人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)【課本】5年級(jí)第26講-比較與估算

第二十六講比較與估算

------------------------------------------------------------------------------------在前面的章節(jié)中，同學(xué)們已經(jīng)對(duì)分?jǐn)?shù)的計(jì)算有了一定的認(rèn)識(shí)，也學(xué)習(xí)了很多比較分?jǐn)?shù)大小的方法．今天我們將繼續(xù)研究一些較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)比較大小和估算的問(wèn)題．------------------------------------------------------------------------------------例題1．現(xiàn)有7個(gè)數(shù)，其中5個(gè)是、、、、．如果按照從小到大排列的第三個(gè)數(shù)是，那么位于最中間的數(shù)是多少？「分析」這是一個(gè)比較多個(gè)數(shù)大小關(guān)系的推理題，雖然其中有著兩個(gè)數(shù)未知，但是我們還應(yīng)該先比較已知數(shù)之間的大小關(guān)系，再利用其他條件來(lái)推理出題目的結(jié)果．練習(xí)1．有8個(gè)數(shù)，、、、、、是其中的6個(gè)．如果按從小到大的順序排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是．那么按從大到小排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)？例題2．在不等式的方框中填入一個(gè)自然數(shù)，使得不等式成立．「分析」分子相同，分母大的分?jǐn)?shù)?。肿硬灰粯釉趺幢容^大小呢？練習(xí)2在不等式的方框中填入一個(gè)自然數(shù)，使得不等式成立．那么方框中最大可以填多少？----------------------------------------------------------------------------------在算式的估算中，有一種方法比較常用，就是用非常接近的數(shù)來(lái)替換原來(lái)的數(shù)，這樣可以得到一個(gè)和真實(shí)答案非常接近的近似值，但一定要注意近似值與真實(shí)值之間的誤差是否符合題意．----------------------------------------------------------------------------------例題3．算式計(jì)算結(jié)果的整數(shù)部分是多少？「分析」本題需要計(jì)算兩個(gè)較復(fù)雜的數(shù)相乘，但是不要求計(jì)算出最后結(jié)果，只要求出結(jié)果的整數(shù)部分就可以了．我們可以從以下兩個(gè)方面考慮：（1）估算結(jié)果的大致情況，推出整數(shù)部分．（2）計(jì)算出準(zhǔn)確結(jié)果，確定整數(shù)部分．那大家想一想應(yīng)該怎么辦？

練習(xí)3．算式計(jì)算結(jié)果的整數(shù)部分是多少？----------------------------------------------------------------------------------算式的縮放是估算問(wèn)題中經(jīng)常用到的方法．縮放的方法有很多．在放縮的時(shí)候要注意不可將范圍放縮得過(guò)大，這樣將無(wú)法起到放縮本來(lái)應(yīng)該有的作用．----------------------------------------------------------------------------------例題4．算式計(jì)算結(jié)果的整數(shù)部分是多少？「分析」本題顯然不能硬算，不然太麻煩．如果能將該算式稍加變形，使它不僅變得好算，還能確定大小范圍，那就可以求出它的整數(shù)部分是多少了．

練習(xí)4．算式計(jì)算結(jié)果的整數(shù)部分是多少？例題5．求出的計(jì)算結(jié)果的整數(shù)部分．「分析」同例題4，需要對(duì)算式稍作變形，加以放縮來(lái)確定大小范圍，進(jìn)而求出整數(shù)部分．

例題6．（1）兩個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分分別是4和5，那么這兩個(gè)小數(shù)乘積的整數(shù)部分共有多少種可能的取值？

（2）將兩個(gè)小數(shù)四舍五入到個(gè)位后，所得到的數(shù)值分別是7和9．將這兩個(gè)小數(shù)的乘積四舍五入到個(gè)位后共有多少種可能的取值？「分析」注意到題目中的兩個(gè)小數(shù)分別有一個(gè)連續(xù)的取值范圍，那么乘積也一定有一個(gè)連續(xù)的取值范圍．

等號(hào)與不等號(hào)的歷史一、等號(hào)，不等號(hào)為了表示等量關(guān)系，用“＝”表示“相等”，這是大家最熟悉的一個(gè)符號(hào)了．說(shuō)來(lái)話長(zhǎng)，在15、16世紀(jì)的數(shù)學(xué)書(shū)中，還用單詞代表兩個(gè)量的相等關(guān)系．例如在當(dāng)時(shí)一些公式里，常常寫(xiě)著aequ或aequaliter這種單詞，其含義是“相等”的意思．1557年，英國(guó)數(shù)學(xué)家列科爾德，在其論文《智慧的磨刀石》中說(shuō)：“為了避免枯燥地重復(fù)isaequalleto（等于）這個(gè)單詞，我認(rèn)真地比較了許多的圖形和記號(hào)，覺(jué)得世界上再也沒(méi)有比兩條平行而又等長(zhǎng)的線段，意義更相同了．”于是，列科爾德有創(chuàng)見(jiàn)性地用兩條平行且相等的線段“＝”表示“相等”，“＝”叫做等號(hào)．用“＝”替換了單詞表示相等是數(shù)學(xué)上的一個(gè)進(jìn)步．由于受當(dāng)時(shí)歷史條件的限制，列科爾德發(fā)明的等號(hào)，并沒(méi)有馬上為大家所采用．歷史上也有人用其它符號(hào)表示過(guò)相等．例如數(shù)學(xué)家笛卡兒在1637年出版的《幾何學(xué)》一書(shū)中，曾用“∞”表示過(guò)“相等”．直到17世紀(jì)，德國(guó)的數(shù)學(xué)家萊布尼茲，在各種場(chǎng)合下大力倡導(dǎo)使用“＝”，由于他在數(shù)學(xué)界頗負(fù)盛名，等號(hào)漸漸被世人所公認(rèn)．順便提一下，“≠”是表示“不相等”關(guān)系的符號(hào)，叫做不等號(hào)．“≠”和“=”的意義相反，在數(shù)學(xué)里也是經(jīng)常用到的，例如a＋1≠a＋5．二、大于號(hào)，小于號(hào)現(xiàn)實(shí)世界中的同類量，如長(zhǎng)度與長(zhǎng)度，時(shí)間與時(shí)間之間，有相等關(guān)系，也有不等關(guān)系．我們知道，相等關(guān)系可以用“＝”表示，不等關(guān)系用什么符號(hào)來(lái)表示呢？為了尋求一套表示“大于”或“小于”的符號(hào)，數(shù)學(xué)家們絞盡了腦汁．1629年，法國(guó)數(shù)學(xué)家日臘爾，在他的《代數(shù)教程》中，用象征的符號(hào)“ff”表示“大于”，用符號(hào)“§”表示“小于”．例如，A大于B記作：“AffB”，A小于B記作“A§B”．1631年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特，首先創(chuàng)用符號(hào)“＞”表示“大于”，“＜”表示“小于”，這就是現(xiàn)在通用的大于號(hào)和小于號(hào)．例如5＞3，－2＜0，a＞b，m＜n．與哈里奧特同時(shí)代的數(shù)學(xué)家們也創(chuàng)造了一些表示大小關(guān)系的符號(hào)．例如，1631年，數(shù)學(xué)家?jiàn)W烏列德曾采用“”代表“大于”；用“”代表“小于”．1634年，法國(guó)數(shù)學(xué)家厄里貢在他寫(xiě)的《數(shù)學(xué)教程》里，引用了很不簡(jiǎn)便的符號(hào)，表示不等關(guān)系，例如：a＞b用符號(hào)“a3|2b”表示；b＜a用符號(hào)“b2|3a”表示．因?yàn)?/p>