福建省泉州市晉江市第二中學、鵬峰中學、泉港五中2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

晉江二中鵬峰中學泉港五中2022—2023學年下學期期末高二年聯(lián)考數(shù)學試卷2023年7月（滿分150考試時間：150分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分1.如果一個復數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復數(shù)為“等部復數(shù)”，若復數(shù)為“等部復數(shù)”，則實數(shù)的值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】化簡復數(shù)，再由“等部復數(shù)”的定義即可求出答案.【詳解】化簡復數(shù)，因為“等部復數(shù)”的實部和虛部相等，復數(shù)為“等部復數(shù)”，所以，所以.故選：D.2.已知集合，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分、必要條件定義即可得出答案.【詳解】因為,所以“”“”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.在空間中，下列說法正確的是（）A.垂直于同一直線的兩條直線平行 B.垂直于同一直線的兩條直線垂直C.平行于同一平面的兩條直線平行 D.垂直于同一平面的兩條直線平行【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中線、面的位置關系理解判斷A、B、C，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷D．【詳解】垂直于同一直線的兩條直線的位置關系有：平行、相交和異面，A、B不正確；平行于同一平面兩條直線的位置關系有：平行、相交和異面，C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：D正確；故選：D．4.若，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)倍角余弦公式可得，再根據(jù)，開方即可求解.【詳解】因為，所以，又，則.故選：C5.若，，，則下列不等式恒成立是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式串可判斷選項A錯誤，B錯誤，D正確.利用基本不等式可得C錯誤.【詳解】對于選項A：∵，當且僅當時取等號，∴A錯誤；對于選項B：，，∴B錯誤；對于選項C：，因為∴C錯誤；對于選項D：∵，當且僅當時取等號，∴，D正確；故選：D6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得函數(shù)定義域，判斷函數(shù)奇偶性，再取幾個特殊值運用排除法得到答案.【詳解】由題意知，，解得，所以定義域關于原點對稱，又因為，所以此函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，排除A.當時，，排除B.，函數(shù)只有1個零點，排除C.故選：D7.著名的物理學家牛頓在17世紀提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規(guī)律.新聞學家發(fā)現(xiàn)新聞熱度也遵循這樣的規(guī)律，即隨著時間的推移，新聞熱度會逐漸降低，假設一篇新聞的初始熱度為，經(jīng)過時間天之后的新聞熱度變?yōu)椋渲袨槔鋮s系數(shù).假設某篇新聞的冷卻系數(shù)，要使該新聞的熱度降到初始熱度的以下，需要經(jīng)過天（參考數(shù)據(jù)：）（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意建立不等式求解.【詳解】依題意，，，即經(jīng)過8天后，熱度下降到初始熱度的10%以下；故選：C.8.《九章算術》是我國古代著名的數(shù)學著作，書中記載有幾何體“芻甍”．現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面ABCD為正方形，底面ABCD，四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，，則該芻甍的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點E到平面的距離，再由幾何體的結構特征確定球心位置，結合球面的性質(zhì)求解作答.【詳解】取AD，BC中點N，M，正方形中心O，EF中點，連接，如圖，依題意，平面，，點O是MN的中點，，等腰中，，，同理，因此，等腰梯形的高，由幾何體的結構特征知，芻甍的外接球球心在直線上，連，正方形外接圓半徑，則有，而，當點在線段的延長線（含點O）時，視為非負數(shù)，若點在線段（不含點O）上，視為負數(shù)，即有，即，解得，因此芻甍的外接球球心為O，半徑為，所以芻甍的外接球的體積為.故選：A【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內(nèi)切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分9.如圖所示，在正方體中，，分別為棱，的中點，其中正確的結論為A.直線與是相交直線； B.直線與是平行直線；C.直線與是異面直線： D.直線與所成的角為.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)圖形及異面直線的定義，異面直線所成的角判斷即可.【詳解】結合圖形，顯然直線與是異面直線，直線與是異面直線，直線與是異面直線，直線與所成的角即直線與所成的角,在等邊中，所以直線與所成的角為,綜上正確的結論為CD.【點睛】本題主要考查了異面直線，異面直線所成的角，屬于中檔題.10.已知平面向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】因為，兩邊平方可得，即可求得，從而可判斷選項ABC，進而求得，從而可判斷選項D.【詳解】因為，兩邊平方可得，所以，即.對于A，，解得，A正確；對于B，因為，所以，B錯誤；對于C，因為，則，C錯誤；對于D，由選項A可知，所以，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.函數(shù)f(x)的圖象的周期為B.函數(shù)f(x)的圖象關于點（，0）對稱C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最大值為2D.直線與）圖像所有交點的橫坐標之和為【答案】AC【解析】【分析】先利用函數(shù)圖象，從而求得函數(shù)解析式，然后利用零點，對稱性及正弦三角形最值求解得結果.【詳解】依題意，，得，故A正確；，，則，當時，取最小值，則，得，即，當時，，故B錯誤；當[－，]，則，則，故C正確；，則，設直線與）圖像所有交點的橫坐標為，則，解得，故D錯誤；故選：AC.12.如圖，直線，點A是之間的一個定點，點A到的距離分別為1和2.點是直線上一個動點，過點A作，交直線于點，則（）A. B.面積的最小值是C. D.存在最小值【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意建立合適的直角坐標系，設出，，，根據(jù)及，即可找到三個點的坐標關系，分別寫出，，即可判斷A；取中點為，連接，根據(jù)，可得三點共線，且為靠近的三等分點，即可找到面積與面積之間比例關系，進而建立面積等式，根據(jù)基本不等式即可判斷B；求出，再根據(jù)基本不等式可判斷C；寫出進行化簡，根據(jù)的范圍即可得到的最值情況.【詳解】設中點為，連接，以為原點，方向分別為軸建立如圖所示的直角坐標系，則，，設，，，，且，所以，，因為，所以，即，故，即，所以，，，因為，所以，因為，故，A錯誤；因為，所以，即，所以三點共線，且為靠近的三等分點，所以，當且僅當，即時取等，故B正確；因為，所以，當且僅當，即時取等，故，C正確；因為，所以，因為且，所以，記，，可知單調(diào)遞增，沒有最值，即沒有最值，故D錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點睛：本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)以及平面向量在平面幾何中的應用，屬于較難題目.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上．13.有位男生和位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該位同學中任取人，至少有名女生的概率為___________【答案】##【解析】【分析】利用組合數(shù)和對立事件概率公式直接求解即可.【詳解】從位同學中任取人，有種情況；取出的人中，沒有女生的情況有種，至少有名女生的概率.

