高三北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪導(dǎo)學(xué)案 12.1 隨機(jī)事件的概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)案60隨機(jī)事件的概率導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1。了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別.2。了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．自主梳理1．事件的分類(1）一般地，我們把在條件S下，____________的事件,叫做相對于條件S的必然事件，簡稱____________．(2）在條件S下，____________的事件，叫做相對于條件S的不可能事件，簡稱____________．(3)在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做________________________________,簡稱隨機(jī)事件．事件一般用大寫字母A，B，C…表示．2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱____________________為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例________________為事件A出現(xiàn)的頻率．（2)在相同的條件下,大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)________附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有________，這個(gè)常數(shù)叫事件A的概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A________，則事件B________，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)______(或______）相等關(guān)系若B?A且______，那么稱事件A與事件B相等______并事件(和事件）若某事件發(fā)生________________________，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)______(或______)交事件（積事件）若某事件發(fā)生________________________,則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）________（或______）互斥事件若A∩B為________事件,那么稱事件A與事件B互斥A∩B＝____對立事件若A∩B為________事件，A∪B為________事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件B＝______(或A＝____）4.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)（1)概率的取值范圍：________。（2)必然事件的概率：P（E)＝____。（3)不可能事件的概率：P（F）＝____.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P（A∪B)＝________。（5）對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B）＝____,P（A）＝________。自我檢測1．(2011·臺(tái)州月考)下列說法正確的是(）A．某事件發(fā)生的頻率為P（A）＝1.1B．不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1C．小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然發(fā)生的事件D．某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的2．（2011·中山期末)如果把必然事件和不可能事件看做隨機(jī)事件的極端情形，隨機(jī)事件A的概率取值范圍是（）A．P(A）>0 B．P(A)≥0C．0〈P(A）〈1 D．0≤P（A)≤13．(2011·中山期末)從12個(gè)同類產(chǎn)品(其中有10個(gè)正品，2個(gè)次品)中,任意抽取3個(gè)的必然事件是（）A．3個(gè)都是正品 B．至少有1個(gè)是次品C．3個(gè)都是次品 D．至少有1個(gè)是正品4．袋中裝有白球3個(gè)，黑球4個(gè),從中任取3個(gè),①恰有1個(gè)白球和全是白球;②至少有1個(gè)白球和全是黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球．在上述事件中，是對立事件的為()A．① B．② C．③ D．④5．（2011·廣州調(diào)研)關(guān)于互斥事件的理解，錯(cuò)誤的是（)A．若A發(fā)生，則B不發(fā)生；若B發(fā)生，則A不發(fā)生B．若A發(fā)生,則B不發(fā)生,若B發(fā)生,則A不發(fā)生，二者必具其一C．A發(fā)生,B不發(fā)生；B發(fā)生，A不發(fā)生;A、B都不發(fā)生D．若A、B又是對立事件，則A、B中有且只有一個(gè)發(fā)生探究點(diǎn)一隨機(jī)事件的概念例1一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任意取出一只球．(1)“取出的球是紅球”是什么事件，它的概率是多少?（2）“取出的球是黑球"是什么事件，它的概率是多少？(3）“取出的球是白球或是黑球”是什么事件,它的概率是多少？變式遷移1某城市有甲、乙兩種報(bào)紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)紙”,事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙"，事件D為“不訂甲報(bào)紙”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂"．