2022-2023學(xué)年福建省南平市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，故選：B2.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入男子羽毛球單打決賽，假設(shè)比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2，3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為（）A.0.5 B.0.6 C.0.65 D.0.68〖答案〗C〖解析〗由題意得甲獲勝的情況有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13種，所以估計(jì)甲獲得冠軍的概率為，故選：C3.在中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴．故選：D．4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)與太陽(yáng)天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度等于表高與太陽(yáng)天頂距正切值的乘積，即.對(duì)同一“表高”進(jìn)行兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為，，若第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的2.5倍，且，則第二次“晷影長(zhǎng)”是“表高”的（）A.倍 B.1倍 C.倍 D.倍〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，所以，即第二次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的倍.故選：A.5.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則與的關(guān)系為（）．A.互斥 B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立 D.相等〖答案〗C〖解析〗擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件與能同時(shí)發(fā)生，故事件與既不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；，，，，因?yàn)?，所以與獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；事件與不相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.6.在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，，，，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋烧叶ɡ淼盟?，又，所以則，即，則由余弦定理可得，所以.故選：B.7.已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)有最小值，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．8.如圖是一座山的示意圖，山體大致呈圓錐形，且圓錐底面半徑為2km，山高為，B是母線SA上一點(diǎn)，且.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡.當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為（）A. B.3km C.3.6km D.〖答案〗C〖解析〗由題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長(zhǎng)，所以展開(kāi)圖的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，結(jié)合題意，，由點(diǎn)向引垂線，垂足為點(diǎn)，此時(shí)為點(diǎn)和線段上的點(diǎn)連線的最小值，即點(diǎn)為公路的最高點(diǎn)，段即為下坡路段，則，即，得下坡路段長(zhǎng)度為．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），對(duì)于復(fù)數(shù)的以下描述，正確的有（）A. B.C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限〖答案〗BD〖解析〗，對(duì)于A，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以D正確，故選：BD10.某校舉行“歌唱祖國(guó)，為青春喝彩”歌唱比賽．比賽由9名專業(yè)人士和9名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組，給參賽選手打分．兩個(gè)評(píng)委小組（記為小組A，小組B）對(duì)同一名選手打分分值的折線圖如下，則（）A.小組A打分分值的眾數(shù)為47B.小組B打分分值第90百分位數(shù)為75C.小組A打分分值的方差大于小組B打分分值的方差D.小組B打分分值的極差為39〖答案〗ABD〖解析〗由折線圖知，小組A打分分值分別為：，按照從小到大的順序排列為：，眾數(shù)為47，故A正確；小組B打分分值分別為：，按照從小到大的順序排列為：，∵，∴小組B打分分值第90百分位數(shù)為第9個(gè)數(shù)75，故B正確；小組A打分分值的均值，小組A打分分值的方差，小組B打分分值的均值，小組B打分分值的方差，故C錯(cuò)誤；小組B打分分值的極差為75－36＝39，故D正確．故選：ABD．11.若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.在單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?對(duì)于選項(xiàng)A：的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，且在上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)闉樽畲笾?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，且為偶函數(shù)，故D正確；故選：BCD.12.已知三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線CE與AB所成角余弦值為B.直線CE與平面ABC所成角的正弦值為C.二面角余弦值為D.三棱錐外接球的表面積為〖答案〗BD〖解析〗三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，則，同理對(duì)于A，如圖，取中點(diǎn)，連接因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，位中點(diǎn)，所以，所以為異面直線CE與AB所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)椋?，同理，在中，，所以異面直線CE與AB所成角的余弦值為，故A不正確；對(duì)于B，如圖，連接，作平面于，則直線CE與平面ABC所成角為因?yàn)椋?，則，所以，則直線CE與平面ABC所成角的正弦值為，故B正確；對(duì)于C，如圖，取中點(diǎn)為，連接因?yàn)?，，為中點(diǎn)，所以且，則，所以，則為二面角的平面角，所以，故C不正確；對(duì)于D，把三棱錐還原為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球．