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河南省許汝平九校聯(lián)盟2023年高三第二次質(zhì)量考評(píng)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則()A.45 B.42 C.25 D.362.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.3.函數(shù)f(x)=的圖象大致為()A. B.C. D.4.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.5.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.46.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.8.已知集合,,則A. B.C. D.9.若集合,,則()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.11.設(shè),為非零向量,則“存在正數(shù),使得”是“”的()A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.充分不必要條件12.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.11二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于點(diǎn)、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_________.14.已知“在中,”,類比以上正弦定理,“在三棱錐中,側(cè)棱與平面所成的角為、與平面所成的角為,則________.15.能說明“在數(shù)列中,若對(duì)于任意的,,則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.(寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式)16.設(shè),則_____,(的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若,,,求證:.18.(12分)某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元,乙設(shè)備每臺(tái)9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修,對(duì)于每臺(tái)設(shè)備,一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修,三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設(shè)備分別在50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和,求和的分布列;(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),希望設(shè)備購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購(gòu)買哪種設(shè)備?請(qǐng)說明理由.19.(12分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,求的值.20.(12分)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點(diǎn);(2)在上恒成立,求的取值范圍.21.(12分)在四棱錐的底面中,,,平面,是的中點(diǎn),且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使得,若存在指出點(diǎn)的位置,若不存在請(qǐng)說明理由.22.(10分)已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.連接.求證:存在實(shí)數(shù),使得成立.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.2、A【解析】

首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個(gè)選項(xiàng),再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閒(-x)=≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱,排除選項(xiàng)B,C.又f(2)==-<0.排除A,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象,屬于中檔題.4、B【解析】

先分別判斷命題真假,再由復(fù)合命題的真假性,即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當(dāng),或時(shí),則不成立.則,,均為假.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假性,判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由傾斜角的余弦值,求出正切值,即的關(guān)系,求出雙曲線的離心率.【詳解】解:設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為,由題意又,則,,,所以離心率,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】

由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.7、B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.8、D【解析】

因?yàn)?,,所以,,故選D.9、B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.10、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

充分性中,由向量數(shù)乘的幾何意義得,再由數(shù)量積運(yùn)算即可說明成立;必要性中,由數(shù)量積運(yùn)算可得,不一定有正數(shù),使得,所以不成立,即可得答案.【詳解】充分性:若存在正數(shù),使得,則,,得證;必要性:若,則,不一定有正數(shù),使得,故不成立;所以是充分不必要條件故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量數(shù)乘的幾何意義,還考查了充分必要條件的判定,屬于簡(jiǎn)單題.12、A【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】令直線:,與橢圓方程聯(lián)立消去得,可設(shè),則,.可知,又,故.三角形周長(zhǎng)與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍,則內(nèi)切圓半徑,其面積最大值為.故本題應(yīng)填.點(diǎn)睛:圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決,這就是幾何法.(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,求函數(shù)最值的常用方法有配方法,判別式法,重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等.14、【解析】

類比,三角形邊長(zhǎng)類比三棱錐各面的面積,三角形內(nèi)角類比三棱錐中側(cè)棱與面所成角.【詳解】,故,【點(diǎn)睛】本題考查類比推理.類比正弦定理可得,類比時(shí)有結(jié)構(gòu)類比,方法類比等.15、答案不唯一,如【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知,不妨設(shè),則,很明顯為遞減數(shù)列,說明原命題是假命題.所以,答案不唯一,符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列,還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.16、7201【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通式可求出;令中的,得兩個(gè)式子,代入可得結(jié)果.【詳解】利用二項(xiàng)式系數(shù)公式,,故,,故(=,故答案為:720;1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查賦值法,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)分、、三種情況解不等式,即可得出該不等式的解集;(2)利用分析法可知,要證,即證,只需證明即可,因式分解后,判斷差值符號(hào)即可,由此證明出所證不等式成立.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí).綜上所述,不等式的解集為;(2)要證,即證,因?yàn)?,,所以,,?所以,.故所證不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用分析法和作差法證明不等式,考查分類討論思想以及推理能力,屬于中等題.18、(1)分布列見解析,分布列見解析;(2)甲設(shè)備,理由見解析【解析】

(1)的可能取值為10000,11000,12000,的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列;(2)計(jì)算期望,得到,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,,計(jì)算分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(1)的可能取值為10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列為如下9000100001100012000(2)設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,的可能取值為2,3,4,5,,,則的分布列為2345的可能取值為3,4,5,6,,,則的分布列為3456由于,,因此需購(gòu)買甲設(shè)備【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、【解析】

由不存在逆矩陣,可得,再利用特征多項(xiàng)式求出特征值3,0,,利用矩陣乘法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椴淮嬖谀婢仃?,,所?矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,則或,所以,即,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出,再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,,可知在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上沒有零點(diǎn);(2)由題意可將轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性,由,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)若,則,,設(shè),則,,,故函數(shù)是奇函數(shù).當(dāng)時(shí),,,這時(shí),又函數(shù)是奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.又,,故在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn).(2),由,所以恒成立,若,則,設(shè),.故當(dāng)時(shí),,又,所以當(dāng)時(shí),,滿足題意;當(dāng)時(shí),有,與條件矛盾,舍去;當(dāng)時(shí),令,則,又,故在區(qū)間上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn),設(shè)最小的零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增.,所以.于是,當(dāng)時(shí),,得,與條件矛盾.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,涉及分類討論思想和放縮法的應(yīng)用,難度較大,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.21、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【解析】

(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形,得到證明.(Ⅱ)建立如圖所示坐標(biāo)系,平面法向量為,平面的法向量,計(jì)算夾角得到答案.(Ⅲ)設(shè),計(jì)算,,根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.【詳解】(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形.平面.(Ⅱ)平面,四邊形為正方形.所以,,兩兩垂直,建立如圖所示坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)平面法向量為,則,連結(jié),可得,又所以,平面,平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則.(Ⅲ)線段上存在點(diǎn)使得,設(shè),,,,所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行,二面角,根據(jù)垂直關(guān)

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