中考總復習十二平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱

平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱

一、單元知識網(wǎng)絡：

二、考試目標要求：

通過具體實例認識軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，探索它們的基本性質(zhì).能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形.探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性質(zhì)及其相關性質(zhì).了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形.探索圖形之間的變換關系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合）.利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進行圖案設計；認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應用.

具體目標：

（1）圖形的平移

①通過具體實例認識平移，探索它的基本性質(zhì)，理解對應點連線平行且相等的性質(zhì)。

②能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形。

③利用平移進行圖案設計，認識和欣賞平移在現(xiàn)實生活中的應用。

（2）圖形的旋轉(zhuǎn)

①通過具體實例認識旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應點與旋轉(zhuǎn)中心

連線所成的角彼此相等的性質(zhì)。

②了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形。

③能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形。

④欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應用。

⑤探索圖形之間的變換關系(軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)。

⑥靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設計。

（3）圖形的軸對稱

①通過具體實例認識軸對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì)。

②能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；探索簡單圖形之間的軸對稱關系，并

能指出對稱軸。

③探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及其相關性質(zhì)。

④欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，結(jié)合現(xiàn)實生活中典型實例了解并欣賞物體的鏡面對稱，能利用軸對稱

進行圖案設計。

三、知識考點梳理

知識點一、平移

1、平移概念：

把一個圖形整體沿一方向移動，得到一個新的圖形，圖形的這種移動，叫做平移變換，簡稱平移。

2、平移變換的性質(zhì)

①對應線段平行（或共線）且相等；對應點所連結(jié)的線段平行且相等，因為經(jīng)過平移，圖形的每個點都

沿同一個方向移動了相同的距離，平移變換前后的兩條對應線段的四個端點所圍成的四邊形為平行四

邊形（四點共線除外）.

②對應角分別相等，且對應角的兩邊分別平行，方向一致.

③平移后的圖形與原圖形全等，因為平移只改變圖形位置，不改變圖形的形狀和大小.

3、平移作圖步驟

①確定平移的方向和距離；

②根據(jù)對應點的連線平行（或在一條直線上）且相等作出圖形各關鍵點的對應點；

③按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)各點.

知識點二、旋轉(zhuǎn)

1、旋轉(zhuǎn)概念：

把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)。點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、中心對稱與中心對稱圖形

中心對稱：

把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心對稱的對稱點。

中心對稱圖形：

把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫中心對稱圖形.

3、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

4、旋轉(zhuǎn)作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.

②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應點.

5、中心對稱作圖步驟

①連結(jié)決定已知圖形的形狀、大小的各關鍵點與對稱中心，并且延長至2倍，得到各點的對稱點.

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形.

知識點三、軸對稱

1、軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱：

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應點，叫做對稱點。

軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2、軸對稱變換的性質(zhì)

①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.

3、軸對稱作圖步驟

①找出已知圖形的關鍵點，過關鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點的對稱點。

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形.

綜上：

1、圖形變換與圖案設計的基本步驟

①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案。

2、平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱之間的聯(lián)系

一個圖形沿兩條平行直線翻折（軸對稱）兩次相當于一次平移，沿不平行的兩條直線翻折兩次相當于一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線交角的2倍.

四、規(guī)律方法指導

1.數(shù)形結(jié)合思想

在運用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的性質(zhì)解問題時需尋找對稱點，構(gòu)造變換后的圖形，也可借助網(wǎng)格和直角坐標系來解決問題。

2.分類討論思想

利用所學知識，掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形、平移與旋轉(zhuǎn)、中心對稱圖形與旋轉(zhuǎn)對稱圖形之間的區(qū)別和聯(lián)系，注意分類歸納總結(jié)，對知識靈活運用。

3.化歸與轉(zhuǎn)化思想

運用圖形的全等變換可將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形.對圖形的處理可以通過平移，對折和旋轉(zhuǎn)使問題簡化.

4.注意觀察、分析、總結(jié)

學習本版塊內(nèi)容時，應將觀察、分析、動手操作等活動貫穿于全部的學習中，靈活地探索圖形之間的變換關系，利用動態(tài)的變化思考問題，將復雜的、不完整的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的幾何圖形，使解題達到化繁為簡、化難為易的目的。經(jīng)典例題精析

考點一、平移

1．如圖，下列各組圖形，可經(jīng)平移變換，由一個圖形得到另一個圖形的是（）.

【考點】平移概念

【解析】平移是指一個圖形沿某一方向的平行移動，所以選項B、選項C、和選項D都不可以由平移變換得到.

