經(jīng)典微分中值定理中值點漸進(jìn)性的推廣

經(jīng)典微分中值定理中值點漸進(jìn)性的推廣

1982年，自阿茲皮亞提出了微分函數(shù)方程和積分中值方程的漸進(jìn)性問題以來，各種平均數(shù)學(xué)問題的漸進(jìn)性問題一直受到數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注。拉格朗日平均評價理論和科西平均評價理論這兩個經(jīng)典的微分評價中值點的漸進(jìn)性研究也取得了許多良好的結(jié)果。為了簡化描述，拉格朗日平均評價理論和科西平均評價理論如下。拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù),在開區(qū)間(a,x)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a,x)內(nèi)至少存在一點ξ,使f(x)-f(a)=f′(ξ)(x-a)(1)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f,g在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù),在開區(qū)間(a,x)內(nèi)可導(dǎo),且對任一t∈(a,x),g′(t)≠0,那么在(a,x)內(nèi)至少存在一點ξ,使f(x)-f(a)g(x)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ)(2)對于拉格朗日中值定理,AlfonsoG.Azpeitia首先得到如下結(jié)果:定理1設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,x]上二階可導(dǎo),f″在點a處右連續(xù)且f″(a)≠0,則公式(1)中的ξ滿足limx→a+ξ-ax-a=12戴立輝推廣了定理1,得到定理2設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,x]上存在直到n+1階導(dǎo)數(shù),f(n+1)在點a處右連續(xù),且f(i)(a)=0(i=2,3,…,n),f(n+1)(a)≠0,那么公式(1)中的ξ滿足limx→a+ξ-ax-a=1n√n+1對于柯西中值定理,李文榮得到定理3設(shè)函數(shù)f,g在閉區(qū)間[a,x]上二階可導(dǎo),對任一t∈[a,x],g′(t)≠0,f″,g″在點a處右連續(xù),且f″(a)g′(a)-f′(a)g″(a)≠0,則公式(2)中的ξ滿足limx→a+ξ-ax-a=12鄭權(quán)將定理3推廣為定理4設(shè)函數(shù)f,g在閉區(qū)間[a,x]上可導(dǎo),且對任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limt→a+g′(t)存在,函數(shù)Η(t)=f′(t)g′(t)在[a,x]內(nèi)存在直到n-1階導(dǎo)數(shù),在點a處存在n階導(dǎo)數(shù),并且H(i)(a)=0(i=1,2,…,n-1),H(n)(a)≠0,那么公式(2)中的ξ滿足limx→a+ξ-ax-a=1n√n+1本文將對上述結(jié)果作進(jìn)一步推廣,得到一些更為一般性的結(jié)果.定理5設(shè)函數(shù)f,g在閉區(qū)間[a,x]上可導(dǎo),limt→a+g′(t)存在,且對任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limx→a+f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α=A≠0,此處α>0,φ在[a,x]上嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo),φ′在點a處右連續(xù),φ′(a)≠0,那么公式(2)中的ξ滿足limx→a+φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)=1(1+α)1α證明由條件limt→a+g′(t)存在,根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義及洛必達(dá)法則,有g(shù)+′考慮函數(shù)F(x)=f(x)-f(a)g(x)-g(a)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α.一方面,根據(jù)洛必達(dá)法則,有l(wèi)imx→a+F(x)=limx→a+g′(a)[f(x)-f(a)]-f′(a)[g(x)-g(a)]g′(a)[g(x)-g(a)][φ(x)-φ(a)]α=limx→a+g′(a)f′(x)-f′(a)g′(x)g′(a){g′(x)[φ(x)-φ(a)]α+[g(x)-g(a)]?α[φ(x)-φ(a)]α-1φ′(x)}=limx→a+f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α+α[g(x)-g(a)][φ(x)-φ(a)]α-1φ′(x)g′(x)=limx→a+{f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α?11+α?g(x)-g(a)x-a?x-aφ(x)-φ(a)?