1<0種選擇，然后四名同學(xué)排序，甲乙排序。所以SKIPIF1<0種3、錯(cuò)位排列：排列好的SKIPIF1<0個(gè)元素，經(jīng)過一次再排序后，每個(gè)元素都不在原先的位置上，則稱為這SKIPIF1<0個(gè)元素的一個(gè)錯(cuò)位排列。例如對(duì)于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是其中一個(gè)錯(cuò)位排列。3個(gè)元素的錯(cuò)位排列有2種，4個(gè)元素的錯(cuò)位排列有9種，5個(gè)元素的錯(cuò)位排列有44種。以上三種情況可作為結(jié)論記住例如：安排6個(gè)班的班主任監(jiān)考這六個(gè)班，則其中恰好有兩個(gè)班主任監(jiān)考自己班的安排總數(shù)有多少種？解：第一步先確定那兩個(gè)班班主任監(jiān)考自己班，共有SKIPIF1<0種選法，然后剩下4個(gè)班主任均不監(jiān)考自己班，則為4個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共9種。所以安排總數(shù)為SKIPIF1<04、依次插空：如果在SKIPIF1<0個(gè)元素的排列中有SKIPIF1<0個(gè)元素保持相對(duì)位置不變，則可以考慮先將這SKIPIF1<0個(gè)元素排好位置，再將SKIPIF1<0個(gè)元素一個(gè)個(gè)插入到隊(duì)伍當(dāng)中（注意每插入一個(gè)元素，下一個(gè)元素可選擇的空SKIPIF1<0）例如：已知SKIPIF1<06個(gè)人排隊(duì)，其中SKIPIF1<0相對(duì)位置不變，則不同的排法有多少種解：考慮先將SKIPIF1<0排好，則SKIPIF1<0有4個(gè)空可以選擇，SKIPIF1<0進(jìn)入隊(duì)伍后，SKIPIF1<0有5個(gè)空可以選擇，以此類推，SKIPIF1<0有6種選擇，所以方法的總數(shù)為SKIPIF1<0種5、不同元素分組：將SKIPIF1<0個(gè)不同元素放入SKIPIF1<0個(gè)不同的盒中6、相同元素分組：將SKIPIF1<0個(gè)相同元素放入SKIPIF1<0個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有SKIPIF1<0種。解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因?yàn)樵叵嗤?，所以只需考慮每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù)，則可將這SKIPIF1<0個(gè)元素排成一列，共有SKIPIF1<0個(gè)空，使用SKIPIF1<0個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這SKIPIF1<0個(gè)元素劃分為SKIPIF1<0個(gè)區(qū)域，剛好對(duì)應(yīng)那SKIPIF1<0個(gè)盒子。例如：將6個(gè)相同的小球放入到4個(gè)不同的盒子里，那么6個(gè)小球5個(gè)空檔，選擇3個(gè)位置放“擋板”，共有SKIPIF1<0種可能7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。例如：最多使用四種顏色涂圖中四個(gè)區(qū)域，不同的涂色方案有多少種？解：可根據(jù)使用顏色的種數(shù)進(jìn)行分類討論（1）使用4種顏色，則每個(gè)區(qū)域涂一種顏色即可：SKIPIF1<0（2）使用3種顏色，則有一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂同一種顏色，首先要選擇不相鄰的區(qū)域：用列舉法可得：SKIPIF1<0不相鄰所以涂色方案有：SKIPIF1<0（3）使用2種顏色，則無法找到符合條件的情況，所以討論終止總計(jì)SKIPIF1<0種二、典型例題：例1：某電視臺(tái)邀請(qǐng)了6位同學(xué)的父母共12人，請(qǐng)12位家長中的4位介紹對(duì)子女的教育情況，如果這4位中恰有一對(duì)是夫妻，則不同選擇的方法種數(shù)有多少思路：本題解決的方案可以是：先挑選出一對(duì)夫妻，然后在挑選出兩個(gè)不是夫妻的即可。第一步：先挑出一對(duì)夫妻：SKIPIF1<0第二步：在剩下的10個(gè)人中選出兩個(gè)不是夫妻的，使用間接法：SKIPIF1<0所以選擇的方法總數(shù)為SKIPIF1<0（種）答案：SKIPIF1<0種例2：某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（）A.SKIPIF1<0種B.SKIPIF1<0種C.SKIPIF1<0種D.SKIPIF1<0種思路：本題如果用直接法考慮，則在安排的過程中還要考慮兩節(jié)連堂，并且會(huì)受到第5,6節(jié)課連堂的影響，分類討論的情形較多，不易求解。如果使用間接法則更為容易。首先在無任何特殊要求下，安排的總數(shù)為SKIPIF1<0。不符合要求的情況為上午連上3節(jié)：SKIPIF1<0和下午連上三節(jié)：SKIPIF1<0，所以不同排法的總數(shù)為：SKIPIF1<0（種）答案：A例3：2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：首先考慮從3位女生中先選中相鄰的兩位女生，從而相鄰的女生要與另一女生不相鄰，則可插空，讓男生搭架子，因?yàn)槟猩撞徽緝啥耍栽诓蹇盏倪^程中需有人站在甲的邊上，再從剩下的兩個(gè)空中選一個(gè)空插入即可。第一步：從三位女生中選出要相鄰的兩位女生：SKIPIF1<0第二步：兩位男生搭出三個(gè)空，其中甲的邊上要進(jìn)入女生，另外兩個(gè)空中要選一個(gè)空進(jìn)女生，所以共有SKIPIF1<0種選法。