【答案】A.

2．一個圖形經(jīng)過平移變換后，有以下幾種說法，其中不恰當?shù)恼f法是（）.

A.平移后，圖形的形狀和大小都不改變

B.平移后的圖形與原圖形的對應線段相等，對應角相等

C.平移后的圖形的形狀不變，但大小可以改變

D.利用基本圖形的平移可以設計出美麗的圖案

【考點】運用平移的性質(zhì)解題

【解析】圖形的平移變換不改變圖形的形狀和大小，變換后的圖形與原圖形是全等圖形.

【答案】C.

3．如圖，三角形ABC是等邊三角形，D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE、EF、FD把三角形ABC分成四個完全相同的等邊三角形。

（1）如果把三角形DBE、三角形FEC分別看作是由三角形ADF平移得到的，寫出其平移的方向與距離，并

分別說明D、E、F三點在線段AB、BC、CA上的位置；

（2）三角形DEF能不能看作是由三角形ADF平移得到的？為什么？

【考點】平移的概念和性質(zhì)

【思路點撥】如果一個圖形是由另一個圖形平移得到的，各對應點的平移方向相同，平移的距離相等，且這兩個圖形的形狀、大小都不改變，即對應邊、對應角都相等。

【答案】解：（1）三角形ADF平移到三角形DBE，平移方向是點A到點D的方向，平移的距離是線段AD的長度；同樣三角形ADF平移到三角形FEC，平移方向是點A到點F的方向，平移的距離是線段AF的長度。

因為平移后的圖形的形狀、大小不改變，所以AD=DB、AF=FC、BE=DF=EC。因此，D、E、F分別是邊AB、邊AC和邊BC的中點。

（2）三角形DEF不能看作是由△ADF平移得到的圖形。因為直線AD與直線DE不平行。

4．如圖，五邊形經(jīng)過平移，它的頂點A移至點A′處，畫出平移后的五邊形。

【考點】利用平移的性質(zhì)作圖

【思路點撥】弄清圖形平移前后的對應關系及平移方式是解決平移問題的關鍵。因為圖形中每一點平移的方式是相同的。所以本例由其中一個對應點的平移方式就可以得出圖形的平移的方向及平移的距離。

【答案】解：由圖（1），可知將頂點A先向右平移9格，再向下平移1格就得點A′。以同樣的方式平移頂點B、C、D、E得點B′、C′、D′、E′，分別聯(lián)結(jié)A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，就得到五邊形ABCDE平移后的五邊形A′B′C′D′E′（圖（2））。

5．將圖（1）中的頂點A沿箭頭方向移到了A′，作出平移后的圖形.

【考點】平移作圖

【解析】“經(jīng)過平移，對應點所連線段平行且相等”，A點與A′點的位置確定了平移的方向和長度，作出各關鍵點的對應點是解本題的關鍵.

設圖（1）中各頂點分別為A、B、C、D、E、F、H，如圖（2）.

作法：（1）過點B作線段BB′，使BB′∥AA′，BB′=AA′，則得點B的對應點B′.

（2）同樣方法作C、D、E、F、H的對應點C′、D′、E′、F′、H′.

（3）連結(jié)A′B′、B′C′，C′A′，D′H′，E′F′，H′F′.

所以圖形A′B′C′D′H′F′E′為所求的圖形.

總結(jié)升華：圖形的平移變換是中考的必考內(nèi)容，特別是圖形的平移和其它知識綜合是中考的熱點問題，因此我們在復習時更要把握好平移的相關概念及性質(zhì).

舉一反三：

【變式1】如圖，線段AB=CD，AB與CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，則AC+BD與AB的大小關系是（）.

A.AC+BD<ABB.AC+BD=ABC.AC+BD≥ABD.無法確定

【考點】運用平移的性質(zhì)解題

【思路點撥】全面考慮AC和BD的位置關系，并且正確運用平移性質(zhì)是解決問題的關鍵.CE是經(jīng)AB平移得到，則CE=AB，CE與CD的夾角仍為60°.

【解析】∵AB=CE，AB∥CE，∴∠OCE=∠AOC=60°.

又∵CD=AB，∴CE=CD.

連結(jié)DE，則△CDE是等邊三角形.∴CD=DE=CE=AB.

∵BD+BE>DE，∴BD+AC>AB.當AC∥BD時，BD+AC=AB，∴AC+BD≥AB.

【答案】C.

