第3章《實(shí)數(shù)》知識(shí)講練（教師版）【導(dǎo)圖+知識(shí)點(diǎn)+新題拔高卷】2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)章節(jié)復(fù)習(xí)講義（浙教版）

第第頁2023-2024學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：平方根和立方根類型項(xiàng)目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)符號(hào)表示性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論知識(shí)點(diǎn)02：實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)撥：（1）所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.（4）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).3.實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)：

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

（1）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即≥0；

（3）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即().

非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負(fù)數(shù)有最小值零；

（2）有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

（3）幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.5.實(shí)數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小；法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?新昌縣期末）已知一個(gè)邊長為a米的正方形，面積是37平方米，則a的取值范圍是（）A．4＜a＜5 B．5＜a＜6 C．6＜a＜7 D．7＜a＜8解：∵個(gè)邊長為a米的正方形，面積是37平方米，∴a＝．∵36＜37＜49，∴6＜＜7，即6＜a＜7．故選：C．2．（2分）（2022秋?金華期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每兩個(gè)“1”之間依次多一個(gè)“7”）中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)解：，3.14是有理數(shù)；﹣π，，6.1717717771…（自左而右每兩個(gè)“1”之間依次多一個(gè)“7”）是無理數(shù)，∴無理數(shù)一共有3個(gè)．故選：B．3．（2分）（2023?沭陽縣模擬）在3.14，﹣，，0這四個(gè)數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）A．3.14 B．﹣ C． D．0解：在3.14，﹣，，0這四個(gè)數(shù)中，屬于無理數(shù)的是．故選：C．4．（2分）（2022秋?溫州期末）下列說法正確的是（）A．4的平方根是2 B．﹣8沒有立方根 C．8的立方根是±2 D．4的算術(shù)平方根是2解：A、根據(jù)平方根的定義可知4的平方根是±2，該選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)立方根的定義可知﹣8的立方根是﹣2，該選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)立方根的定義可知8的立方根是2，該選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)算術(shù)平方根的定義可知4的算術(shù)平方根是2，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．（2分）（2022秋?余姚市期末）在0，，，π，，0.010010001…（兩個(gè)“1”之間依次多一個(gè)“0”）這些數(shù)中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：，∴無理數(shù)是，π，0.010010001…（兩個(gè)“1”之間依次多一個(gè)“0”），共3個(gè)，故選：C．6．（2分）（2022秋?婺城區(qū)期末）實(shí)數(shù)﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)為a，無理數(shù)的個(gè)數(shù)為b，則a﹣b的值是（）A．1 B．3 C．2 D．5解：是有理數(shù)，有4個(gè)，即a＝4，是無理數(shù)，有2個(gè)，即b＝2，則a﹣b＝4﹣2＝2．故選：C．7．（2分）（2022秋?南潯區(qū)期末）估算的值大概在（）A．﹣1到0之間 B．0到1之間 C．1到2之間 D．2到3之間解：∵4＜7＜9，∴，∴的值大概在2到3之間．故選：D．8．（2分）（2022秋?余姚市月考）已知a是正整數(shù)，且滿足a﹣1＜＜a，則a的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6解：∵49＜56＜64，∴7＜＜8，∵a是正整數(shù)，且滿足a﹣1＜＜a，∴a＝8．故選：B．9．（2分）（2022秋?義烏市校級(jí)期中）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3解：∵≈2.872，∴約等于28.72．故選：A．10．（2分）（2022秋?蕭山區(qū)校級(jí)月考）a，b是有理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上的位置如圖所示．把a(bǔ)，b，﹣a，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．b＜a＜﹣a＜﹣b B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b解：∵由圖可知，b＜0＜a，|a|＜|b|，∴0＜a＜﹣b，b＜﹣a＜0，∴b＜﹣a＜a＜﹣b．故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?蘭溪市期末）如圖，在3×3的方格紙中，有一個(gè)正方形ABCD，這個(gè)正方形的邊長是．解：正方形的面積＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的邊長＝．故答案為：．12．（2分）（2022秋?武義縣期末）一個(gè)體積為8cm3的正方體，其棱長是2cm．解：＝2，所以體積為8cm3的正方體，其棱長是2cm．故答案為2．13．（2分）（2022秋?蓮都區(qū)期中）如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊長作一個(gè)正方形，以表示數(shù)2的點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，則點(diǎn)A表示的數(shù)是2﹣．