極值點偏移問題 講義 高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

極值點偏移問題一、問題導(dǎo)引所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性.若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點，則的中點為，而往往.如下圖所示：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏.一般地，對于極值點偏移問題，我們的解決辦法有：構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性、將兩個變量換為同一個新變量、常數(shù)（參數(shù)）變成左邊雙變量形式.[提醒]若要證明f′的符號問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．二、通法例講1、構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性（對稱變換）我們在證明形如“x1+x2>m”或“x1x2>m”時，可轉(zhuǎn)化為“x1>m?x2”或“x1>mx2”成立，，后利用單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值之間的關(guān)系，即f(x1)與f例1、已知，．若有兩個極值點，，且，求證：（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．解：由，是方程的兩個不同實根得，令，，由于，因此，在，．設(shè)，需證明，只需證明，只需證明，即，即．即，，故在，故，即．令，則，因為，，在，所以，即．構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性（對稱變換）主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為x0)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若證x1x2＞，則令F(x)＝f(x)－f(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0－x之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．例2、已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）如果，且，求證：.解：（1）因為，所以，.可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由，，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，，且在上單調(diào)遞減，所以，即.注：在利用該種方法時，我們需要重點注意的是，移項不是隨意的，而是需要把移項后不等號兩邊的變量都處在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，這樣才可以利用我們的單調(diào)性判斷.2、變雙變量為新變量我們可以利用零點的性質(zhì)將不等式左邊的兩個變量與一個新變量建立聯(lián)系，構(gòu)造與新變量相關(guān)的函數(shù)，尋找解題方法.例3、已知，．若有兩個極值點，，且，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．解：方法1（差值換元）：設(shè)，，則由得，設(shè)，則，．欲證，需證．即只需證明，即．設(shè)，，，故在，故，故在，因此，得證．方法2（比值換元）：設(shè)，，則由得，設(shè)，則，．欲證，證，即只需證明，，設(shè)，，故在，因此，命題得證．注：這里的兩種方法都是換元法，把雙變量換為新變量，方法1為差值換元，方法2是比值換元，它們的基本思路是一樣的，都是雙變量換為單變量，從而構(gòu)造函數(shù)證明相關(guān)問題.3、變常數(shù)或參數(shù)為雙變量處理極值點偏移問題還可以將不等號右邊的常數(shù)或參數(shù)通過零點相關(guān)性質(zhì)變?yōu)殡p變量形式，與右側(cè)雙變量形式一同處理，找到結(jié)構(gòu)共性換元處理.已知，．若有兩個極值點，，且，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．解：欲證，需證．若有兩個極值點，，即函數(shù)有兩個零點．又，所以，，是方程的兩個不同實根．于是，有，解得．另一方面，由，得，從而可得，．于是，．又，設(shè)，則．因此，，．要證，即證：，．即：當(dāng)時，有．設(shè)函數(shù)，，則，所以，為上的增函數(shù)．注意到，，因此，．，當(dāng)時，有．所以，有成立，．例5、設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，求證：．解:（1）．．當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)時，由得；由，解得．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），是方程得兩個不等實數(shù)根，由（1）可知：．不妨設(shè)．則，．兩式相減得，化為．，當(dāng)時，，當(dāng)時，．故只要證明即可，即證明，即證明，設(shè)，令，則．，．在上是增函數(shù)，又在處連續(xù)且（1），當(dāng)時，總成立．故命題得證．注：變參數(shù)為雙變量關(guān)鍵在于利用零點的性質(zhì)得出參數(shù)或常數(shù)的雙變量表達(dá)式，這樣我們才能轉(zhuǎn)化為雙變量問題，進(jìn)而運用換元法證明我們的不等式.三、變形后的極值點偏移問題例6、（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，）．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若存在，滿足，求證：．解：（1）.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)增，無極值；當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）由題（1）可知，當(dāng)時才存在，滿足，不妨設(shè)，設(shè)，則，因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即故，因為，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，下面證明：；因為，所以，所以，所以，得證.四、拐點偏移拐點：函數(shù)凹凸性改變的點，即若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某一點左右異號，則該點為函數(shù)拐點.例7、（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程.（2）若正實數(shù)滿足，求證：.解：（1），切點為.，.切線為：，即.（2）.令，，，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，所以.即.得：，得到，即：.例8、（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．解：（1）根據(jù)題意，可知的定義域為，而，當(dāng)時，，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，存在大于1的實數(shù)，使得，當(dāng)時，成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；不可能成立，所以，即的取值范圍為.（2）證明：不妨設(shè)，正實數(shù)、滿足，有（1）可知，，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又，所以只要證明：，設(shè)，則，可得，當(dāng)時，成立，在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，又，當(dāng)時，成立，即，所以不等式成立，所以.五、真題講解1、（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.解：(1)的定義域為．由得，，當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對