【變式2】如下圖，將Rt△ABC沿斜邊AB向右平移5cm，得到Rt△DEF，已知AB=10cm，BC=8cm，則圖中陰影部分三角形的周長為____________.

【考點】圖形的平移同其它知識綜合解題

【思路點撥】正確地運用平移的性質(zhì)和三角形的中位線定理可快速解答此題.三角形經(jīng)平移后對應線段共線或平行.

【解析】如圖，根據(jù)平移性質(zhì)有：AD=5cm，

∵AB＝10cm，∴D點為AB的中點.

又∵DF是由AC平移所得，∴AC∥DF，∴DP為△ABC的中位線，

∴DP=AC.PB=BC.∴陰影部分三角形的周長為Rt△ABC周長的一半.

在Rt△ABC中，

∴Rt△ABC的周長為10＋8＋6＝24（cm）.

∴陰影部分三角形的周長為12cm.

【變式3】在平面直角坐標系中，把P（a，b）先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，再把所得的點以x軸作軸對稱變換，最終所得的點的坐標為（5，4），求點P的坐標.

【考點】圖形的平移同其它知識綜合解題

【思路點撥】我們可畫出草圖，觀察點P進行變換后橫縱坐標的變化情況，然后求解.

【解析】

解法1：將P（a，b）按題中要求平移后的坐標為（a-3，b+2），

此點關于x軸的對稱點為（a-3，-b-2），根據(jù)題意，得

∴P點坐標為（8，-6）.

解法2：點（5，4）關于x軸的對稱點坐標為（5，-4），

按題中要求相反方向平移此點得點P的坐標為（8，-6）.

總結(jié)升華：解法2中，逆向思考問題更簡單.運用方程思想解答必須明確表示同一點的坐標其橫坐標相同，縱坐標相同.

考點二、旋轉(zhuǎn)

6．△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，∠AOB=45°，則∠AOD等于（）

A．B．C．D．

【考點】旋轉(zhuǎn)的概念

【思路點撥】注意旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向

【答案】D

7．如圖，如果四邊形CDEF旋轉(zhuǎn)后能與正方形ABCD重合，那么圖形所在平面上可以作旋轉(zhuǎn)中心的共有幾個？分別進行說明，此時它的旋轉(zhuǎn)角是幾度？

【考點】中心對稱和中心對稱圖形

【解析】可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有3個，它們分別是D點、C點和CD的中點M點。

以點C為旋轉(zhuǎn)中心時，圖形繞著C點，逆時針旋轉(zhuǎn)900能與正方形ABCD重合。

以點D為旋轉(zhuǎn)中心時，圖形繞著D點，順時針旋轉(zhuǎn)900能與正方形ABCD重合。

以點M為旋轉(zhuǎn)中心時，圖形繞著M點順時針，或逆時針旋轉(zhuǎn)1800都能與正方形ABCD重合。

總結(jié)升華：本題用于復習鞏固旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角概念。培養(yǎng)思維的完整性，學習分類討論的數(shù)學方法。

8．在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC。△ADC順時針旋轉(zhuǎn)到△AD′C′位置時，∠BAC′=300。

問：（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？

（2）旋轉(zhuǎn)角是幾度？

（3）連接DD′后，三角形AD′D是什么三角形？

（4）連接BC′后，△ABC′是什么三角形？

【考點】旋轉(zhuǎn)的概念

【思路點撥】旋轉(zhuǎn)過程中始終保持不動的點就是旋轉(zhuǎn)中心。通過旋轉(zhuǎn)得到的圖形上的每一點與原圖形的對應點的旋轉(zhuǎn)角是一樣的，即圖形上的每個點同時按相同的方式旋轉(zhuǎn)相同的角度。此外，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段兩端點的對應點所確定的線段是原線段的對應線段，角的兩邊旋轉(zhuǎn)后的對應邊所組成的角是原角的對應角。圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對應線段的長度、對應角的大小都保持不變。這是圖形旋轉(zhuǎn)的基本特征。

【解析】（1）∵圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，點A的位置始終不變∴旋轉(zhuǎn)中心是點A；

（2）∵C、C′是一對對應點∴∠CAC′就是旋轉(zhuǎn)角。∠CAC′=∠BAC-BAC′=900-300=600；

（3）∵在旋轉(zhuǎn)過程中，對應線段的長度不變即AD=AD′，旋轉(zhuǎn)角∠DAD′=600

∴三角形AD′D是等邊三角形；

（4）∵AC′是AC旋轉(zhuǎn)后的對應線段，∴AB=AC=AC′∴三角形ABC′是等腰三角形

總結(jié)升華：

旋轉(zhuǎn)三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向.解題關鍵：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，下列四個圖形都可以分別看成由一個“基本圖案”經(jīng)過旋轉(zhuǎn)形成，則它們中旋轉(zhuǎn)角相同的圖形為（）．

