第3章《實數》知識講練（教師版）【導圖+知識點+新題拔高卷】2023-2024學年七年級數學上冊章節(jié)復習講義（浙教版）

第第頁2023-2024學年浙教版數學七年級上冊章節(jié)知識講練知識點01：平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數非負數任意實數符號表示性質一個正數有兩個平方根，且互為相反數；零的平方根為零；負數沒有平方根；一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結論知識點02：實數有理數和無理數統(tǒng)稱為實數.

1.實數的分類按定義分：實數按與0的大小關系分：實數易錯點撥：（1）所有的實數分成三類：有限小數，無限循環(huán)小數，無限不循環(huán)小數．其中有限小數和無限循環(huán)小數統(tǒng)稱有理數，無限不循環(huán)小數叫做無理數．（2）無理數分成三類：①開方開不盡的數，如，等；②有特殊意義的數，如π；③有特定結構的數，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數的數都是無理數，并且無理數不能寫成分數形式.（4）實數和數軸上點是一一對應的.2.實數與數軸上的點一一對應.數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.3.實數的三個非負性及性質：

在實數范圍內，正數和零統(tǒng)稱為非負數。我們已經學習過的非負數有如下三種形式：

（1）任何一個實數的絕對值是非負數，即||≥0；

（2）任何一個實數的平方是非負數，即≥0；

（3）任何非負數的算術平方根是非負數，即().

非負數具有以下性質：

（1）非負數有最小值零；

（2）有限個非負數之和仍是非負數；

（3）幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0.4.實數的運算：數的相反數是－；一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立.實數混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.5.實數的大小的比較：

