考慮水的有限空間繞流問題

考慮水的有限空間繞流問題

一、水體興波與池壁效應(yīng)的關(guān)系水下和池壁效應(yīng)與許多船舶運(yùn)動(dòng)的實(shí)際問題密切相關(guān)。比較典型的如:船在淺水或駛?cè)氪l室內(nèi)時(shí)的坐底;雙體船或兩船并行時(shí)的內(nèi)側(cè)吸力計(jì)算;船只進(jìn)塢及?？看a頭時(shí)的撞擊力分析等等。為此本文系統(tǒng)討論了如圖1所示的下述五種情況。它們均為不考慮水面興波時(shí)有限空間的繞流問題,其中:(a)物體在有限水深的自由表面上以平行水底的U0速度運(yùn)動(dòng)一—同時(shí)考慮水底與自由表面效應(yīng);(b)物體潛入無限水深且靠近水底以平行水底的U0速度運(yùn)動(dòng)——單純水底效應(yīng);(c)物體在無限水深的自由表面上以垂直池壁的U0速度運(yùn)動(dòng)一—單純池壁效應(yīng);(d)物體在有限水深的自由表面上以平行水底亦即垂直池壁U0速度運(yùn)動(dòng)一—同時(shí)考慮水底與池壁效應(yīng);(e)物體在有限水深的自由表面上以平行水底又平行兩行側(cè)壁U0速度運(yùn)動(dòng)——同時(shí)考慮水底及兩側(cè)池壁效應(yīng)。二、雙邊界面的采用有關(guān)理想流體的繞流問題,1962年赫斯和史密斯所提出的有限基本解法(通常稱為“邊界元法”)為解決任意形狀物體在無限空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的勢(shì)流研究提供了一個(gè)切實(shí)可行并且有廣闊發(fā)展前景的方法。文獻(xiàn)在不同方面又有所發(fā)展和創(chuàng)新.以赫斯-史密斯法為依據(jù),對(duì)于任意形狀物體的繞流問題,當(dāng)以有限個(gè)四邊形板塊單元(N)替代原物體的表面,在每個(gè)板塊單元(j)上適當(dāng)分布點(diǎn)源,由物面條件得到如下求解點(diǎn)源強(qiáng)度σ的線性代數(shù)方程組:式中:——來流速度;Pi——流場(chǎng)物面計(jì)算點(diǎn);——物面外法線方向的單元矢量;αij——影響系數(shù),由下式?jīng)Q定:Q——面元上積分動(dòng)點(diǎn),即基本解點(diǎn)源的分布點(diǎn);人們稱滿足邊界條件的基本解為格林函數(shù).當(dāng)流場(chǎng)為無限空間時(shí),點(diǎn)源基本解為:當(dāng)流場(chǎng)為有限空間時(shí),點(diǎn)源基本解應(yīng)有所修正可寫為:筆者曾對(duì)物體在無限水深不考慮興波自由表面上的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究,本文進(jìn)一步探討存在有水底或池壁等其它邊界的情況,可概括為上述五個(gè)問題。由于水底或池壁均為直壁,分別對(duì)應(yīng)于某一座標(biāo)面,因此可以應(yīng)用“平面鏡像原理”,在原有無限水深結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)溺R像迭加,便可得到相應(yīng)結(jié)果。以情況(a)為例。相對(duì)于水底和自由表面兩邊界進(jìn)行反復(fù)映像,形成如圖2所示的鏡像系.文獻(xiàn)給出了此問題的格林函數(shù)表達(dá)式。本文進(jìn)一步簡化,當(dāng)在物面任意點(diǎn)Q(ξ,η,ζ)貯在點(diǎn)源時(shí),其滿足自由表面和水底的格林函數(shù)可寫作:式中:符號(hào)表示取整。為保持上下對(duì)應(yīng)于X軸的映像對(duì)等,NH取奇數(shù)。當(dāng)NH=1時(shí),即只有自身而無映像,相當(dāng)于無限水深H=X的情況。