設(shè)其半徑為，由正方體的外接球滿足，所以．所以球的表面積為．故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，且.寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)非零向量__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一，形如）〖解析〗設(shè)，而向量，且，因此，即，又，則令，所以，取，得.故〖答案〗為：14.已知正四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為4和8，高為2.該正四棱臺(tái)的表面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)檎睦馀_(tái)的側(cè)面等腰梯形，又正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別是4、8，高為2，所以側(cè)面梯形的斜高為，則梯形的面積，上下底底面面積分別為，，所以該四棱臺(tái)的表面積為．故〖答案〗為：．15.我省新高考實(shí)行“3+1+2”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選，物理與歷史2選1，政治、地理、化學(xué)和生物4選2.今年高一小王與小李都準(zhǔn)備選歷史與地理，若他倆再?gòu)钠渌浦腥芜x一科，則他們選科相同的概率為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗依題意，今年高一的小王與小李都準(zhǔn)備選歷史與地理，則他倆再?gòu)钠渌浦腥芜x一科基本事件有（政，政），（政，化），（政，生），（化，政），（化，化），（化，生），（生，政），（生，化），（生，生），共件，他們選課相同包含的基本事件有：（政，政），（化，化），（生，生），共有件，所以他們選課相同的概率．故〖答案〗為：.16.在中，點(diǎn)D在邊BC上，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)，_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，，，且.（1）求在上的投影向量；（2）求與的夾角.解：（1）因?yàn)橄蛄?，，，且，所以在上的投影向量?（2）因?yàn)橄蛄?，，，且，所以，所以，記與的夾角為，則，又，所以與的夾角為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，，且，，.（1）證明：平面PCD；（2）證明：平面PCD.證明：（1）取PD中點(diǎn)E，連接EF、EC，如圖所示，因?yàn)镋、F分別為PD、PA中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)椋?，所以且，所以四邊形EFBC為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD．（2）因?yàn)?，F(xiàn)為PA中點(diǎn)，所以，又，則，因?yàn)?，平面PCD，，所以平面PCD.19.全民國(guó)家安全教育日是為了增強(qiáng)全民國(guó)家安全意識(shí)，維護(hù)國(guó)家安全而設(shè)立的節(jié)日.2024年4月15日是我國(guó)第八個(gè)全民國(guó)家安全教育日，某校組織國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽，共有20道題，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)答，甲同學(xué)能答對(duì)其中的12道，乙同學(xué)能答對(duì)其中的8道，丙同學(xué)能答對(duì)其中的道，現(xiàn)從中任選一道題，假設(shè)每道題被選中的可能性相等.（1）求甲、乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人答對(duì)的概率；（2）若甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)的概率為，求的值.解：（1）設(shè)“任選一道題甲答對(duì)”，“任選一道題乙答對(duì)”，則，，，，“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人答對(duì)”的事件為，且與互斥，由每位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)答，知A，B互相獨(dú)立，則A與，與B，與均相互獨(dú)立，則，所以任選一道題，甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人答對(duì)的概率為.（2）令“任選一道題丙答對(duì)”，則，，設(shè)“甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)”，由（1）知，，解得，所以.20.“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來(lái)越深入人心，已形成了全民自覺(jué)參與，造福百姓的良性循環(huán)，為推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)，某市在全市范圍內(nèi)對(duì)環(huán)境治理和保護(hù)問(wèn)題進(jìn)行滿意度調(diào)查，從參與調(diào)查的問(wèn)卷中隨機(jī)抽取200份作為樣本進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng)（測(cè)評(píng)分滿分為100分）.根據(jù)樣本的測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：根據(jù)頻率分布直方圖，回答下列問(wèn)題：（1）求的值；（2）估計(jì)本次測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和第85百分位數(shù)（精確到0.01）；（3）從樣本中成績(jī)?cè)?，的兩組問(wèn)卷中，用分層抽樣的方法抽取5份問(wèn)卷，再?gòu)倪@5份問(wèn)卷中隨機(jī)選出2份，求選出的兩份問(wèn)卷中至少有一份問(wèn)卷成績(jī)?cè)谥械母怕?解：（1）由頻率分布直方圖可知；（2）本次測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，即本次測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)約為76.2分.在頻率分布直方圖中，前5組頻率之和為0.84，小于0.85，故第85百分位數(shù)位于第6組，所以，即第85百分位數(shù)約為90.63；（3）第5，6組的問(wèn)卷數(shù)分別為48人，32人，從第5，6組中用分層抽樣的方法抽取5份問(wèn)卷，則第5，6組抽取的問(wèn)卷數(shù)分別為3人，2人，分別記為，，，，，從5份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取2人，有，，，，，，，，，共10個(gè)基本事件，這2份中有一份在內(nèi)的基本事件，，，，，，共6個(gè)，2份都在內(nèi)的基本事件，所以.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面ABCD，且M是PD的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)D到平面AMC的距離.（1）證明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.