A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）

【考點】旋轉(zhuǎn)概念

【解析】（1）旋轉(zhuǎn)角為120°（2）旋轉(zhuǎn)角為72°（3）旋轉(zhuǎn)角為90°（4）旋轉(zhuǎn)角為90°．

【答案】D

【變式2】如圖，每一對三角形ABC和A’B’C’的形狀、大小完全相同。

（1）哪些圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形？

（2）在旋轉(zhuǎn)對稱圖形中，哪些圖形是中心對稱圖形？并指出這些圖形的對稱中心。

【考點】中心對稱圖形和中心對稱

【思路點撥】要學會區(qū)分旋轉(zhuǎn)對稱圖形和中心對稱圖形這兩種既有聯(lián)系又有差異的不同類型圖：如果旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)角等于1800，那么它就是中心對稱圖形，所以是中心對稱圖形一定是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；反之則不是。

【解析】（1）圖形甲、乙、丙都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。圖形丁不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

（2）在圖形甲、乙、丙這些旋轉(zhuǎn)對稱圖形中，圖形甲和乙是中心對稱圖形。

圖形甲中，CC’的中點是對稱中心；圖形乙中，點C（C’）是對稱中心。

【變式3】如圖所示，正方形ABCD，圖形的中心是點O（對角線的交點），P是BC邊上一點。過點P作直線.

（1）試將正方形分割成形狀相同、大小相等的兩塊；

（2）試將正方形分割成形狀相同、大小相等的四塊。

【思路點撥】正方形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形也是中心對稱圖形，其對稱中心就是正方形對角線的交點，利用對稱中心就能找到點P的對稱點。

【解析】（1）如圖1所示，連結(jié)PO的直線交AD邊于點P’，則P’與P為對稱點，所以四邊形ABPP’與四邊形CDP’P的形狀相同、大小相等的兩塊（讀者可將四邊形ABPP’繞著點P旋轉(zhuǎn)1800，看是否與四邊形CDP’P重合）；

（2）如圖2所示，在AB上取一點Q，使BQ=CP，連結(jié)QO直線交DC于點Q’，則四邊形CPOQ’、BQOP、AP’OQ、DQ’OP’是形狀相同、大小相等的四塊。

圖1圖2

考點三、軸對稱

9.補畫下面的圖形，使它成為一個軸對稱圖形。

【考點】軸對稱圖形的畫法

【思路點撥】本題是一道開放性習題，答案不唯一，用于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，學生可以根據(jù)軸對稱圖形的定義，任意選擇補畫圖形的方案，下圖中分別用不同的方案給你示范補全了兩個軸對稱圖形，你還可以設計一些其他的方案來補畫此圖。當然必須滿足題目要求畫成一個軸對稱圖形。

【答案】

10．下列圖形中是軸對稱圖形的個數(shù)有（）

①等腰三角形；②矩形；③平行四邊形；④等邊三角形；⑤角；⑥線段；⑦圓；⑧菱形；⑨等腰梯形；

⑩直角三角形

A、9個B、8個C、7個D、6個

【考點】軸對稱圖形的概念

【思路點撥】按軸對稱圖形的定義，逐個鑒定，其中等腰三角形、矩形、等邊三角形、角、線段、圓、菱形、等腰梯形8個圖形都是軸對稱圖形。

【答案】B

11．如圖，點A在x軸上，點B在y軸上，線段AB和線段A′B以y軸為對稱軸；線段A′B和線段A′B′以x軸為對稱軸.

（1）與∠ABO相等的角有哪些？

（2）線段AB與線段A′B′平行嗎？根據(jù)是什么？

（3）若AB中點M的坐標為（-1，2），則A′B，A′B′的中點N，P的坐標是什么？直接寫出結(jié)果.判斷點

M和點P有什么關系？

【考點】軸對稱圖形的性質(zhì)

【思路點撥】由點A和A′對稱和A′B和A′B′關于x軸對稱得等腰三角形ABA′和等腰三角形BA′B′，利用等腰三角形的性質(zhì)可正確解題.

【答案】（1）∠A′BO、∠A′B′O；

（2）AB∥A′B′，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

（3）N（1，2），P（1，-2），點M和點P關于原點對稱.

