北師大版數學七年級下冊期末復習考點串講+題型專訓專題08 全等三角形證明方法 一線三等角模型（含解析）

專題08全等三角形證明方法——一線三等角模型基本模型：（1）條件：如圖，SKIPIF1<0是經過SKIPIF1<0頂點C的一條直線，SKIPIF1<0，E、F分別是直線SKIPIF1<0上的兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結論：SKIPIF1<0.（2）條件：如圖，直線SKIPIF1<0經過SKIPIF1<0的外部，SKIPIF1<0，E、F分別是直線SKIPIF1<0上的兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.（3）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.

（4）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.（5）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結論：SKIPIF1<0.例題精講：例1．【一線三等角模型】如圖1：點A、B、C在一條直線上，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．理由：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣請將全等證明過程補充完整．【模型運用】如圖2：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；【能力提升】如圖3：在等邊SKIPIF1<0中，A，C分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0邊上的動點，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0內作等邊SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當點A從點E向點D運動（不與點D重合）時，SKIPIF1<0的度數變化嗎？如不變請求出它的度數，如變化，請說明它是怎樣變化的？【答案】【一線三等角模型】見解析；【模型運用】8；【能力提升】SKIPIF1<0不變，理由見解析【詳解】【一線三等角模型】證明：如圖1：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；【模型運用】解：如圖2：過點D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點T．同法可證SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；【能力提升】解：SKIPIF1<0不變．理由：如圖3中，在SKIPIF1<0上取一點N，使得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造一線三等角模型，利用全等三角形解決問題．例2．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經過點C，且SKIPIF1<0于D，SKIPIF1<0于E．（1）當直線SKIPIF1<0繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；（2）當直線SKIPIF1<0繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：SKIPIF1<0；（3）當直線SKIPIF1<0繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的等量關系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）SKIPIF1<0【詳解】解：（1）①∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）當MN旋轉到題圖（3）的位置時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所滿足的等量關系是：SKIPIF1<0．理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質的綜合應用，解題時注意：全等三角形的對應邊相等，同角的余角相等，解決問題的關鍵是根據線段的和差關系進行推導，得出結論．例3．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D在線段SKIPIF1<0上運動（點D不與點B和點C重合），連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0于點E．（1）在點D的運動過程中，SKIPIF1<0的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出SKIPIF1<0的度數；若不可以，請說明理由；（2）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0的形狀可以是等腰三角形，SKIPIF1<0的度數為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）見解析【詳解】（1）解：在點D的運動過程中，SKIPIF1<0的形狀可以是等腰三角形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，分三種情況：當SKIPIF1<0時，∵點D在線段SKIPIF1<0上運動（點D不與點B和點C重合），∴SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；綜上所述：在點D的運動過程中，SKIPIF1<0的形狀可以是等腰三角形，SKIPIF1<0的度數為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定與性質，分三種情況討論是解題的關鍵．例4．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過點A作SKIPIF1<0于點H，反向延長線段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F．（1）如圖1，當SKIPIF1<0時①請直接寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數量關系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：SKIPIF1<0（2）如圖2，當SKIPIF1<0時，上述①②結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）①＝；②見解析；（2）成立，理由見解析【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：＝；②∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）成立，證明如下：作SKIPIF1<0于點M，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點N，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握權等三角形的判定和性質是解題的關鍵．例5．直線l經過點A，SKIPIF1<0在直線l上方，SKIPIF1<0．（1）如圖1，SKIPIF1<0，過點B，C作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，D，A，E三點在直線l上，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為任意銳角或鈍角），猜想線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0有何數量關系？并給出證明；（3）如圖3，SKIPIF1<0過點B作直線l上的垂線，垂足為F，點D是SKIPIF1<0延長線上的一個動點，連結SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直線l與SKIPIF1<0交于點G．求證：G是SKIPIF1<0的中點．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0，理由見解析；（3）見解析【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，（2）解：猜想：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）證明：分別過點C、E作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴G為SKIPIF1<0的中點．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．專練過關：1．如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，點P在SKIPIF1<0上，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見解析；（2）15m【解答】（1）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（同角的余角相等）．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了全等三角形的應用，用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯系．2．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D、A、E三點都在直線m上，并且有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】7【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明SKIPIF1<0是解題的關鍵．3．如圖，SKIPIF1<0為等邊三角形，點D為SKIPIF1<0邊上一點，先將三角板SKIPIF1<0角的頂點與D點重合，平放三角板，再繞點D轉動三角板，三角板SKIPIF1<0角的兩邊分別與邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于點E、點F，當SKIPIF1<0時，如圖（2）所示．求證：SKIPIF1<0．【答案】見解析【解答】證明：∵SKIPIF1<0為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由旋轉變換得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了等邊三角形性質，旋轉變換的性質，全等三角形的判定和性質等，熟練掌握全等三角形的基本模型：一線三等角是解題的關鍵．4．如圖，把一塊直角三角尺SKIPIF1<0的直角頂點C放置在水平直線SKIPIF1<0上，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試回答下列問題：（1）若把三角尺SKIPIF1<0繞著點C按順時針方向旋轉，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0度；（2）在三角尺SKIPIF1<0繞著點C按順時針方向旋轉過程中，分別作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．（3）三角尺SKIPIF1<0繞著點C按順時針方向繼續(xù)旋轉到圖3的位置，其他條件不變，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間有什么關系？請說明理由．【答案】（1）45；（2）8；（3）SKIPIF1<0，理由見解析【詳解】解：（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為45；（2）∵SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，同角的余角相等，判斷出SKIPIF1<0是解本題的關鍵．5．已知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，直線l過點A．（1）如圖1，SKIPIF1<0，分別過點B，C作直線l的垂線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為D，E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數量關系，并證明．（2）如圖2，當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數量關系為．【答案】（1）①見解析；②SKIPIF1<0，理由見解析；（2）SKIPIF1<0，理由見解析【詳解】解：（1）①依題意補全圖形如圖1所示．②用等式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數量關系為SKIPIF1<0．證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，直線l過點A，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）用等式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數量關系為SKIPIF1<0，理由如下：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個外角，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質、直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．6．已知，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，A，E三點都在直線m上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）如圖①，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數量關系為，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數量關系為；（2）如圖②，判斷并說明線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數量關系；（3）如圖③，若只保持SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點A在線段SKIPIF1<0上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段SKIPIF1<0上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）．是否存在x，使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等？若存在，求出相應的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，由（1）同理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）存在，當SKIPIF1<0時，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數學思想．7．在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．（1）如圖1，當SKIPIF1<0時，猜想線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數量關系是；（2）如圖2，當SKIPIF1<0時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應用：如圖3，當SKIPIF1<0時，點F為SKIPIF1<0平分線上的一點，且SKIPIF1<0，分別連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0的形狀，并說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）SKIPIF1<0是等邊三角形，理由見解析【詳解】解：（1）SKIPIF1<0，理由如下，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0仍然成立，理由如下，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0是等邊三角形，理由如下，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同（2）可得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練應用一線三等角模型證明三角形全等．8．如圖所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D是線段SKIPIF1<0延長線上一點，且SKIPIF1<0