計(jì)算結(jié)果表明:映像次數(shù)NH隨水深H與物體特征尺度(圓球?yàn)镽)之比而變化。如水深H足夠大,則可按無限水深考慮,即NH=1,否則隨H變小,映像次數(shù)必須適當(dāng)增加,以保證精度要求。再以情況(e)為例。在對(duì)自由表面及水底兩鏡面映像的同時(shí),尚要對(duì)左右壁面進(jìn)行映像。圖3表示的是對(duì)垂向和橫向分別映像兩次,即NH=3;NB=3的像系。顯然如物體不在兩側(cè)壁正中,則橫向的映像圖案更為復(fù)雜。滿足三面有直壁邊界的格林函數(shù)可寫作:式中:NH,MB0均取奇數(shù)。當(dāng)有限個(gè)板塊單元的點(diǎn)源強(qiáng)度σ,求出后,極易求得流場(chǎng)中任意點(diǎn)(X,Y,Z)的擾動(dòng)速度和壓力。總作用力為;式中:分別為物體在第i,j自由度上以單位速度運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)。由于在所有非物面邊界上,所以對(duì)上式有貢獻(xiàn)的僅是物面邊界的積分值。除φi的計(jì)算有別于無限水深外,其計(jì)算方法與文獻(xiàn)同。四、結(jié)果與分析高水勢(shì)結(jié)構(gòu)單元為探索規(guī)律,在R=1米的圓球的1/8球面上劃分了四個(gè)板塊單元N=4,當(dāng)V∞=1米/秒時(shí)進(jìn)行誘導(dǎo)速度、壓力和附加質(zhì)量的計(jì)算。表1給出附加質(zhì)量系數(shù)λ全球與深H及映像次數(shù)NH之關(guān)系:顯然隨著水深H的減小,附連質(zhì)量數(shù)λ增大,并且要求較多的映像次數(shù)。如果精度要求為1%,當(dāng)H=1.2米時(shí),NH=7巳足夠;而當(dāng)H=1.4米;1.6米;1.8米;2.0時(shí),NH=5便可;而當(dāng)H=3米后,已可按無限水深處理。圖(4)給出了(a);(b),(c)三種情況的λ～H關(guān)系曲線。桑德斯所給出的經(jīng)驗(yàn)式為如果扣除板塊個(gè)數(shù)的影響,則與本文結(jié)果趨勢(shì)相符,但我們傾向于采用指數(shù)型規(guī)律,其曲線方程為:式中常數(shù)α;b、c、H0可由適當(dāng)?shù)臄M合方法定出。由圖4可見(b)情況其λ受參數(shù)H影響小于(a),(c)兩情況;(a),(b)接近且(a)高于(b)。表2給出四個(gè)板塊單元控制點(diǎn)上的合速度及壓力值(未計(jì)入靜水壓力,以下同.)由物面的速度及壓力的分布狀況,可明顯看出存在下沉吸力Fz。表3給出下沉吸力Fz與水深H之關(guān)系:實(shí)際上,任何物體在一定的航速下運(yùn)動(dòng),總有下沉吸力存在。此下沉吸力將與下沉后所增加的浮力相平衡,即:式中:ΔZ——下沉距離;S——水線面積;在同樣的航速下,水愈淺,下沉吸力愈大,當(dāng)H=1.2米時(shí)比H=∞時(shí)下沉吸力增加412牛,對(duì)于實(shí)船,由相似準(zhǔn)則得:式中P為實(shí)船;m為模型。圖5給出下沉吸力隨水深H或壁距B0之關(guān)系曲線.接觸單元的附加質(zhì)量系數(shù)及球心距底b0此情況除相當(dāng)于物體潛入無限深水域靠近水底的平行水底的運(yùn)動(dòng)外,且等同于當(dāng)不考慮浮力作用時(shí)沿池壁的運(yùn)動(dòng)。如圖6,圖7所示,計(jì)算時(shí)只須對(duì)水底(或池壁)映像一次便可,由于球體的向、背水底(或池壁)面不再對(duì)稱,故考慮1/4球體。表4給出的是在R=1米圓球的1/4球面上劃分8個(gè)板塊單元的附加質(zhì)量系數(shù)λ和球心距水底B0之關(guān)系;表5給出的是當(dāng)B0=2米時(shí),如上各板塊單元控制點(diǎn)的總速度、壓力和點(diǎn)源度值。