4典型結(jié)構(gòu)有限元分析(桁架與梁結(jié)構(gòu))

4典型結(jié)構(gòu)有限元分析桁架與梁結(jié)構(gòu)山東科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院

2012.111/36桁架結(jié)構(gòu)有限元分析2桁架結(jié)構(gòu)桁架的定義一維桁架二維桁架空間桁架2023/10/1931.桁架的定義桁架是一種工程結(jié)構(gòu)，它由直的桿件（member）組成，這些桿件在端點(diǎn)處通過螺栓、鉚釘、銷或焊接而連接在一起。對(duì)于簡(jiǎn)單桿件受力變形問題，可以采用材料力學(xué)或結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法進(jìn)行求解；而對(duì)于受力情況和結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜的桿系結(jié)構(gòu)，如以桿件為基本單元組合成的大型空間結(jié)構(gòu)，則必須采用有限元進(jìn)行分析。在桿系結(jié)構(gòu)的有限元法中，基本方程可基于材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)建立，也可以基于能量原理的推導(dǎo)。2023/10/1942.一維桁架一維桁架的桿件通常認(rèn)為是二力桿。單元類型是桿單元(elementtype)，端點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)(nodepoint)，如圖1所示。圖1桁架單元2023/10/19設(shè)桿件的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，拉伸后長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，截面積為A，彈性模量為E，受到軸向的拉力F作用后，假設(shè)圖1所示的桿件的軸向位移量為u。由材料力學(xué)中得知，桿件在軸線方向的伸長(zhǎng)量為：52.一維桁架將

L

除以L得到軸線方向的線應(yīng)變延伸率為：2023/10/19此外，在桿件截面上的應(yīng)力為：(1)(2)(3)胡克定律指出：當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即(4)62.一維桁架式中的彈性模量E的值隨材料而不同。幾種常用材料的E值見表1：2023/10/19若把（2）、（3）式代入公式（4）中，得(5)材料名稱E(GN/m2)碳

鋼合金鋼灰鑄鐵銅及其合金鋁合金196~216186~20678.5~15772.6~128700.24~0.280.25~0.300.23~0.270.31~0.420.33表1

幾種常用材料的E和的值若桿件變形前橫向尺寸為b，變形后為b1，則橫向應(yīng)變?yōu)?2.一維桁架試驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變

與軸向應(yīng)變

之比的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)。即2023/10/19式中，

稱為橫向變形系數(shù)或泊松比，是一個(gè)沒有量綱的量，數(shù)值見表1。(6)(7)簡(jiǎn)化（5）式得到有限元的整體平衡方程式(8)其中K稱為剛度系數(shù)，結(jié)合兩式得到(9)82.一維桁架假設(shè)桿件兩端分別為i節(jié)點(diǎn)與j節(jié)點(diǎn)，我們可以得到i節(jié)點(diǎn)和j節(jié)點(diǎn)的整體靜力平衡方程式2023/10/19整理，得(10)(11)寫成矩陣形式為(12)式中稱為剛度矩陣。93.二維桁架

一般來說，需要兩個(gè)參考坐標(biāo)系來描述二維桁架問題：整體坐標(biāo)系和局部參考坐標(biāo)系，我們指定整體坐標(biāo)系為X-Y：（1）代表每個(gè)節(jié)點(diǎn)，使用角度

記錄每個(gè)桿（單元）的方向；（2）根據(jù)各自的整體部件應(yīng)用約束并施加負(fù)載；（3）在整體方向上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移表示問題的解。同時(shí)在單元端部節(jié)點(diǎn)建立一局部坐標(biāo)系為x-y，來描述各個(gè)桿（單元）的二力桿行為。2023/10/19103.二維桁架設(shè)單元兩端點(diǎn)分別為i和j節(jié)點(diǎn)，以下描述了整體位移和局部位移之間的關(guān)系：2023/10/19(13)將上式以矩陣的形式表示成：(14)113.二維桁架若將（14）式矩陣的簡(jiǎn)化形式，有2023/10/19(15)