故答案為：.14.已知角為第二象限角，，則的值為__________【答案】【解析】【分析】結合同角三角函數(shù)的基本關系式、兩角差的余弦公式求得正確答案.【詳解】因為角為第二象限角，，所以，所以.故答案為：.15.已知偶函數(shù)滿足，且當時，，則_______.【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)的周期，再利用奇偶性和周期求解.【詳解】因為，所以，即周期為4；，因為時，，所以，即.故答案為：.16.如圖在平行四邊形中，已知，，，，則的值是______________.【答案】22【解析】【分析】根據(jù)基底表示再根據(jù)向量數(shù)量積化簡，即得結果.【詳解】【點睛】用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，滿足，．（1）若，的夾角為，求；（2）若，求與的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先算出，再按照數(shù)量積的公式計算即可（1）根據(jù)得到，計算出，再根據(jù)即可【小問1詳解】，所以，所以【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，令所以，因為，所以故與的夾角為．18.已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求B；（2）設，，求c.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設，根據(jù)正弦定理得，結合三角形內(nèi)角的性質(zhì)得，即可求B；（2）由余弦定理，結合已知條件列方程，即可求c.【詳解】（1）由正弦定理得：，而，∴，又，，∴，又，即.（2）由余弦定理，即，∴，解得.19.年月日，第十三屆全國人民代表大會第五次會議在北京人民大會堂開幕，會議報告指出，年，國內(nèi)生產(chǎn)總值和居民人均可支配收入明顯增長．某地為了解居民可支配收入情況，隨機抽取人，經(jīng)統(tǒng)計，這人去年可支配收入（單位：萬元）均在區(qū)間內(nèi)，按，，，，，分成組，頻率分布直方圖如圖所示，若上述居民可支配收入數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為．（1）求的值，并估計這位居民可支配收入的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）用樣本的頻率估計概率，從該地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的結果互不影響，求抽取的人中至少有兩人去年可支配收入在內(nèi)的概率．【答案】（1）；平均值為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積和為1，結合第百分位數(shù)的性質(zhì)求解，進而根據(jù)頻率分布直方圖的平均值算法求解即可；（2）分抽取的人中有兩人和三人去年可支配收入在內(nèi)兩種情況求解即可【小問1詳解】由頻率分布直方圖，可得，則①因為居民收入數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為8.1，所以，則②將①與②聯(lián)立，解得．所以平均值為．【小問2詳解】根據(jù)題意，設事件A，B，C分別為甲、乙、丙在[7.5，8.5）內(nèi)，則．①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）內(nèi)”，且與與互斥，根據(jù)概率的加法公式和事件獨立性定義，得．②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）內(nèi)”，由事件獨立性定義，得．所以抽取的3人中至少有兩人去年可支配收入在[7.5，8.5）內(nèi)的概率：．20.如圖所示，在四棱錐中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為梯形，，，，點E在線段PD上，．（1）求證：平面PAB；（2）求證：平面PAC⊥平面PCD．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）由線面垂直與面面垂直的判定定理證明即可【小問1詳解】（1）過E作交PA于點F，連接BF，因，所以．又，所以．又，所以所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以，又CE平面PAB，BF平面PAB，所以平面PAB．【小問2詳解】在梯形ABCD中，，，，，所以．所以，即因為PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以．又，所以CD⊥平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．21.設函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù).（1）求p的值；（2）若在上最小值為，求k的值；（3）若不等式對任意實數(shù)x都成立，求實數(shù)m的范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可求得答案.（2）由（1）可得解析式，代入所求，即可得解析式，令，可得，根據(jù)x的范圍，可得t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分別討論和兩種情況，結合題意，即可求得答案.（3）根據(jù)，原不等式可化為，令，可得t的范圍，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最小值，即可得答案.【小問1詳解】是偶函數(shù)，恒成立，即恒成立，即，.【小問2詳解】由（1）知，，.令，為增函數(shù)，，則，，，為對稱軸為直線，開口向上的拋物線，①當時，在遞增，所以，，（不合題意），②當時，，，解得或（舍去），的最小值為-4時，的值為.【小問3詳解】不等式，即，，當且僅當x=1時等號成立.，令，，則，，又對勾函數(shù)在上遞增，，.故實數(shù)m的取值范圍為.22.如圖，某圓形小區(qū)有兩塊空余綠化扇形草地（圓心角為）和（圓心角為），為圓的直徑.現(xiàn)分別要設計出兩塊社區(qū)活動區(qū)域，其中一塊為矩形區(qū)域，一塊為平行四邊形區(qū)域，已知圓的直徑百米，且點在劣弧上（不含端點），點在上?點在上?點和在上?點在上，記.（1）經(jīng)設計，當達到最大值時，取得最佳觀賞效果，求取何值時，最大，最大值是多少？（2）設矩形和平行四邊形面積和為，求的最大值及此時的值.【答案】（1）時，最大值為百米