12．將一矩形紙片按圖中（1）、（2）的方式依次對折后，再沿（3）中的虛線裁剪，最后將（4）中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是下面圖案中的（）.

【考點】翻折后圖形的變化

【思路點撥】圖中第1次折疊后，折痕線在左邊，第2次折疊后，折痕線在下，這樣沿左下角剪出一個小口，展開后小口必位于靠中間部分；兩次對折后，紙變成了4層，因而左下角剪出的小口必連成矩形，位于中間；上面剪出的矩形應有4個，且關于折痕對稱.

【答案】B.

總結(jié)升華：弄清圖形軸對稱前后的對應關系及對稱方式是解決圖形變換問題的關鍵。因為圖形中每一點對稱的方式是相同的。

舉一反三：

【變式1】下列圖形中，你認為既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

【思路點撥】判斷一個已知圖形是不是軸對稱圖形或中心對稱圖形的關鍵是能否找到對稱軸或?qū)ΨQ中心，另外對于一些常見的幾何圖形要能對其對稱性正確作出判斷，而且要能掌握它的對稱軸．對稱中心分別是哪些直線和什么樣的點，軸對稱是中學數(shù)學的一個重要內(nèi)容，也是中考的重要考點之一．

【解析】把圖形沿某一直線對折，若直線兩旁的部分能夠完全重合，則該圖形為軸對稱圖形；若把圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，則該圖形為中心對稱圖形，因此，可知（C）是中心對稱圖形，它不是軸對稱圖形；（B）、（D）既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；

【答案】A

【變式2】下列說法正確的是()

A．等邊三角形只有一條對稱軸B．等腰三角形對稱軸為底邊上的高

C．直線AB不是軸對稱圖形D．等腰三角形對稱軸為底邊中線所在直線

【考點】考察圖形對稱軸

【解析】等邊三角形有三條對稱軸；等腰三角形對稱軸為底邊上的高所在的直線；直線AB是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條垂直于直線AB的直線。故選D

【答案】D

【變式3】如圖，給出了一個圖案的一半，其中虛線是這個圖案的對稱軸，

請作出這個圖形的關于的軸對稱圖形，并說出這個圖案的形狀.

【考點】考察軸對稱圖形的作法

【思路點撥】找B、C關于直線的對稱點

【答案】如圖中虛線所示，這個圖案是一個六角星.

【變式4】已知∠AOB和C、D兩點，求作一點P使P到∠AOB兩邊的距離相等且使P到C、D兩點的距離和最小。

【考點】軸對稱圖形的性質(zhì)

【思路點撥】要使點P到∠AOB兩邊的距離相等，則P應在∠AOB的角平分線上，再由PC+PD最小，可作C關于角平分線的對稱點C′，連結(jié)C′D與角平分線的交點即為所求的點P。

【答案】作法：

（1）作∠AOB的平分線OM。

（2）作C關于OM的對稱點C′，

（3）連結(jié)C′D交OM于P，點P為所求作的點。

【變式5】小惠學習了軸對稱的知識以后，忽然想起了過去做過的一道題目：有一組數(shù)排列成方陣，如圖1所示，試計算這組數(shù)的和.小惠想，方陣就是正方形，正方形是軸對稱圖形，能不能利用軸對稱的性質(zhì)來解決方陣的計算問題呢？小惠試了試，竟然得到了一種非常巧妙的方法，你也試試看吧？

【思路點撥】觀察方陣可以看出，一條對角線上的數(shù)都是5，若把這條對角線當作軸，把正方形對折一下，就會發(fā)現(xiàn)對稱位置的兩數(shù)之和都是10，問題就很簡單了.

【解析】正方形的一條對角線上的數(shù)都是5，把這條對角線作為對稱軸對折，對稱位置的兩數(shù)之和都是10，如圖2，這樣方陣中數(shù)的和＝10×10＋5×5＝125.中考題萃

一、選擇題

1.（安徽省蕪湖）下列幾何圖形中,一定是軸對稱圖形的有().