解：如圖：由題意可知：CD＝CA＝＝，設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則：2﹣x＝x＝2﹣即：點(diǎn)A表示的數(shù)為2﹣故：答案為2﹣14．（2分）（2022秋?溫州期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若輸入的a＝3，b＝4，則輸出的結(jié)果為5．解：當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，＝＝＝5，所以輸出的結(jié)果為5．故答案為：5．15．（2分）（2022春?朝陽縣期末）比較大?。海?（填：“＞”或“＜”或“＝”）解：∵6＜9，∴＜3．故答案為：＜．16．（2分）（2022秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）長方形紙片上有一數(shù)軸，剪下10個(gè)單位長度（從﹣3到7）的一條線段，并把這條線段沿某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖所示）．若這三條線段的長度之比為1：2：2，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是1或2或3．解：根據(jù)題意可設(shè)這三條線段的長度分別為x、2x、2x個(gè)單位長度，則可列方程得：x+2x+2x＝10，解得：x＝2，則這三條線段長分別為2、4、4個(gè)單位長度，若剪下的第一條線段長為2個(gè)單位長度，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)為：﹣3+2+2＝1；若剪下的第一條線段長為4個(gè)單位長度，第二條線段為2個(gè)單位長度，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)為：﹣3+4+1＝2；若剪下的第一條線段長為4個(gè)單位長度，第二條線段也為4個(gè)單位長度，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)為：﹣3+4+2＝3；綜上所述：折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)為：1或2或3；故答案為：1或2或3．17．（2分）（2022秋?瑞安市期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d），規(guī)定運(yùn)算“?”為（a，b）?（c，d）＝（ac，bd）；運(yùn)算“⊕”為（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）?（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）?（p，q）＝（﹣4，9），則（1，﹣5）⊕（p，q）＝（﹣1，﹣2）．解：∵（2，3）?（p，q）＝（﹣4，9），∴2p＝﹣4，p＝﹣2，3q＝9，q＝3，∴（1，﹣5）⊕（p，q）＝（1，﹣5）⊕（﹣2，3）＝（﹣1，﹣2）．故答案為：（﹣1，﹣2）．18．（2分）（2022秋?海曙區(qū)期中）長方形ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)B、C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣2和﹣1，CD＝2．若長方形ABCD繞著點(diǎn)C順時(shí)針方向在數(shù)軸上翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1；繞D點(diǎn)翻轉(zhuǎn)第2次；繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，則翻轉(zhuǎn)2022次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的是3033．解：翻轉(zhuǎn)1次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的數(shù)為1，翻轉(zhuǎn)2次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的數(shù)為2，翻轉(zhuǎn)3次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的數(shù)為4，翻轉(zhuǎn)4次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的數(shù)為5，翻轉(zhuǎn)5次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的數(shù)為7，翻轉(zhuǎn)6次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的數(shù)為8，??????，翻轉(zhuǎn)偶數(shù)次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的數(shù)為3的倍數(shù)，即：翻轉(zhuǎn)2n次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的數(shù)為3n﹣1，∵2022÷2＝1011，∴翻轉(zhuǎn)2022次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)中較大的是1011×3﹣1＝3032，故答案為：3032．19．（2分）（2022秋?北侖區(qū)期中）若將邊長為1的5個(gè)正方形拼成圖1的形狀，然后將圖1按斜線剪開，再將剪開后的圖形拼成圖2所示的正方形，那么這個(gè)正方形的邊長是．解：根據(jù)圖形可知，這個(gè)正方形的面積是5，所以它的邊長是．20．（2分）（2022秋?寧?？h校級(jí)期中）如圖，在紙面上有一數(shù)軸，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，點(diǎn)C表示的數(shù)為．若子軒同學(xué)先將紙面以點(diǎn)B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，則此時(shí)數(shù)軸上與點(diǎn)C重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是4+或6﹣或2﹣．．解：第一次折疊后與A重合的點(diǎn)表示的數(shù)是：3+（3+1）＝7．與C重合的點(diǎn)表示的數(shù)：3+（3﹣）＝6﹣．第二次折疊，折疊點(diǎn)表示的數(shù)為：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．此時(shí)與數(shù)軸上的點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)為：5+（5﹣6+）＝4+．或1﹣（﹣1）＝2﹣故答案為：4+或6﹣或2﹣．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?衢州期中）計(jì)算下列各題．（1）9﹣12+（﹣1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）9﹣12+（﹣1）＝9﹣12﹣1＝9﹣13＝﹣4；（2）＝24××＝8；（3）＝﹣36×+（﹣36）×+（﹣36）×＝27﹣21+20＝6+20＝26；（4）＝﹣4+2×3＝﹣4+6＝2．22．（6分）（2022秋?