Slide-Chpt07-FEM for 2D Solidsy中學(xué)英語課件

二維固體問題的有限元法第7章

Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy內(nèi)容引言線性三角形單元場(chǎng)變量的插值構(gòu)造形函數(shù)使用面積坐標(biāo)應(yīng)變矩陣單元矩陣線性矩形單元構(gòu)造形函數(shù)應(yīng)變矩陣單元矩陣高斯積分計(jì)算

meSlide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy內(nèi)容線性四邊形單元坐標(biāo)映射應(yīng)變矩陣單元矩陣評(píng)述高次單元討論(高斯積分)實(shí)例研究Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy引言2D固體單元用于分析平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力題。

2D固體單元可以為具有直邊或曲邊的三角形、矩形或四邊形。

2D固體單元可在2D固體所在平面內(nèi)變形。

任一點(diǎn)處擁有分別沿x

和y方向的兩個(gè)位移分量和力分量。

Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy引言對(duì)平面應(yīng)變問題可取單位厚度，但對(duì)平面應(yīng)力問題必須使用實(shí)際厚度。分析中，假設(shè)單元具有均勻厚度h。

可方便地得到變厚度的2-D單元，其推導(dǎo)過程與均勻厚度的完全一樣。Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy2D固體–平面應(yīng)力和平面應(yīng)變平面應(yīng)力平面應(yīng)變Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy線性三角形單元比四邊形單元的精度低被大多數(shù)用于生成復(fù)雜幾何形體的網(wǎng)格生成器所采用線性三角形單元節(jié)點(diǎn)三角形單元Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy場(chǎng)變量的插值式中(形函數(shù))節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)3節(jié)點(diǎn)1的位移節(jié)點(diǎn)2的位移節(jié)點(diǎn)3的位移Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy構(gòu)造形函數(shù)假設(shè)：i=1,2,3orSlide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy構(gòu)造形函數(shù)德耳塔函數(shù)性質(zhì)：故，解得，對(duì)于對(duì)于Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy構(gòu)造形函數(shù)將

a1、b1和c1代回到N1

=a1

+b1x+c1y得：三角形面積

力矩矩陣Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy構(gòu)造形函數(shù)類似地，Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy構(gòu)造形函數(shù)式中ijki=1,2,3通過循環(huán)輪換確定j和k

的值i=1,2j=2,3k=3,1Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy使用面積坐標(biāo)為構(gòu)造形函數(shù)的另一種方法

2-3-P:類似地：3-1-PA21-2-PA3Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy使用面積坐標(biāo)單位分解性：德耳塔函數(shù)性質(zhì)：如當(dāng)P

位于節(jié)點(diǎn)2或節(jié)點(diǎn)3時(shí)，L1=0故，Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy應(yīng)變矩陣式中

(常應(yīng)變單元)Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy單元矩陣常數(shù)矩陣

Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy單元矩陣對(duì)于均勻密度和厚度的單元：Eisenberg和Malvern(1973)公式：Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy單元矩陣對(duì)于均布載荷：Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy線性矩形單元應(yīng)變矩陣不為常量可更精確地表示應(yīng)力和應(yīng)變由于形狀規(guī)則使其公式推導(dǎo)簡(jiǎn)捷Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy構(gòu)造形函數(shù)考慮任一矩形單元節(jié)點(diǎn)1的位移節(jié)點(diǎn)2的位移節(jié)點(diǎn)3的位移節(jié)點(diǎn)4的位移Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy構(gòu)造形函數(shù)式中節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)3節(jié)點(diǎn)4Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy構(gòu)造形函數(shù)德耳塔函數(shù)性質(zhì)單位分解性節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)3節(jié)點(diǎn)4Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy應(yīng)變矩陣注意：不再為常數(shù)矩陣！Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy單元矩陣

dxdy=abdxdh

故，Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy單元矩陣對(duì)于均布載荷：Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy高斯積分用于計(jì)算ke

和me中的積分(實(shí)際中)沿1維方向：對(duì)于被積函數(shù)為n=2m-1階的多項(xiàng)式，利用m

個(gè)高斯點(diǎn)可得到精確解沿2維方向：Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy高斯積分m