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.（河北?。┯幸粋€四等分轉(zhuǎn)盤，在它的上、右、下、左的位置分別掛著“眾”、“志”、“成”、“城”四個字牌，如圖-1．若將位于上下位置的兩個字牌對調(diào)，同時將位于左右位置的兩個字牌對調(diào)，再將轉(zhuǎn)盤順時針旋轉(zhuǎn)90°，則完成一次變換．圖-2，圖-3分別表示第1次變換和第2次變換．按上述規(guī)則完成第9次變換后，“眾”字位于轉(zhuǎn)盤的位置是（）

A．上B．下C．左D．右

3.（甘肅省白銀九市）如圖①～④是四種正多邊形的瓷磚圖案.其中是軸對稱圖形但不是中心對稱的圖形為（）

A．①③B.①④C．②③D．②④

4.（甘肅省白銀九市）如圖,把矩形沿對折后使兩部分重合,若，則=（)

A．110°

B．115°

C．120°

D．130°

5．(廣東省深圳市)下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A．B．C．D．

6.（河南?。┤鐖D，陰影部分組成的圖案既是關于軸成軸對稱的圖形，又是關于坐標原點成中心對稱的圖形．若點的坐標是，則點和點的坐標分別為（）

A．B．

C．D．

7.（湖北省宜昌市）如圖，將三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）繞B點按順時針方向轉(zhuǎn)動一個角度到A1BC1的位置，使得點A，B，C1在同一條直線上，那么這個角度等于（）．

A．120°B．90°C．60°D．30°

8.（湖南省懷化市）小華在鏡中看到身后墻上的鐘，你認為實際時間最接近8點的是()

9.（江蘇省無錫市）如圖，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，已知，則等于（）

A．B．C．D．

10.（四川省綿陽市）如圖，是邊長為1的正的中心，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得，則與重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（）

A．B．C．D．

二、填空題：

11.（福建省廈門市）如圖，點是的重心，的延長線交于，，，，將繞點旋轉(zhuǎn)得到，則_____________cm，的面積_____________cm2．

12.（廣東廣州）將線段AB平移1cm，得到線段，則對應點A與的距離為_____________cm．

13.（吉林省長春市）如圖，在平面內(nèi)將繞著直角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．若，，則線段的長為_____________．

14.（江蘇省揚州市）如圖△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內(nèi)一點，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后與△ACP′重合，如果AP=3，那么線段的長等于__________．

15.（遼寧省大連市）如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△P′AB，則∠PAP′的度數(shù)為．

16.（山東省泰安市）在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，將向右平移3個單位后得到（其中的對應點分別為），則的度數(shù)是．

17.（四川省宜賓市）將直角邊長為5cm的等腰直角繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，則圖中陰影部分的面積是_____________．

18.（內(nèi)蒙古鄂爾多斯）下圖是的正方形網(wǎng)格，請在其中選取一個白色的單位正方形并涂黑，使圖中黑色部分是一個中心對稱圖形．

三、解答題

19.（江蘇省徐州市）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點B的坐標為．

（1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；

（2）畫出將△ABC繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所得的△A2B2C2；

（3）△A1B1C1與△A2B2C2成軸對稱嗎？若成軸對稱，畫出所有的對稱軸；

（4）△A1B1C1與△A2B2C2成中心對稱嗎？若成中心對稱，寫出對稱中心的坐標．

20.(海南?。┤鐖D，在平面直角坐標系中，△ABC和△A1B1C1關于點E成中心對稱.

（1）畫出對稱中心E，并寫出點E、A、C的坐標；

（2）P(a,b)是△ABC的邊AC上一點，△ABC經(jīng)平移后點P的對應點為P2(a+6,b+2)，請畫出上述平移后

的△A2B2C2，并寫出點A2、C2的坐標；

（3）判斷△A2B2C2和△A1B1C1的位置關系（直接寫出結(jié)果）.

21.（浙江省嘉興市）如圖，正方形網(wǎng)格中，為格點三角形（頂點都是格點），將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．

（1）在正方形網(wǎng)格中，作出；

（2）設網(wǎng)格小正方形的邊長為1，求旋轉(zhuǎn)過程中動點所經(jīng)過的路徑長．

22.（浙江省溫州市）如圖，在直角坐標系中，的兩條直角邊分別在軸的負半軸，軸的負半軸上，且．將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，再把所得的像沿軸正方向平移1個單位，得．

（1）寫出點的坐標；

（2）求點和點之間的距離．

23.(湖北省荊門市)將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖（1）擺放在一起，它們的較短直角邊長為3．

（1）將△ECD沿直線l向左平移到圖（2）的位置，使E點落在AB上，則CC′=______；

（2）將△ECD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，使點E落在AB上，則△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)=_____；

（3）將△ECD沿直線AC翻折到圖（4）的位置，ED′與AB相交于點F，求證AF=FD′．

24.（山東省棗莊市）把一副三角板如圖甲放置，其中，，，斜邊，．把三角板DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1（如圖乙）．這時AB與CD1相交于點，與D1E1相交于點F．