[U]和[u]分別代表整體坐標(biāo)系X-Y和局部坐標(biāo)系x-y參考坐標(biāo)下節(jié)點(diǎn)i和j的位移。[T]是從局部變形轉(zhuǎn)化到整體變形的變化矩陣。式中，、、同理可以求得局部力和整體力有以下關(guān)系：123.二維桁架2023/10/19(16)寫成矩陣形式，為(17)133.二維桁架2023/10/19(18)以上步驟推導(dǎo)出了各個(gè)屬性的局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)間的關(guān)系，然而，需要記住:在局部坐標(biāo)下y方向上位移和力為零。原式中是整體坐標(biāo)下施加在節(jié)點(diǎn)i和j上的分量，且是代表局部坐標(biāo)系下施加在節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i和j上的分量。143.二維桁架因很簡(jiǎn)單，在假設(shè)的二力條件下，桿只能沿軸向（局部坐標(biāo)下x方向）伸長(zhǎng)或縮短。開始我們不將這些值設(shè)置為零以便保持一般的矩陣描述，這將更加容易推導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃嚒．?dāng)將位移的y方向以及力設(shè)置為零時(shí)，這一過程將變得非常清楚。2023/10/19局部?jī)?nèi)力和位移通過剛度矩陣有以下關(guān)系(19)，若寫成矩陣形式，我們有：153.二維桁架2023/10/19(20)由（20）式代入(18)式，得：由(15)式得：，代入上式，得：(21)式中，[T]-1是變換矩陣[T]的逆矩陣或轉(zhuǎn)置矩陣桁架的任意單元的剛度矩陣：164.空間桁架2023/10/19三維桁架通常稱為空間桁架，是結(jié)構(gòu)力學(xué)和有限元法中的重要結(jié)構(gòu)形式，也是工程上常見的結(jié)構(gòu)類型之一。如何快速準(zhǔn)確的計(jì)算桁架結(jié)構(gòu)各桿件的受力情況下的變形量，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。（1）三維空間桁架174.空間桁架2023/10/19在空間桁架中，第m個(gè)單元的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)受力為，每個(gè)二力桿單元的首末節(jié)點(diǎn)i和j節(jié)點(diǎn)位移量用六個(gè)未知量來表示，即，因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)（接合點(diǎn)）可以在三個(gè)方向上移動(dòng),并且角度定義了每個(gè)桿相對(duì)整體坐標(biāo)系X-Y-Z的方向，如圖所示。（2）三維桁架分析理論基礎(chǔ)184.空間桁架2023/10/19空間桁架單元是既有局部坐標(biāo)，又有總體坐標(biāo)的三維有限元，單元類型用線性函數(shù)描述?？臻g桁架單元的系數(shù)有彈性模量E、橫截面積A和長(zhǎng)度L.每個(gè)空間桁架單元有2個(gè)結(jié)點(diǎn),并且總體坐標(biāo)系X,Y,Z軸的傾斜角方向余弦可以根據(jù)桿的節(jié)點(diǎn)i和j的坐標(biāo)和桿的長(zhǎng)度的差分得出：式中，m代表第m個(gè)二力桿單元；i,j代表第m個(gè)二力桿單元的兩個(gè)端點(diǎn)即節(jié)點(diǎn)；Lm代表第m個(gè)二力桿單元的長(zhǎng)度，由下式給出：(23)194.空間桁架2023/10/19利用變換矩陣將整體位移和力與局部位移和力聯(lián)系起來，然后應(yīng)用桿的二力桿屬性，建立第m個(gè)單元的單元方程：式中[Km]e為6x6的空間桁架單元?jiǎng)偠染仃?。式中：km為二力桿單元m軸向剛度矩陣，其值為：(24)(25)20例題分析基于ANSYS的一維桁架有限元分析實(shí)例：活塞桿強(qiáng)度問題，P74前處理（Preprocessor）——求解（Solution）——后處理（GeneralPostProc）基于ANSYS的二維桁架有限元分析實(shí)例：二維桁架強(qiáng)度問題，P86原始數(shù)據(jù)的處理——前處理（Preprocessor）——求解（Solution）——后處理（GeneralPostProc）基于ANSYS的空間桁架有限元分析實(shí)例：空間桁架強(qiáng)度問題，P102前處理（Preprocessor）——求解（Solution）——后處理（GeneralPostProc）21梁的有限元分析22/36梁理論梁?jiǎn)卧怯糜邢拊ㄟM(jìn)行梁柱體系分析時(shí)常用單元。用在土木建筑行業(yè)。桿件是指軸線(長(zhǎng)度方向)尺寸遠(yuǎn)比橫向(垂自于軸線方向)尺寸大得多的構(gòu)件。梁柱桿件是指同時(shí)承受彎矩(或橫向力)和軸力作用的構(gòu)件，其中以承受彎矩為主的構(gòu)件稱為梁，而以承受軸向壓力為主的構(gòu)件稱為柱。所以，梁柱受力分析的理論基礎(chǔ)是相同的，均基于梁理論。梁理論一般分為歐拉·伯努利（Euler-Bernoulli）梁理論和鐵木辛柯(Timoshenko)梁理論兩種。2023/10/1923/36梁?jiǎn)卧捌渥鴺?biāo)變換局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫媪簡(jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換24/36局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧儚澚簡(jiǎn)卧?單元描述)幾何形狀：長(zhǎng)度l，橫截面為A。材料屬性：彈性模量E，橫截面的慣性矩為I。節(jié)點(diǎn)：i,j共2個(gè)局部坐標(biāo)系：oxy25/36材料力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?續(xù))轉(zhuǎn)角撓度彎矩剪力坐標(biāo)26/36局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧鐖D所示為一局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧ＴO(shè)有兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)位移列陣和節(jié)點(diǎn)力列陣為可以利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢(shì)能計(jì)算公式，可以將單元的所有力學(xué)參量用節(jié)點(diǎn)位移列陣來表示。27/36局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元位移場(chǎng)的表達(dá)