判斷下列每對事件是不是互斥事件;如果是，再判斷它們是不是對立事件．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；（4）B與C;(5)C與E。探究點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率例2某中學(xué)部分學(xué)生參加全國高中數(shù)學(xué)競賽取得了優(yōu)異成績，指導(dǎo)老師統(tǒng)計(jì)了所有參賽同學(xué)的成績(成績都為整數(shù),試題滿分120分)，并且繪制了“頻數(shù)分布直方圖”如圖，請回答：(1)該中學(xué)參加本次高中數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生有多少人?(2)如果90分以上（含90分)獲獎(jiǎng)，那么獲獎(jiǎng)的概率大約是多少？(結(jié)果保留分?jǐn)?shù))變式遷移2某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí)，結(jié)果如下表所示：投籃次數(shù)n8101520304050進(jìn)球次數(shù)m681217253238進(jìn)球頻率eq\f(m,n)(1)填寫上表．(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約是多少？探究點(diǎn)三互斥事件與對立事件的概率例3(2011·新鄉(xiāng)模擬）一盒中裝有12個(gè)球,其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球,1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：（1)取出1球是紅球或黑球的概率；（2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．變式遷移3一個(gè)箱子內(nèi)有9張票，其號(hào)數(shù)分別為1，2，…，9，從中任取2張，其號(hào)數(shù)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率是多少？1．隨機(jī)事件在相同條件下進(jìn)行大量試驗(yàn)時(shí)，呈現(xiàn)規(guī)律性，且頻率eq\f(m，n)總是接近于常數(shù)P(A)，稱P（A）為事件A的概率．2．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對立事件，“互斥"是“對立”的必要不充分條件．3．求某些較復(fù)雜的概率問題時(shí)，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個(gè)彼此互斥的事件的和,然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件eq\x\to(A）的概率，然后利用P（A）＝1－P（eq\x\to(A))可得解．（滿分：75分）一、選擇題(每小題5分，共25分)1．從一批產(chǎn)品（其中正品、次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，下列事件是互斥事件的是（)①恰好有1件次品和恰好有兩件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少1件次品和全是正品．A．①② B．①③ C．③④ D．①④2．（2011·廣州模擬）下列說法：①頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大小；②做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率eq\f（m，n）就是事件A發(fā)生的概率；③百分率是頻率,但不是概率;④頻率是不能脫離n次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．其中正確的是（）A．①②③④ B．①④⑤C．①②③④⑤ D．②③3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件，那么（)A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件4．（2011·平頂山月考）某入伍新兵的打靶練習(xí)中，連續(xù)射擊2次,則事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（）A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶5．（2009·安徽)考察正方體6個(gè)面的中心，從中任意選3個(gè)點(diǎn)連成三角形，再把剩下的3個(gè)點(diǎn)也連成三角形，則所得的兩個(gè)三角形全等的概率等于(）A．1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D．0二、填空題（每小題4分，共12分)6．從某自動(dòng)包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：g）:492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根據(jù)頻率分布估計(jì)總體分布的原理，該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g~501。57．(2011·福建）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球,其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)．若從中隨機(jī)取出2個(gè)球,則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率為________．8．(2011·上海）隨機(jī)抽取的9位同學(xué)中,至少有2位同學(xué)在同一月份出生的概率為________（默認(rèn)每個(gè)月的天數(shù)相同，結(jié)果精確到0。