拱墅區(qū)期末）已知一個(gè)正數(shù)m的平方根為2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？解：（1）∵正數(shù)m的平方根為2n+1和4﹣3n，正數(shù)m的平方根互為相反數(shù)，∴2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝121；（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝1+0+5＝6，∴a+b+c的平方根是±．23．（6分）（2022秋?慈溪市期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，且a，b互為相反數(shù)，2a+9是27的立方根．（1）求a，b的值及線段AB的長．（2）點(diǎn)P在射線BA上，它在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．①請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示線段BP的長．②當(dāng)x取何值時(shí)，BP＝2AP？解：（1）∵2a+9是27的立方根，∴，則a＝﹣3．∵a，b互為相反數(shù)，∴b＝﹣a＝3．∴AB＝3﹣（﹣3）＝6．（2）①∵點(diǎn)P在射線BA上，它在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．∴線段BP＝3﹣x②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，∵BP＝2AP，∴3﹣x＝2（x+3），解得x＝﹣1．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，∵BP＝2AP，∴3﹣x＝2（﹣3﹣x），解得x＝﹣9．綜上，當(dāng)x＝﹣1或﹣9時(shí)，BP＝2AP．24．（6分）（2022秋?永康市期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1來表示的小數(shù)部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是﹣2．請(qǐng)解答下列問題：（1）的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是﹣4．（2）已知a是3+的整數(shù)部分，b是其小數(shù)部分，求a﹣b的值．解：（1）∵4＜＜5，∴的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是﹣4；故答案為：4，﹣4；（2）∵2＜＜3，∴5＜3+＜6，∴3+的整數(shù)部分a＝5，小數(shù)部分b＝3+﹣5＝﹣2，∴a﹣b＝5﹣（﹣2）＝7﹣．25．（8分）（2022秋?新昌縣期中）如圖1，這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64．（1）求出這個(gè)魔方的棱長．（2）圖中陰影部分是一個(gè)正方形ABCD，求出陰影部分的面積及其邊長．（3）把正方形ABCD放到數(shù)軸上，如圖2，使得A與﹣1重合，那么D在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣1﹣2．解：（1）．答：這個(gè)魔方的棱長為4．（2）∵魔方的棱長為4，∴小立方體的棱長為2，∴陰影部分面積為：×2×2×4＝8，邊長為：＝2．答：陰影部分的面積是8，邊長是2．（3）D在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣1﹣2．故答案為：﹣1﹣2．26．（8分）（2022秋?海曙區(qū)期中）對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4.1]＝4．（1）則[11.8]＝11；[﹣11.9]＝﹣12；（2）現(xiàn)對(duì)119進(jìn)行如下操作：119[]＝10[]＝3[]＝1，這樣對(duì)119只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．①對(duì)15進(jìn)行1次操作后變?yōu)?，對(duì)200進(jìn)行3次操作后變?yōu)?；②對(duì)實(shí)數(shù)m恰進(jìn)行2次操作后變成1．則m最小可以取到4；③若正整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．解：（1）由題意得，[11.8]＝11；[﹣11.9]＝﹣12，故答案為：11；﹣12；（2）①對(duì)15進(jìn)行1次操作后變?yōu)閇]＝3；200進(jìn)行第一次操作：[]＝14，第二次操作后：[]＝3，第三次操作后：[]＝1，故答案為：3；1；②∵[x]＝1，∴1≤x＜2，∴1≤＜4，∴1≤m＜16，∵操作兩次，∴≥2，∴m≥4，∴4≤m＜16，∴m最小可以取到4；故答案為：4；③∵[x]＝1，∴1≤x＜2，∴1≤＜2，∴1≤m＜4，∴1≤＜16，∴1≤m＜256．∵3次操作，故m≥16．∴16≤m＜256．∵m是整數(shù)．∴m的最大值為255．27．（10分）（2022秋?杭州期中）閱讀理解：某節(jié)數(shù)學(xué)課上，杜老師在復(fù)習(xí)數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，給出了以下定義：若A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)C到A的距離等于點(diǎn)C到B的距離，那么我們就稱點(diǎn)C是點(diǎn)A，B的中點(diǎn)．例如，如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，表示數(shù)1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)C是點(diǎn)A，B的中點(diǎn)．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖2，E、F為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)E所表示的數(shù)為﹣4，點(diǎn)F所表示的數(shù)為3．?dāng)?shù)﹣所表示的點(diǎn)是點(diǎn)E，F(xiàn)的中點(diǎn)．（2）①如圖3，若數(shù)所表示的點(diǎn)G是點(diǎn)M，N的中點(diǎn)，其中點(diǎn)M，N所表示的數(shù)分別為m，n．那么m＝1，n＝2﹣1.（只要寫出符合條件的一對(duì)值即可）．②若數(shù)g所表示的點(diǎn)G是點(diǎn)M，N的中點(diǎn)，其中點(diǎn)M，N所表示的數(shù)分別為m，n．那么g＝.（用m，n的代數(shù)式表示）（3）如圖4，A，B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣10，點(diǎn)B所表示的數(shù)為18．現(xiàn)有一只電子蝸牛P從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)；同時(shí)另一只電子蝸牛Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)M，N分別是AP和BQ的中點(diǎn)，則在P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t＝或16秒時(shí)，點(diǎn)M，N到原點(diǎn)的距離相等（請(qǐng)直