φ′(x)g′(x)}=A1+α(3)另一方面,根據(jù)柯西中值定理,又有l(wèi)imx→a+F(x)=limx→a+f′(ξ)g′(ξ)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α(a<ξ<x)=limξ→a+f′(ξ)g′(ξ)-f′(a)g′(a)[φ(ξ)-φ(a)]αlimx→a+[φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)]α=Alimx→a+[φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)]α(4)比較(3)、(4)兩式,可得limx→a+[φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)]α=11+α又由條件φ在[a,x]上嚴(yán)格單調(diào)知,φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)>0,故limx→a+φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)=1(1+α)1α在定理5中,若取φ(t)=t,則可得推論1設(shè)函數(shù)f,g在閉區(qū)間[a,x]上可導(dǎo),limt→a+g′(t)存在,且對任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limx→a+f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)(x-a)α=A≠0,此處α>0,那么公式(2)中的ξ滿足limx→a+ξ-ax-a=1(1+α)1α下面利用推論1證明定理4.多次利用洛必達(dá)法則,有l(wèi)imx→a+Η(x)-Η(a)(x-a)n=limx→a+Η′(x)n(x-a)n-1=limx→a+Η″(x)n(n-1)(x-a)n-2=?=limx→a+Η(n-1)(x)n(n-1)?2?(x-a)=limx→a+Η(n-1)(x)-Η(n-1)(a)n!?(x-a)=Η(n)(a)n!≠0于是,由推論1可得limx→a+ξ-ax-a=1n+1n可見,定理5及推論1是定理4的推廣.定理6設(shè)函數(shù)f,g在閉區(qū)間[a,x]上可導(dǎo),且對任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limt→a+g′(t)存在,函數(shù)Η(t)=f′(t)g′(t)在點a處可導(dǎo),那么公式(2)中的ξ滿足limx→a+Η(ξ)-Η(a)x-a=12Η′(a)證明根據(jù)條件limt→a+g′(t)存在,在定理5的證明中已經(jīng)得到g′+(a)=limt→a+g′(t).與定理5的證明類似,考慮函數(shù)F(x)=f(x)-f(a)g(x)-g(a)-f′(a)g′(a)x-a.一方面,根據(jù)洛必達(dá)法則,有l(wèi)imx→a+F(x)=limx→a+g′(a)[f(x)-f(a)]-f′(a)[g(x)-g(a)]g′(a)(x-a)[g(x)-g(a)]=limx→a+g′(a)f′(x)-f′(a)g′(x)g′(a)[(x-a)g′(x)+g(x)-g(a)]=limx→a+f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)x-a+g(x)-g(a)g′(x)=limx→a+{f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)x-a?11+g(x)-g(a)x-a?1g′(x)}=limx→a+Η(x)-Η(a)x-a?limx→a+11+g(x)-g(a)x-a?1g′(x)=Η′(a)2(5)另一方面,根據(jù)柯西中值定理,又有l(wèi)imx→a+F(x)=limx→a+f′(ξ)g′(ξ)-f′(a)g′(a)x-a(a<ξ<x)=limx→a+Η(ξ)-Η(a)x-a(6)比較(5)、(6)兩式,可得limx→a+Η(ξ)-Η(a)x-a=12Η′(a)定理7設(shè)函數(shù)f,g在閉區(qū)間[a,x]上可導(dǎo),且對任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limt→a+g′(t)存在,函數(shù)Η(t)=f′(t)g′(t)在[a,x]上存在直到n-1階導(dǎo)數(shù),在點a處存在n階導(dǎo)數(shù),并且H(i)(a)=0(i=1,2,…,n-1),H(n)(a)≠0,那么公式(2)中的ξ滿足limx→a+Η(i)(ξ)x-a={0,i=1,2,?,n-2Η(n)(a)n+1n,i=n-1證明根據(jù)定理4,有l(wèi)imx→a+ξ-ax-a=1n+1n于是,limx→a+Η(i)(ξ)x-a=limx→a+[Η(i)(ξ)-Η(i)(a)ξ-a?ξ-ax-a](i=1,2,?,n-1)=limξ→a+Η(i)(ξ)-Η(i)(a)ξ-a?limx→a+ξ-ax-a=Η(i+1)(a)?1n+1n={0,i=1,2,?,n-2Η(n)(a)n+1n,i=n-1拉格朗日中值定理是柯西中值定理在g(t)=t時的特殊情形,對于拉格朗日中值定理也有類似于定理5～7的結(jié)果.定理8設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,x]上可導(dǎo),limx→a+f′(x)-f′(a)[φ(x)-φ(a)]α=A≠0,此處α>0,φ在[a,x]上嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo),φ′在點a處右連續(xù),φ′(a)≠0,那么公式(1)中的ξ滿足limx→a+φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)=1(1+α)1α推論2設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,x]上可導(dǎo),limx→a+f′(x)-f′(a)(x-a)α=A≠0,此處α>0,那么公式(1)中的ξ滿足limx→a+ξ-ax-a=1(1+α)1α定理9設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,x]上可導(dǎo),在點a處二階