（1）求的度數(shù)；

（2）求線段AD1的長；

（3）若把三角形D1CE1繞著點順時針再旋轉(zhuǎn)30°得△D2CE2，這時點B在△D2CE2的內(nèi)部、外部、還是

邊上？說明理由．

答案解析∶

1.D

2.C（提示：變換規(guī)律是4次變換為一個循環(huán)，第9次變換和第1次變換相同）

3.A

4.B（提示：由對折可知，∠BFE=65°）

5.B6.C7.A8.D9.D

10.C（提示:重疊部分的面積等于△ABC面積）

11.2，18（提示：根據(jù)重心性質(zhì)可知CG=2DG=GE）

12.1

13.3(提示：CE=CA=2)

14.（提示：△APP′是等腰直角三角形）

15.

16.（提示：連結(jié)BA′，通過過網(wǎng)格可以看出∠BA′A=）

17.（提示：可知旋轉(zhuǎn)后得∠BAC′=30°）

18.圖中的陰影正方形

19.（1）如圖；（2）如圖；（3）成軸對稱，對稱軸如圖；（4）成中心對稱，對稱中心坐標．

20.（1）如圖，E(-3，-1)，A(-3，2)，C(-2，0)；

（2）如圖，A2(3，4)，C2(4，2)；

（3）△A2B2C2與△A1B1C1關于原點O成中心對稱.

21.（1）如圖

（2）旋轉(zhuǎn)過程中動點所經(jīng)過的路徑為一段圓?。?/p>

，，．

又，動點所經(jīng)過的路徑長為．

22.（1）點的坐標是，點的坐標是．

（2）連結(jié)，在中，

，，

，

23.（1）3；

（2）30°；

（3）證明：在△AEF和△BF中，

∵AE=ACEC，B=CBC，

又AC=C，EC=BC，∴AE=B．

又∠AEF=∠BF=180°60°=120°，∠A=∠CE=30°，

∴△AEF≌△BF．∴AF=F．

24．解：（1）如圖所示，，，

∴．

又，

∴．

（2），∴∠D1FO=60°．

，∴．

又，，∴．

，∴．

又，∴．

在中，．

（3）點在內(nèi)部．

理由如下：設（或延長線）交于點P，則．

在中，，

，即，∴點在內(nèi)部．學習成果測評

基礎達標

一、選擇題

1、下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰梯形D．菱形

2、在下列現(xiàn)象中，是平移現(xiàn)象的是（）

①方向盤的轉(zhuǎn)動②電梯的上下移動③保持一定姿勢滑行④鐘擺的運動

A、①②B、②③C、③④D、①④

3、如圖，用放大鏡將圖形放大，應該屬于（）

A.相似變換B.平移變換C.對稱變換D.旋轉(zhuǎn)變換

4、觀察下列“風車”的平面圖案，其中是中心對稱圖形的有（）

A、1個B、2個C、3個D、4個

5、如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，下列圖形可由△OBC平移得到的是（）

A、△OCDB、△OABC、△OAFD、△OEF

6、下列說法中正確的是（）

A、圖形平移的方向只有水平方向和豎直方向

B、圖形平移后，它的位置、大小、形狀都不變

C、圖形平移的方向不是唯一的，可向任何方向平行移動

D、圖形平移后對應線段不可能在一直線上

7、下圖是一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形，要使它旋轉(zhuǎn)后與自身重合，至少應將它繞中心逆時針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)

為（）

A、30°B、60°C、120°D、180°

8、在下圖右側(cè)的四個三角形中，不能由△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的是（）

9、下列四副圖案中，不是軸對稱圖形的是（）

A．B．C．D．

10、如下圖AD是△ABC的中線，∠ADC=60°，BC=4，把△ADC沿直線AD折疊后，點C落在C′的位置上，

那么BC′為（）

A．1B．C．2D．

二、填空題

11、若Q（a，b）在第三象限內(nèi)，則Q關于y軸對稱點的坐標是_______，它在第_______象限。

12、如圖，一張長方形紙片ABCD，其長AD=a，寬AB=b(a＞b)，在BC邊上選取一點M，將ABM沿AM翻折后

B至B′的位置，若B′為長方形紙片ABCD的對稱中心，則的值是_____________.