高斯點(diǎn)

xj

高斯權(quán)wj

精確階數(shù)

n

10212-1/3,1/31,133-0.6,0,0.65/9,8/9,5/954-0.861136,-0.339981,0.339981,0.8611360.347855,0.652145,0.652145,0.34785575-0.906180,-0.538469,0,0.538469,0.9061800.236927,0.478629,0.568889,0.478629,0.23692796-0.932470,-0.661209,-0.238619,0.238619,0.661209,0.9324700.171324,0.360762,0.467914,0.467914,0.360762,0.17132411Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy計(jì)算

meSlide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy計(jì)算

me

例如注意：實(shí)際中經(jīng)常利用高斯積分求積Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy線性四邊形單元矩形單元應(yīng)用受限應(yīng)用其邊不平行的四邊形單元更方便對(duì)于不規(guī)則的形狀，在應(yīng)用高斯積分前須進(jìn)行坐標(biāo)映射Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy坐標(biāo)映射物理坐標(biāo)自然坐標(biāo)(位移插值)(坐標(biāo)插值)Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy坐標(biāo)映射式中,節(jié)點(diǎn)1的坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)2的坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)3的坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)4的坐標(biāo)Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy坐標(biāo)映射將

x=1代入

或消去

，Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy應(yīng)變矩陣或式中(雅可比矩陣)因?yàn)?Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy應(yīng)變矩陣故，將Ni對(duì)于x

和y的微分轉(zhuǎn)換成Ni對(duì)于

和

的微分(形函數(shù)對(duì)于物理坐標(biāo)的微分與其對(duì)于自然坐標(biāo)的微分之間的關(guān)系)Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy單元矩陣Murnaghan(1951)公式：dA=|J|dxdh

Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy評(píng)述用于坐標(biāo)插值的形函數(shù)與用于位移場(chǎng)插值的形函數(shù)相同，所以這種單元被稱為等參數(shù)單元。

注意用于坐標(biāo)插值的形函數(shù)不一定非得等于用于位移插值的形函數(shù)。

當(dāng)用于坐標(biāo)插值和用于位移插值的形函數(shù)不相同時(shí)，則形成所謂的次參數(shù)單元和超參數(shù)單元。Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy高次單元高次三角形單元nd=(p+1)(p+2)/2節(jié)點(diǎn)

i,Argyris(

1968)形函數(shù)公式：Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy高次單元高次三角形單元三次單元二次單元Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy高次單元高次矩形單元拉格朗日型：(Zienkiewicz等,2000)Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy高次單元高次矩形單元(9節(jié)點(diǎn)2次單元)Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy高次單元高次矩形單元Serendipity型：(8節(jié)點(diǎn)2次單元)Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy高次單元高次矩形單元(12節(jié)點(diǎn)3次單元)對(duì)于角節(jié)點(diǎn)：對(duì)于邊節(jié)點(diǎn)：對(duì)于邊節(jié)點(diǎn)：

其中

其中和和Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy曲邊單元Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy討論(高斯積分)當(dāng)采用高斯積分算法時(shí)，須決定所用的高斯點(diǎn)數(shù)。理論上講，對(duì)于一個(gè)1維積分，采用m個(gè)積分點(diǎn)可獲得以(2m-1)階多項(xiàng)式為被積函數(shù)的精確結(jié)果。

作為一普遍適用的法則，對(duì)于高次單元應(yīng)使用較多的高斯點(diǎn)。

Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy討論(高斯積分)采用較少數(shù)量的高斯點(diǎn)有利于消除由位移法所引起的過硬現(xiàn)象。

使用形函數(shù)將限定了單元內(nèi)部的位移模式。這意味著在某種程度上以形函數(shù)的形式規(guī)定了單元的位移，即相當(dāng)于對(duì)單元施加了預(yù)約束。

受如此約束的單元應(yīng)較硬。?？捎^察到高次單元通常較低次單元軟，這是由于高次單元對(duì)單元的這種約束較弱。Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy討論(高斯積分)線性單元在每個(gè)方向上取2個(gè)高斯點(diǎn)，2次單元在每個(gè)方向上取2或3個(gè)高斯點(diǎn)在許多情況下已足夠。

大多數(shù)基于顯式公式的顯式有限元程序傾向于采用單點(diǎn)積分以最大限度的節(jié)省CPU時(shí)間。Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy實(shí)例研究側(cè)驅(qū)動(dòng)微型電動(dòng)機(jī)Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy實(shí)例研究雙晶硅材料特性楊氏模量，E169GPa泊松比，

0.262密度，

2300kgm-310N/m10N/m10N/mSlide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy實(shí)例研究分析1：使用24個(gè)雙線性四邊形單元（41個(gè)節(jié)點(diǎn)）的VonMises應(yīng)力分布Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy實(shí)例研究分析2：使用96個(gè)雙線性四邊形單元（129個(gè)節(jié)點(diǎn)）的VonMises應(yīng)力分布Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy實(shí)例分析分析3：使用144個(gè)雙線性四邊形單元（185個(gè)節(jié)點(diǎn)）的VonMises應(yīng)力分布Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy實(shí)例分析分析4：使用24個(gè)8節(jié)點(diǎn)四邊形單元（105個(gè)節(jié)點(diǎn)）的VonMises應(yīng)力分布Slide_Chpt07-FEMfor2DSolidsy實(shí)例分析分析5：使用192個(gè)3節(jié)點(diǎn)三角形單元（129個(gè)節(jié)點(diǎn)）的VonMises應(yīng)力分布Slide_C