第三步：排列男生甲，乙的位置：SKIPIF1<0，排列相鄰女生和單個(gè)女生的位置：SKIPIF1<0，排列相鄰女生相互的位置：SKIPIF1<0所以共有SKIPIF1<0種答案：B例4：某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲，乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲，乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為（）A.360B.520C.600D.720思路：因?yàn)檫x人的結(jié)果不同會(huì)導(dǎo)致安排順序的不同，所以考慮“先取再排”，分為“甲乙”同時(shí)選中和“甲乙只有一人選中”兩種情況討論：若甲乙同時(shí)被選中，則只需再從剩下5人中選取2人即可：SKIPIF1<0，在安排順序時(shí)，甲乙不相鄰則“插空”，所以安排的方式有：SKIPIF1<0，從而第一種情況的總數(shù)為：SKIPIF1<0（種），若甲乙只有一人選中，則首先先從甲乙中選一人，有SKIPIF1<0，再從剩下5人中選取三人，有SKIPIF1<0，安排順序時(shí)則無要求，所以第二種情況的總數(shù)為：SKIPIF1<0（種），從而總計(jì)600種答案：C例5：從單詞“equation”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有________種思路：從題意上看，解決的策略要分為兩步：第一步要先取出元素，因?yàn)椤皅u”必須取出，所以另外3個(gè)元素需從剩下的6個(gè)元素中取出，即SKIPIF1<0種，然后在排列時(shí)，因?yàn)橐蟆皅u”相連，所以采用“捆綁法”，將qu視為一個(gè)元素與其它三個(gè)元素進(jìn)行排列：SKIPIF1<0，因?yàn)椤皅u”順序不變，所以不需要再對(duì)qu進(jìn)行排列。綜上，共有：SKIPIF1<0種答案：SKIPIF1<0例6：設(shè)有編號(hào)SKIPIF1<0的五個(gè)茶杯和編號(hào)為SKIPIF1<0的五個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有（）A.30種B.31種C.32種D.36種思路：本題可按照相同編號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，有兩個(gè)相同時(shí)，要先從5個(gè)里選出哪兩個(gè)相同，有SKIPIF1<0種選法，則剩下三個(gè)為錯(cuò)位排列，有2種情況，所以SKIPIF1<0，有三個(gè)相同時(shí)，同理，剩下兩個(gè)錯(cuò)位排列只有一種情況（交換位置），所以SKIPIF1<0，有四個(gè)相同時(shí)則最后一個(gè)也只能相同，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0（種）答案：B例7：某人上10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步；最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步，若他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則此人所有可能的不同過程的種數(shù)為（）A.6B.8C.10D.12答案：A思路：首先要確定在這6步中，一階步，二階步，三階步各有幾步，分別設(shè)為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因?yàn)橄噜弮刹讲煌A，所以符合要求的只有SKIPIF1<0，下面開始安排順序，可以讓一階步搭架子，則二階步與三階步必須插入一階步里面的兩個(gè)空中，所以共有2種插法，二階步與三階步的前后安排共有3種（三二二，三二三，二三三），所以過程總數(shù)為SKIPIF1<0答案：A例8：某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會(huì)英語，2人只會(huì)日語，其余4人既會(huì)英語又會(huì)日語，現(xiàn)要從中選6人，其中3人負(fù)責(zé)英語導(dǎo)游，另外三人負(fù)責(zé)日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有_______種思路：在步驟上可以考慮先選定英語導(dǎo)游，再選定日語導(dǎo)游。英語導(dǎo)游的組成可按只會(huì)英語的和會(huì)雙語的人數(shù)組成進(jìn)行分類討論，然后再在剩下的人里選出日語導(dǎo)游即可。第一種情況：沒有會(huì)雙語的人加入英語導(dǎo)游隊(duì)伍，則英語導(dǎo)游選擇數(shù)為SKIPIF1<0，日語導(dǎo)游從剩下6個(gè)人中選擇，有SKIPIF1<0中，從而SKIPIF1<0，第二種情況：有一個(gè)會(huì)雙語的人加入英語導(dǎo)游隊(duì)伍，從而可得SKIPIF1<0，依次類推，第三種情況。兩個(gè)會(huì)雙語的加入英語導(dǎo)游隊(duì)伍，則SKIPIF1<0，第四種情況，英語導(dǎo)游均為會(huì)雙語的。則SKIPIF1<0，綜上所述，不同的選擇方法總數(shù)為SKIPIF1<0(種)答案：216種例9：如圖，用四種不同顏色給圖中SKIPIF1<0六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）A.SKIPIF1<0種B.SKIPIF1<0種C.SKIPIF1<0種D.SKIPIF1<0種思路：如果用四種顏色涂六個(gè)點(diǎn)，則需要有兩對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色。所以考慮列舉出不相鄰的兩對(duì)點(diǎn)。列舉的情況如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共九組，所以涂色方法共有SKIPIF1<0如果用三種顏色涂六個(gè)點(diǎn)，則需要有三對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色，列舉情況如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共兩組，所以涂色方法共有SKIPIF1<0綜上所述，總計(jì)SKIPIF1<0種答案：B例10：有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字SKIPIF1<0，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有（）A.1344種B.1248種