又四邊形ABCD是矩形，∴，∵，平面PAD∴平面PAD，∵平面PAD，∴，又M是PD的中點(diǎn)，，∴，∵，平面PCD，所以平面PCD，又平面AMC，所以平面平面PCD.（2）解：法一：取AD中點(diǎn)為N，連接MN，在中，M，N分別為線段PD，AD的中點(diǎn)，故，，∵平面ABCD，∴平面ABCD，∴.由（1）得平面PCD，∵平面PCD，∴，∵，∴，，又，∴，∴，設(shè)點(diǎn)D到平面AMC的距離為，則，解得：，所以點(diǎn)D到平面AMC的距離為.法二：在平面PCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作，H為垂足.由（1）知平面平面PCD，又平面平面，平面PCD，所以平面AMC，故點(diǎn)D到平面AMC的距離為DH.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，因?yàn)椋?，又M為PD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍼AD，所以，在直角中，所以，.22.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，且的面積為.（1）求A，C兩點(diǎn)間的距離；（2）設(shè)的角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且.作的內(nèi)切圓，求這個(gè)內(nèi)切圓面積的最大值.解：（1）在中，因?yàn)?，所?由余弦定理可得，所以.故A，C兩點(diǎn)間的距離是.（2）根據(jù)三角形面積公式有，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，，?設(shè)內(nèi)切圓的半徑是，因，則.所以又，因此，解法一：在中，，.由正弦定理得，所以，，于是.又，所以.當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而取得最大值2故內(nèi)切圓面積的最大值為.解法二：所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).內(nèi)切圓面積的最大值為.福建省南平市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，故選：B2.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入男子羽毛球單打決賽，假設(shè)比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2，3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為（）A.0.5 B.0.6 C.0.65 D.0.68〖答案〗C〖解析〗由題意得甲獲勝的情況有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13種，所以估計(jì)甲獲得冠軍的概率為，故選：C3.在中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴．故選：D．4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)與太陽(yáng)天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度等于表高與太陽(yáng)天頂距正切值的乘積，即.對(duì)同一“表高”進(jìn)行兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為，，若第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的2.5倍，且，則第二次“晷影長(zhǎng)”是“表高”的（）A.倍 B.1倍 C.倍 D.倍〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，所以，即第二次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的倍.故選：A.5.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則與的關(guān)系為（）．A.互斥 B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立 D.相等〖答案〗C〖解析〗擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件與能同時(shí)發(fā)生，故事件與既不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；，，，，因?yàn)?，所以與獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；事件與不相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.6.在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，，，，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理得所以，又，所以則，即，則由余弦定理可得，所以.故選：B.7.已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)有最小值，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．8.如圖是一座山的示意圖，山體大致呈圓錐形，且圓錐底面半徑為2km，山高為，B是母線SA上一點(diǎn)，且.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡.當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為（）A. B.3km C.3.6km D.〖答案〗C〖解析〗由題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長(zhǎng)，所以展開(kāi)圖的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，結(jié)合題意，，由點(diǎn)向引垂線，垂足為點(diǎn)，此時(shí)為點(diǎn)和線段上的點(diǎn)連線的最小值，即點(diǎn)為公路的最高點(diǎn)，段即為下坡路段，則，即，得下坡路段長(zhǎng)度為．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），對(duì)于復(fù)數(shù)的以下描述，正確的有（）A. B.C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限〖答案〗BD〖解析〗，對(duì)于A，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以D正確，故選：BD10.某校舉行“歌唱祖國(guó)，為青春喝彩”歌唱比賽．比賽由9名專業(yè)人士和9名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組，給參賽選手打分．兩個(gè)評(píng)委小組（記為小組A，小組B）對(duì)同一名選手打分分值的折線圖如下，則（）A.小組A打分分值的眾數(shù)為47B.小組B打分分值第90百分位數(shù)為75C.小組A打分分值的方差大于小組B打分分值的方差D.小組B打分分值的極差為39〖答案〗ABD〖解析〗由折線圖知，小組A打分分值分別為：，按照從小到大的順序排列為：，眾數(shù)為47，故A正確；小組B打分分值分別為：，按照從小到大的順序排列為：，∵，∴小組B打分分值第90百分位數(shù)為第9個(gè)數(shù)75，故B正確；小組A打分分值的均值，小組A打分分值的方差，小組B打分分值的均值，小組B打分分值的方差，故C錯(cuò)誤；小組B打分分值的極差為75－36＝39，故D正確．