由于有4個(gè)節(jié)點(diǎn)位移條件，可假設(shè)純彎梁?jiǎn)卧奈灰茍?chǎng)(撓度)為具有4個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)模式，即由該單元的節(jié)點(diǎn)位移條件可求出4個(gè)待定系數(shù)，即28局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元位移場(chǎng)的表達(dá)重寫位移函數(shù)29局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)由純彎梁的幾何方程，有梁的應(yīng)變表達(dá)式30局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)單元的幾何函數(shù)矩陣，也叫應(yīng)變矩陣31局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)由梁的物理方程其中E為彈性模量，S（x,y）叫做單元的應(yīng)力函數(shù)矩陣32局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá)該單元的勢(shì)能為外力功應(yīng)變能33/36局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá)34局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá)外力功為單元的勢(shì)能為35局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?）單元的剛度方程同樣，由最小勢(shì)能原理，將單元?jiǎng)菽芊匠讨袑?duì)節(jié)點(diǎn)位移取一階極小值，可得單元?jiǎng)偠确匠蹋?6/36局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獮橥茖?dǎo)局部坐標(biāo)系中的一般平面梁?jiǎn)卧?，在純彎梁的基礎(chǔ)上疊加軸向位移(由于為線彈性問題，滿足疊加原理)，這時(shí)的節(jié)點(diǎn)位移自由度（DOF）共有6個(gè)，見圖平面梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移列陣節(jié)點(diǎn)力列陣為37/36局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧鄳?yīng)的剛度方程為對(duì)應(yīng)于圖中的節(jié)點(diǎn)位移和及節(jié)點(diǎn)位移列陣的排列次序，將桿單元?jiǎng)偠染仃嚺c純彎梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行組合，可得到下式單元?jiǎng)偠染仃嚕?8/36平面梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換局部坐標(biāo)系節(jié)點(diǎn)位移整體坐標(biāo)系節(jié)點(diǎn)位移39/36平面梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換按照兩個(gè)坐標(biāo)系中的位移向量相等效的原則，可推導(dǎo)出以下變換關(guān)系:寫成矩陣形式有40/36平面梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換梁?jiǎn)卧谡w坐標(biāo)系中的剛度方程為41/36空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換

空間梁?jiǎn)卧惺茌S力和彎矩外，還可能承受扭矩的作用，而且彎矩可能同時(shí)在兩個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)存在。如圖所示為一局部坐標(biāo)系中的空間梁?jiǎn)卧?2/36空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換其局部坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移列陣和節(jié)點(diǎn)力列陣為：43/36空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換分別基于前面桿單元和平面梁?jiǎn)卧膭偠染仃噷懗鰧?duì)應(yīng)于圖中各對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移的剛度矩陣，然后進(jìn)行組合以形成完整的剛度矩陣。（1）對(duì)應(yīng)于圖中的節(jié)點(diǎn)位移(u1，u2)這是軸向位移，有對(duì)應(yīng)于桿單元的剛度矩陣為（2）對(duì)應(yīng)于圖中的節(jié)點(diǎn)位移其中，J為橫截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩，G為剪切模量。44空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換（3）對(duì)應(yīng)于圖中OXY平面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移這是梁在Oxy平面內(nèi)的純彎曲情形，有對(duì)應(yīng)的剛度矩陣（4）對(duì)應(yīng)于圖中OXZ平面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移

這是梁在Oxz平面內(nèi)的純彎曲情形，可得到與上式類似的剛度矩陣，但所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移是不同的。45空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換（5）將各部分剛度矩陣進(jìn)行組合以形成完整的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)位移的次序，分別將上面各個(gè)部分的剛度矩陣的元素進(jìn)行組合，可形成局部坐標(biāo)系中空間梁?jiǎn)卧耐暾麆偠染仃?，?647/36空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換（6）空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換

空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換的原理和方法與平面梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換相同，只要分別寫出兩個(gè)坐標(biāo)系中的位移向量的等效關(guān)系則可得到坐標(biāo)變換矩陣。48空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換（6）空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換