13、如圖，AC⊥AB，BE⊥AB，AB=10，AC=2.用一塊三角尺進行如下操作：將直角頂點P在線段AB上滑

動，一直角邊始終經(jīng)過點C，另一直角邊與BE相交于點D，若BD=8，則AP的長為________.

14、考察甲、乙、丙各圖中的陰影部分的分布規(guī)律，按此規(guī)律在圖丁中畫出其中的陰影部分。

15、如圖，△ABC是等邊三角形，且△ABE≌△ACD，則我們可以將△ACD看做是△ABE繞______點，逆時

針旋轉(zhuǎn)______度而得到的。

16、把△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于點D，若∠A′DC＝90°，則

∠A的度數(shù)是__________。

三、解答題

17.如圖，在平面直角坐標系中，先把梯形ABCD向左平移6個單位長度得到梯形A1B1C1D1.

（1）請你在平面直角坐標系中畫出梯形A1B1C1D1；

（2）以點C1為旋轉(zhuǎn)中心，把（1）中畫出的梯形繞點C1順時針方向旋轉(zhuǎn)得到梯形A2B2C2D2，請你

畫出梯形A2B2C2D2．

18、如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合．如果AP=3，那么PP′的長等于多少？

19、已知：一條直線經(jīng)過點A（0，4）、點B（2，0），如圖，將這條直線向左平移與x軸負半軸、y軸負半軸分別交于點C、點D，使DB＝DC．

求：以直線CD為圖象的函數(shù)解析式．

20、如圖所示，已知P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA=l，PB＝2，PC＝3，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)使A點和C點重合，這時P點旋轉(zhuǎn)至G點，試畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后猜一猜△PCG的形狀，并說明理由，最后算一算∠APB的度數(shù)．

能力提升

1、如圖所示，△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，△EDC是由△ADB旋轉(zhuǎn)180°所得，則AB邊的取值范圍

是（）．

A．l＜AB＜29B．4＜AB＜24C．5＜AB＜19D．9＜AB＜19

2、如圖．在計算機屏幕上有一個矩形畫刷ABCD，它的邊AB＝l，．把ABCD以點B為中心按順

時針方向旋轉(zhuǎn)60°，則被這個畫刷著色的面積為________。

3、已知如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，沿過點B的一條直線DE折疊△ABC，使點C恰好落在AB邊的中點

D處，則∠A的度數(shù)等于_______.

4、如圖，邊長為3的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點H，那么

DH的長為________.

5、將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達式為____.

6、兩個形狀大小一樣的三角板，可以拼出各種不同的圖形．下面各圖已畫出其中一個三角板，請你補出另一個三角板，使每個圖形分別成不同的中心對稱圖形．

7、用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖1），通過觀察或測量BE，

CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；

（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖2），你在（1）中得到

的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由.

8、將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片和．將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時與相交于點．

（1）當旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點，在同一直線上時，與的數(shù)量關

系是_____________．

（2）當繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

綜合探究

1、如圖1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）

（圖1）（圖2）（圖3）

小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決。

（1）將圖3中的△ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離；

（2）將圖3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖5的位置,A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度;

（3）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH﹦DH

（圖4）（圖5）（圖6）

2、如圖（1），在平面直角坐標系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點A在第二象限內(nèi)，點B、點C在x軸的負半軸上，∠CAO=30°，OA=4.

（1）求點C的坐標；

（2）如圖（2），將△AＢＣ繞點C旋轉(zhuǎn)到△A′CB′的位置，其中A′C交直線OA于點E，A′B′分別交

直線OA、CA于點F、G，則除△A′B′C≌△AOC外，還有哪幾對全等的三角形？請直接寫出答案；

（3）在（2）的基礎上將△A′CB′繞點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當△COE的面積為時，求直線

CE的函數(shù)表達式.

基礎達標

一、選擇題

1、D2、B3、A

4、B（提示：是中心對稱圖形的有第一個和第三個；規(guī)律：奇數(shù)個基礎圖形一定不是中心對稱圖形）

5、C

6、C（提示：圖形平移的方向可向任何方向平行移動，除位置外，大小、形狀都不變）

7、B8、B9、A

10、C（提示由折疊可知，∠ADC′=∠ADC=60°，得∠BDC′=60°，因為AD是△ABC的中線，所以

BD=CD=DC′，可得△BDC′是等邊三角形，所以BC′=BD=BC=2）

二、填空題

11、（-a，b），四

12、（提示：B′為長方形紙片ABCD的對稱中心，可得AB=AB′=AC，所以在Rt△ABC中，

BC=AB，即=）

13、2或8（提示：可證△AP