有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立.法則1.實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；法則2．正數大于0，0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而??；法則3.兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?新昌縣期末）已知一個邊長為a米的正方形，面積是37平方米，則a的取值范圍是（）A．4＜a＜5 B．5＜a＜6 C．6＜a＜7 D．7＜a＜8解：∵個邊長為a米的正方形，面積是37平方米，∴a＝．∵36＜37＜49，∴6＜＜7，即6＜a＜7．故選：C．2．（2分）（2022秋?金華期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每兩個“1”之間依次多一個“7”）中，無理數的個數有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個解：，3.14是有理數；﹣π，，6.1717717771…（自左而右每兩個“1”之間依次多一個“7”）是無理數，∴無理數一共有3個．故選：B．3．（2分）（2023?沭陽縣模擬）在3.14，﹣，，0這四個數中，屬于無理數的是（）A．3.14 B．﹣ C． D．0解：在3.14，﹣，，0這四個數中，屬于無理數的是．故選：C．4．（2分）（2022秋?溫州期末）下列說法正確的是（）A．4的平方根是2 B．﹣8沒有立方根 C．8的立方根是±2 D．4的算術平方根是2解：A、根據平方根的定義可知4的平方根是±2，該選項不符合題意；B、根據立方根的定義可知﹣8的立方根是﹣2，該選項不符合題意；C、根據立方根的定義可知8的立方根是2，該選項不符合題意；D、根據算術平方根的定義可知4的算術平方根是2，該選項符合題意；故選：D．5．（2分）（2022秋?余姚市期末）在0，，，π，，0.010010001…（兩個“1”之間依次多一個“0”）這些數中，無理數的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：，∴無理數是，π，0.010010001…（兩個“1”之間依次多一個“0”），共3個，故選：C．6．（2分）（2022秋?婺城區(qū)期末）實數﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理數的個數為a，無理數的個數為b，則a﹣b的值是（）A．1 B．3 C．2 D．5解：是有理數，有4個，即a＝4，是無理數，有2個，即b＝2，則a﹣b＝4﹣2＝2．故選：C．7．（2分）（2022秋?南潯區(qū)期末）估算的值大概在（）A．﹣1到0之間 B．0到1之間 C．1到2之間 D．2到3之間解：∵4＜7＜9，∴，∴的值大概在2到3之間．故選：D．8．（2分）（2022秋?余姚市月考）已知a是正整數，且滿足a﹣1＜＜a，則a的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6解：∵49＜56＜64，∴7＜＜8，∵a是正整數，且滿足a﹣1＜＜a，∴a＝8．故選：B．9．（2分）（2022秋?義烏市校級期中）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3解：∵≈2.872，∴約等于28.72．故選：A．10．（2分）（2022秋?蕭山區(qū)校級月考）a，b是有理數，它們在數軸上的位置如圖所示．把a，b，﹣a，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．b＜a＜﹣a＜﹣b B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b解：∵由圖可知，b＜0＜a，|a|＜|b|，∴0＜a＜﹣b，b＜﹣a＜0，∴b＜﹣a＜a＜﹣b．故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?蘭溪市期末）如圖，在3×3的方格紙中，有一個正方形ABCD，這個正方形的邊長是．解：正方形的面積＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的邊長＝．故答案為：．12．（2分）（2022秋?武義縣期末）一個體積為8cm3的正方體，其棱長是2cm．解：＝2，所以體積為8cm3的正方體，其棱長是2cm．故答案為2．13．（2分）（2022秋?蓮都區(qū)期中）如圖，以數軸的單位長度線段為邊長作一個正方形，以表示數2的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫半圓，交數軸于點A和點B，則點A表示的數是2﹣．解：如圖：由題意可知：CD＝CA＝＝，設點A表示的數為x，則：2﹣x＝x＝2﹣即：點A表示的數為2﹣故：答案為2﹣14．（2分）（2022秋?溫州期末）按如圖所示的程序計算，若輸入的a＝3，b＝4，則輸出的結果為5．解：當a＝3，b＝4時，＝＝＝5，所以輸出的結果為5．故答案為：5．15．（2分）（2022春?朝陽縣期末）比較大小：＜3（填：“＞”或“＜”或“＝”）解：∵6＜9，∴＜3．故答案為：＜．16．（2分）（2022秋?鹿城區(qū)校級期中）長方形紙片上有一數軸，剪下10個單位長度（從﹣3到7）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖所示）．若這三條線段的長度之比為1：2：2，則折痕處對應的點所表示的數可能是1或2或3．解：根據題意可設這三條線段的長度分別為x、2x、2x個單位長度，則可列方程得：x+2x+2x＝10，解得：x＝2，則這三條線段長分別為2、4、4個單位長度，若剪下的第一條線段長為2個單位長度，則折痕處對應的點所表示的數為：﹣3+2+2＝1；若剪下的第一條線段長為4個單位長度，第二條線段為2個單位長度，則折痕處對應的點所表示的數為：﹣3+4+1＝2；若剪下的第一條線段長為4個單位長度，第二條線段也為4個單位長度，則折痕處對應的點所表示的數為：﹣3+4+2＝3；綜上所述：折痕處對應的點所表示的數為：1或2或3；故答案為：1或2或3．17．（2分）（2022秋?瑞安市期中）對于任意實數對（a，b）和（c，d），規(guī)定運算“?”為（a，b）?（c，d）＝（ac，bd）；運算“⊕”為（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）?（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）?（p，q）＝（﹣4，9），則（1，﹣5）⊕（p，q）＝（﹣1，﹣2）．解：∵（2，3）?（p，q）＝（﹣4，9），∴2p＝﹣4，p＝﹣2，3q＝9，q＝3，∴（1，﹣5）⊕（p，q）＝（1，﹣5）⊕（﹣2，3）＝（﹣1，﹣2）．故答案為：（﹣1，﹣2）．18．（2分）（2022秋?海曙區(qū)期中）長方形ABCD在數軸上的位置如圖所示，點B、C對應的數分別為﹣2和﹣1，CD＝2．若長方形ABCD繞著點C順時針方向在數軸上翻轉，翻轉1次后，點D所對應的數為1；繞D點翻轉第2次；繼續(xù)翻轉，則翻轉2022次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的是3033．解：翻轉1次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的數為1，翻轉2次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的數為2，翻轉3次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的數為4，翻轉4次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的數為5，翻轉5次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的數為7，翻轉6次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的數為8，??????