001)．三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·南京模擬)某學(xué)?；@球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)的某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì)，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員,求：(1）該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率；(2)該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率．10．(12分）袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f（1,3），得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12),得到黃球或綠球的概率也是eq\f（5，12），試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？11．(14分)現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者,其中志愿者A1、A2、A3通曉日語，B1、B2、B3通曉俄語，C1、C2通曉韓語,從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組．(1）求A1被選中的概率；（2)求B1和C1不全被選中的概率．學(xué)案60隨機(jī)事件的概率自主梳理1．（1）一定會(huì)發(fā)生必然事件(2）一定不會(huì)發(fā)生不可能事件（3)相對于條件S的隨機(jī)事件2.(1)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nAfn(A)＝eq\f(nA,n）（2)常數(shù)穩(wěn)定性3．發(fā)生一定發(fā)生B?AA?BA?BA＝B當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生A∪BA＋B當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生A∩BAB不可能?不可能必然eq\x\to（A）eq\x\to(B)4。（1）0≤P（A）≤1(2）1(3)0(4)P(A）＋P（B）（5）11－P（B)自我檢測1．B2.D3。D4.B5。B課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引解決這類問題的方法主要是弄清每次試驗(yàn)的意義及每個(gè)基本事件的含義，正確把握各個(gè)事件的相互關(guān)系，判斷一個(gè)事件是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件，主要是依據(jù)在一定條件下,所要求的結(jié)果是否一定出現(xiàn)、不可能出現(xiàn)（可能出現(xiàn)、可能不出現(xiàn)），它們的概率（范圍）分別為1，0，（0,1）．解(1)由于口袋內(nèi)只裝有黑、白兩種顏色的球，故“取出的球是紅球”是不可能事件，其概率是0.（2)由已知，從口袋內(nèi)取出一個(gè)球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球"是隨機(jī)事件，它的概率是eq\f(3，8).（3)由于口袋內(nèi)裝的是黑、白兩種顏色的球,故取出一個(gè)球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是1.變式遷移1解（1）由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中有可能“只訂甲報(bào)紙”，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件．（2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂"是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件．由于事件B發(fā)生可導(dǎo)致事件E一定不發(fā)生，且事件E發(fā)生也會(huì)導(dǎo)致事件B一定不發(fā)生，故B與E還是對立事件．（3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中有可能“只訂乙報(bào)紙”，即有可能“不訂甲報(bào)紙"，即事件B發(fā)生,事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件．（4）事件B“至少訂一種報(bào)紙"中有這些可能：“只訂甲報(bào)紙”、“只訂乙報(bào)紙”、“訂甲、乙兩種報(bào)紙”，事件C“至多訂一種報(bào)紙"中有這些可能：“一種報(bào)紙也不訂"、“只訂甲報(bào)紙”、“只訂乙報(bào)紙"，由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件．（5)由(4)的分析，事件E“一種報(bào)紙也不訂"是事件C的一種可能,故事件C與事件E有可能同時(shí)發(fā)生,故C與E不是互斥事件．例2解題導(dǎo)引本題利用直方圖求出獲獎(jiǎng)的頻率，作為概率的近似值．通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用這個(gè)事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率是求一個(gè)事件的概率的基本方法．注意頻率是隨機(jī)的、變化的,而概率是一個(gè)常數(shù)，頻率在其附近擺動(dòng)．解（1)由頻數(shù)分布直方圖可知，參加本次數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生有4＋6＋8＋7＋5＋2＝32（人)．(2）90分以上的人數(shù)為7＋5＋2＝14（人)，∴獲獎(jiǎng)的頻率為eq\f（14，32）＝eq\f(7，16)，即本次競賽獲獎(jiǎng)的概率大約是eq\f（7,16).