壓力的積分結(jié)果必然產(chǎn)生朝向壁面的合力。此向壁吸力亦隨B0減小而急劇增加,而當(dāng)B0>3R時(shí)吸力基本消失。此情況不存在(a)情況時(shí)由下沉所增加的附加浮力與其下沉力的平衡效應(yīng),因而如不加操縱則必然惡性發(fā)展,造成諸如兩船并行時(shí)相撞的災(zāi)難性事故。流u0、b0的方向向壁運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于將情況(b)的來流U0方向轉(zhuǎn)90°,即與壁面垂直。如圖8所示:板塊的劃分與來流U0的方向有關(guān)。為使各討論情況一致,現(xiàn)規(guī)定U0與X軸方向平行.表6給出了附加質(zhì)量系數(shù)λ,向壁吸力與球心距池壁B0之關(guān)系。表7給出的是當(dāng)B0=1.1米,U0=1米/秒時(shí),8個(gè)板塊單元控制點(diǎn)上的壓力、總速度及點(diǎn)源強(qiáng)度值。計(jì)算結(jié)果表明,此情況存在著朝向壁面的附加力——撞擊力。壁有底的結(jié)果當(dāng)對(duì)情況(C)加入水深的映像關(guān)系后,便得到向壁有底的結(jié)果,如圖1(d)。對(duì)于B0=2米;H=2米;NH=3時(shí);其λ全球=0.51668;Fx=22.85牛;Fz=1093.48牛來流方方程,總幾何特征?c這是一種很有實(shí)際意義的情況,如圖1(e)所示。應(yīng)用式6沒有原則性的數(shù)學(xué)困難,只是參數(shù)增加,使系列計(jì)算較為復(fù)雜。下面分別給出的是:R=1m圓球,平行水底及側(cè)壁速度為U0=1m/s時(shí)的附加質(zhì)量系數(shù)及下沉力:當(dāng)H=2米;B0=2米;NH=3;NB=3時(shí),λ=0.52658;Fz半球=1133.14牛當(dāng)H=1.2米;B0=1.2米;NH=7;NB=7時(shí),λ=0.86193;Fz半球=2654.07牛;可見船舶在限制航道航行時(shí),下沉坐底問題更為突出。對(duì)于水池、船閘室設(shè)計(jì)應(yīng)考慮足夠的深度及寬度,以保證水底、池壁的影響小至允許范圍之內(nèi)和不發(fā)生坐底。如從附加質(zhì)量的角度考慮,水底和池壁效應(yīng)均可按圖4中(a)、(b)曲線確定。前者為水深效應(yīng),后者等價(jià)于單純水底效應(yīng)。進(jìn)一步的分析,要針對(duì)具體船型進(jìn)行流場(chǎng)計(jì)算,以獲得更多的信息。以上五種情況的分析,是為了探索有關(guān)物理量變化的規(guī)律,故板塊單元數(shù)N較小。預(yù)料隨N的增加,計(jì)算結(jié)果的精度將提高且接近理論值。表8給出的是(a)情況當(dāng)H=∞時(shí)λ與N之關(guān)系。至于計(jì)算結(jié)果與水深H或壁距B0的關(guān)系,不仿先由較小N時(shí)求出,而后將式12中常數(shù)C改為當(dāng)H=∞(或B0=∞)時(shí)的理論值C=0.5。此外,當(dāng)N較小時(shí),對(duì)一固定的板塊劃分方式,來流的方位變化也會(huì)影響計(jì)算結(jié)果,而理論值則不變。對(duì)H=8米,N=4和49,速度U0分別沿X和Y軸兩種情況的計(jì)算結(jié)果列于表9,顯然當(dāng)N=49時(shí),λ計(jì)算值沿X、Y軸的差異變小。為了說明結(jié)論,表10分別給出了圓球R=1米及橢球α/b=7在(a)情況時(shí)U0=1米/秒;N=49;NH=7;H=1.2米及R=1米圓球在H=∞時(shí)的計(jì)算結(jié)果。四、影響進(jìn)一步探討的問題對(duì)于在水中運(yùn)動(dòng)的浮體或潛體,可能發(fā)