局部坐標(biāo)系中空間梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移列陣和整體坐標(biāo)系中空間梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移列陣分別為：49空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換（6）空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換分別推導(dǎo)相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系50/36空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換（6）空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換同樣，對(duì)于端節(jié)點(diǎn)2，有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變換矩陣51空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換（6）空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換將各組位移分量進(jìn)行組合52實(shí)例一-梁結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)分析實(shí)例問題描述：梁的長(zhǎng)度為3m，高度為0.3m，寬度為0.2m，楊氏模量為2.1*1011Pa，受均布載荷為4000N/m。Exercise分析：本例中的懸臂梁不考慮重力的影響，只考慮受均布載荷的影響。本例的目的在于說明ANSYS中Beam3平面梁?jiǎn)卧氖褂??？臻g梁?jiǎn)卧荁eam4，使用方法同Beam353/36建立模型1.定義兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1）MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS…2）關(guān)鍵點(diǎn)1輸入坐標(biāo)為0，0。擊Apply。3）關(guān)鍵點(diǎn)2輸入坐標(biāo)為3，0。擊OK。2.建立直線模型MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>InActiveCoord，選擇關(guān)鍵點(diǎn)1、2，在其之間建立直線。

54/36定義單元類型、實(shí)常數(shù)1.定義單元類型MainMenu>Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，在彈出的對(duì)話框中單擊Add按鈕，添加Beam3單元。2.定義實(shí)常數(shù)MainMenu>Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，單擊Add按鈕。依次輸入截面的面積AREA=0.06m2,慣性矩IZZ=0.003m4，高度HEIGHT=0.3m，單擊OK按鈕。55/36定義材料模型MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，在彈出的對(duì)話框中雙擊Structural>Linear>Elastic>Isotropic。如圖輸入楊氏模量為2.1*1011，泊松比為0.3。56/36劃分單元網(wǎng)格1.UtilityMenu:MainMenu>Preprocessor>Meshing>Sizecntrls>ManualSize>Lines>AllLines，在SIZE中輸入0.3。

2.UtilityMenu:MainMenu>Preprocessor>Meshing>Mesh>Lines,點(diǎn)擊PickAll按鈕。57/36定義分析類型MainMenu>Solution>AnalysisType>NewAnalysis,在彈出的NewAnalysis菜單中選擇Static進(jìn)行靜力分析，點(diǎn)擊OK。58/36定義位移約束1.MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnKeypoint,在彈出的ApplyU，ROTonKPs對(duì)話框中定義1點(diǎn)的約束為ALLDOF。2.MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Pressure>OnBeams,選擇PickAll，出現(xiàn)ApplyPRESonBeams的對(duì)話框。輸入4000N/m，表示施加了方向向下均布載荷。

59/36求解問題MainMenu>Solution>Solve>CurrentLs。后處理顯示MainMenu>GeneralPostproc>PlotResult>DeformedShape…,在彈出的對(duì)話框中選擇Def+undefedge。60/36退出ANSYS1.單擊工具欄中的Quit按鈕，彈出ExitfromANSYS對(duì)話框。2.選擇SaveEverything保存所有數(shù)據(jù)，然后點(diǎn)擊OK退出ANSYS。恭喜!你已經(jīng)完成了整個(gè)分析過程。61/36實(shí)例二-橋式起重機(jī)大梁受力分析問題描述：橋式起重機(jī)的大梁的自重為均布載荷，集度為q=30KN/m，作用于跨度中點(diǎn)的吊重為集中力為F=20KN，大梁的截面為邊長(zhǎng)為s=0.05m的正方形，梁的長(zhǎng)度l=2m，求大梁跨度中點(diǎn)的撓度和各支座反力。Exercise62/36建立模型1.定義三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1）MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS…2）關(guān)鍵點(diǎn)1輸入坐標(biāo)為0，0。擊Apply。3）關(guān)鍵點(diǎn)2輸入坐標(biāo)為1，0。擊OK。4）關(guān)鍵點(diǎn)3輸入坐標(biāo)為2，0。擊OK。2.建立直線模型MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>InActiveCoord，選擇關(guān)鍵點(diǎn)1、2和2、3在其之間建立直線。

63/36定義單元類型、實(shí)常數(shù)1.定義單元類型MainMenu>Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，在彈出的對(duì)話框中單擊Add按鈕，添加Beam3單元。2.定義實(shí)常數(shù)MainMenu>Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，單擊Add按鈕。依次輸入截面的面積AREA=0.025m2,慣性矩IZZ=2.083*10-5m4，高度HEIGHT=0.05m，單擊OK按鈕確定。64/36定義材料模型MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，在彈出的對(duì)話框中雙擊Structural>Linear>Elastic>Isotropic。輸入楊氏模量為2.1*1011，泊松比為0.3。劃分單元網(wǎng)格