變式遷移2解(1）頻率是在試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，由此得，進(jìn)球頻率依次是eq\f(6，8）,eq\f（8,10），eq\f（12，15),eq\f（17,20）,eq\f（25,30），eq\f(32,40),eq\f（38,50），即0。75,0.8,0。8，0。85，0.83，0。8，0.76。(2）因?yàn)轭l率是概率的近似值,所以這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約是0。8.例3解題導(dǎo)引用互斥事件和對立事件的概率公式解題，關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，然后結(jié)合互斥事件與對立事件的定義分析出是否是互斥事件與對立事件，再?zèng)Q定用哪一個(gè)公式．利用互斥事件求概率體現(xiàn)了分類討論的思想，利用對立事件求概率體現(xiàn)了“正難則反”的策略．解方法一（利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝｛任取1球?yàn)楹谇颍?A3＝｛任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P（A1）＝eq\f（5，12），P（A2）＝eq\f(4,12）,P(A3)＝eq\f（2，12)，P（A4）＝eq\f（1，12)，根據(jù)題意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得（1）取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝eq\f(5，12)＋eq\f(4，12）＝eq\f（3,4)。（2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P（A1∪A2∪A3)＝P(A1）＋P(A2)＋P(A3）＝eq\f（5，12)＋eq\f（4，12）＋eq\f（2,12）＝eq\f（11,12）。方法二（利用對立事件求概率）（1)由方法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P（A3∪A4)＝1－P(A3）－P（A4）＝1－eq\f(2,12)－eq\f（1，12)＝eq\f(3,4)。(2)因?yàn)锳1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4)＝1－eq\f（1，12）＝eq\f(11，12).變式遷移3解方法一從9張任取2張共有36種，記為(1,2）,（1,3)，…，（8，9）,記事件A為任取2張,號(hào)數(shù)至少有一個(gè)為奇數(shù)，則A＝{(1,2），…,（1，9),（2，3），（2，5），（2，7），（2,9），(3，4），…，(3,9），…，(8,9)}．共有8＋4＋6＋3＋4＋2＋2＋1＝30.∴P(A）＝eq\f（30,36)＝eq\f（5,6）.方法二事件A的對立事件為任取2張，號(hào)數(shù)都為偶數(shù),∴eq\x\to(A）＝｛（2,4），（2，6)，(2,8),（4，6),(4,8)，（6，8)}共6種．∴P（A）＝1－P（eq\x\to(A))＝1－eq\f(6,36）＝eq\f（5,6).課后練習(xí)區(qū)1．D2．B[由概率的相關(guān)定義知①④⑤正確．］3．B[由互斥事件、對立事件的定義可知互斥不一定對立，對立一定互斥,即甲是乙的必要條件但不是充分條件．］4．C［由互斥事件定義可知,如果兩事件互斥,兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生．“至少有一次中靶"包括“恰有一次中靶"或“兩次都中靶”．故A、B、D都能同時(shí)發(fā)生．］5．A[由正方體的對稱性知其六個(gè)面的中心構(gòu)成同底的兩個(gè)四棱錐，且四棱錐的各個(gè)側(cè)面是全等的三角形，底面四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，從這6個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形可分為以下兩類：第一類是選中相對面中心兩點(diǎn)及被這兩個(gè)平面所夾的四個(gè)面中的任意一個(gè)面的中心，構(gòu)成的是等腰直角三角形，此時(shí)剩下的三個(gè)點(diǎn)也連成一個(gè)與其全等的三角形．第二類是所選三個(gè)點(diǎn)均為多面體的側(cè)面三角形的三個(gè)點(diǎn)(即所選3個(gè)點(diǎn)所在的平面彼此相鄰）此時(shí)構(gòu)成的是正三角形，同時(shí)剩下的三個(gè)點(diǎn)也構(gòu)成與其全等的三角形,故所求概率為1.］6．0.257。eq\f(3,5)解析從5個(gè)球中任取2個(gè)球有Ceq\o\al(2,5）＝10（種)取法，2個(gè)球顏色不同的取法有Ceq\o\al(1，3)Ceq\o\al(1，2）＝6（種），故所求概率為eq\f（6,10）＝eq\f（3，5）.8．0。985解析9位同學(xué)出生月份的所有可能種數(shù)為129,9人出生月份不同的所有可能種數(shù)為Aeq\o\al(9,12)，故P＝1－eq\f（A\o\al（9,12），129）≈1－0。01547≈0.985。9．解（1)設(shè)“該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)"為事件A，則事件A的概率P(A)＝eq\f（12,20）＝eq\f(3，5).（6分）（2)設(shè)“該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)”為事件B,則事件B的概率為P（B)＝1－eq\f(2,20）＝eq\f（9，10)。(12分）10．解設(shè)事件A、B、C、D分別表示“任取一球，得到紅球”,“任取一球，得到黑球”，“任取一球,得到黃球”，“任取一球，得到綠球”,則由已知得P(A）＝eq\f（1,3），(3分）P（B∪C）＝P(B)＋P(C）＝eq\f（5，12)，P（C∪D)＝P（C)＋P（D)＝eq\f(5,12），P（B∪C∪D)＝1－P(A）