，翻轉偶數次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的數為3的倍數，即：翻轉2n次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的數為3n﹣1，∵2022÷2＝1011，∴翻轉2022次后，落在數軸上的兩點所對應的數中較大的是1011×3﹣1＝3032，故答案為：3032．19．（2分）（2022秋?北侖區(qū)期中）若將邊長為1的5個正方形拼成圖1的形狀，然后將圖1按斜線剪開，再將剪開后的圖形拼成圖2所示的正方形，那么這個正方形的邊長是．解：根據圖形可知，這個正方形的面積是5，所以它的邊長是．20．（2分）（2022秋?寧?？h校級期中）如圖，在紙面上有一數軸，點A表示的數為﹣1，點B表示的數為3，點C表示的數為．若子軒同學先將紙面以點B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點A和點B重合，則此時數軸上與點C重合的點所表示的數是4+或6﹣或2﹣．．解：第一次折疊后與A重合的點表示的數是：3+（3+1）＝7．與C重合的點表示的數：3+（3﹣）＝6﹣．第二次折疊，折疊點表示的數為：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．此時與數軸上的點C重合的點表示的數為：5+（5﹣6+）＝4+．或1﹣（﹣1）＝2﹣故答案為：4+或6﹣或2﹣．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?衢州期中）計算下列各題．（1）9﹣12+（﹣1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）9﹣12+（﹣1）＝9﹣12﹣1＝9﹣13＝﹣4；（2）＝24××＝8；（3）＝﹣36×+（﹣36）×+（﹣36）×＝27﹣21+20＝6+20＝26；（4）＝﹣4+2×3＝﹣4+6＝2．22．（6分）（2022秋?拱墅區(qū)期末）已知一個正數m的平方根為2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？解：（1）∵正數m的平方根為2n+1和4﹣3n，正數m的平方根互為相反數，∴2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝121；（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝1+0+5＝6，∴a+b+c的平方根是±．23．（6分）（2022秋?慈溪市期末）如圖，數軸上點A，B分別表示數a，b，且a，b互為相反數，2a+9是27的立方根．（1）求a，b的值及線段AB的長．（2）點P在射線BA上，它在數軸上對應的數為x．①請用含x的代數式表示線段BP的長．②當x取何值時，BP＝2AP？解：（1）∵2a+9是27的立方根，∴，則a＝﹣3．∵a，b互為相反數，∴b＝﹣a＝3．∴AB＝3﹣（﹣3）＝6．（2）①∵點P在射線BA上，它在數軸上對應的數為x．∴線段BP＝3﹣x②當點P在點A右側時，∵BP＝2AP，∴3﹣x＝2（x+3），解得x＝﹣1．當點P在點A左側時，∵BP＝2AP，∴3﹣x＝2（﹣3﹣x），解得x＝﹣9．綜上，當x＝﹣1或﹣9時，BP＝2AP．24．（6分）（2022秋?永康市期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能全部寫出來，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1來表示的小數部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整數部分是2，小數部分是﹣2．請解答下列問題：（1）的整數部分是4，小數部分是﹣4．（2）已知a是3+的整數部分，b是其小數部分，求a﹣b的值．解：（1）∵4＜＜5，∴的整數部分是4，小數部分是﹣4；故答案為：4，﹣4；（2）∵2＜＜3，∴5＜3+＜6，∴3+的整數部分a＝5，小數部分b＝3+﹣5＝﹣2，∴a﹣b＝5﹣（﹣2）＝7﹣．25．（8分）（2022秋?新昌縣期中）如圖1，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64．（1）求出這個魔方的棱長．（2）圖中陰影部分是一個正方形ABCD，求出陰影部分的面積及其邊長．（3）把正方形ABCD放到數軸上，如圖2，使得A與﹣1重合，那么D在數軸上表示的數為﹣1﹣2．解：（1）．答：這個魔方的棱長為4．（2）∵魔方的棱長為4，∴小立方體的棱長為2，∴陰影部分面積為：×2×2×4＝8，邊長為：＝2．答：陰影部分的面積是8，邊長是2．（3）D在數軸上表示的數為﹣1﹣2．故答案為：﹣1﹣2．26．（8分）（2022秋?海曙區(qū)期中）對于任何實數a，可用[a]表示不超過a的最大整數，如[4.1]＝4．（1）則[11.8]＝11；[﹣11.9]＝﹣12；（2）現對119進行如下操作：119[]＝10[]＝3[]＝1，這樣對119只需進行3次操作后變?yōu)?．①對15進行1次操作后變?yōu)?，對200進行3次操作后變?yōu)?；②對實數m恰進行2次操作后變成1．則m最小可以取到4；③若正整數m進行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．解：（1）由題意得，[11.8]＝11；[﹣11.9]＝﹣12，故答案為：11；﹣12；（2）①對15進行1次操作后變?yōu)閇]＝3；200進行第一次操作：[]＝14，第二次操作后：[]＝3，第三次操作后：[]＝1，故答案為：3；1；②∵[x]＝1，∴1≤x＜2，∴1≤＜4，∴1≤m＜16，∵操作兩次，∴≥2，∴m≥4，∴4≤m＜16，∴m最小可以取到4；故答案為：4；③∵[x]＝1，∴1≤x＜2，∴1≤＜2，∴1≤m＜4，∴1≤＜16，∴1≤m＜256．∵3次操作，故m≥16．∴16≤m＜256．∵m是整數．∴m的最大值為255．27．（10分）（2022秋?杭州期中）閱讀理解：某節(jié)數學課上，杜老師在復習數軸上的點與數之間的關系時，給出了以下定義：若A，B，C是數軸上的三個點，如果點C到A的距離等于點C到B的距離，那么我們就稱點C是點A，B的中點．例如，如圖1，點A表示的數為﹣1，點B表示的數為3，表示數1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是2，那么點C是點A，B的中點．【知識運用】（1）如圖2，E、F為數軸上兩點，點E所表示的數為﹣4，點F所表示的數為3．數﹣所表示的點是點E，F的中點．（2）①如圖3，若數所表示的點G是點M，N的中點，其中點M，N所表示的數分別為m，n．那么m＝1，n＝2﹣1.（只要寫出符合條件的一對值即可）．②若數g所表示的點G是點M，N的中點，其中點M，N所表示的數分別為m，n．那么g＝.（用m，n的代數式表示）（3）如圖4，A，B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣10，點B所表示的數為18．現有一只電子蝸牛P從點A出發(fā)，以1個單位每秒的速度向右運動；同時另一只電子蝸牛Q從點B出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，若點M，N分別是AP和BQ的中點，則在P，Q的運動過程中，當t＝或16秒時，點M，N到原點的距離相等（請直