故選：ABD．11.若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.在單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?對(duì)于選項(xiàng)A：的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，且在上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)闉樽畲笾担缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，且為偶函數(shù)，故D正確；故選：BCD.12.已知三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線CE與AB所成角余弦值為B.直線CE與平面ABC所成角的正弦值為C.二面角余弦值為D.三棱錐外接球的表面積為〖答案〗BD〖解析〗三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，則，同理對(duì)于A，如圖，取中點(diǎn)，連接因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，位中點(diǎn)，所以，所以為異面直線CE與AB所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)?，所以，同理，在中，，所以異面直線CE與AB所成角的余弦值為，故A不正確；對(duì)于B，如圖，連接，作平面于，則直線CE與平面ABC所成角為因?yàn)?，所以，則，所以，則直線CE與平面ABC所成角的正弦值為，故B正確；對(duì)于C，如圖，取中點(diǎn)為，連接因?yàn)?，，為中點(diǎn)，所以且，則，所以，則為二面角的平面角，所以，故C不正確；對(duì)于D，把三棱錐還原為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球．設(shè)其半徑為，由正方體的外接球滿足，所以．所以球的表面積為．故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，且.寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)非零向量__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一，形如）〖解析〗設(shè)，而向量，且，因此，即，又，則令，所以，取，得.故〖答案〗為：14.已知正四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為4和8，高為2.該正四棱臺(tái)的表面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)檎睦馀_(tái)的側(cè)面等腰梯形，又正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別是4、8，高為2，所以側(cè)面梯形的斜高為，則梯形的面積，上下底底面面積分別為，，所以該四棱臺(tái)的表面積為．故〖答案〗為：．15.我省新高考實(shí)行“3+1+2”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選，物理與歷史2選1，政治、地理、化學(xué)和生物4選2.今年高一小王與小李都準(zhǔn)備選歷史與地理，若他倆再?gòu)钠渌浦腥芜x一科，則他們選科相同的概率為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗依題意，今年高一的小王與小李都準(zhǔn)備選歷史與地理，則他倆再?gòu)钠渌浦腥芜x一科基本事件有（政，政），（政，化），（政，生），（化，政），（化，化），（化，生），（生，政），（生，化），（生，生），共件，他們選課相同包含的基本事件有：（政，政），（化，化），（生，生），共有件，所以他們選課相同的概率．故〖答案〗為：.16.在中，點(diǎn)D在邊BC上，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)，_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，，，且.（1）求在上的投影向量；（2）求與的夾角.解：（1）因?yàn)橄蛄?，，，且，所以在上的投影向量?（2）因?yàn)橄蛄?，，，且，所以，所以，記與的夾角為，則，又，所以與的夾角為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，，且，，.（1）證明：平面PCD；（2）證明：平面PCD.證明：（1）取PD中點(diǎn)E，連接EF、EC，如圖所示，因?yàn)镋、F分別為PD、PA中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)椋?，所以且，所以四邊形EFBC為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD．（2）因?yàn)?，F(xiàn)為PA中點(diǎn)，所以，又，則，因?yàn)?，平面PCD，，所以平面PCD.19.全民國(guó)家安全教育日是為了增強(qiáng)全民國(guó)家安全意識(shí)，維護(hù)國(guó)家安全而設(shè)立的節(jié)日.2024年4月15日是我國(guó)第八個(gè)全民國(guó)家安全教育日，某校組織國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽，共有20道題，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)答，甲同學(xué)能答對(duì)其中的12道，乙同學(xué)能答對(duì)其中的8道，丙同學(xué)能答對(duì)其中的道，現(xiàn)從中任選一道題，假設(shè)每道題被選中的可能性相等.（1）求甲、乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人答對(duì)的概率；（2）若甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)的概率為，求的值.解：（1）設(shè)“任選一道題甲答對(duì)”，“任選一道題乙答對(duì)”，則，，，，“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人答對(duì)”的事件為，且與互斥，由每位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)答，知A，B互相獨(dú)立，則A與，與B，與均相互獨(dú)立，則，所以任選一道題，甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人答對(duì)的概率為.（2）令“任選一道題丙答對(duì)”，則，，設(shè)“甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)”，由（1）知，，解得，所以.20.“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來(lái)越深入人心，已形成了全民自覺(jué)參與，造福百姓的良性循環(huán)，為推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)，某市在全市范圍內(nèi)對(duì)環(huán)境治理和保護(hù)問(wèn)題進(jìn)行滿意度調(diào)查，從參與調(diào)查的問(wèn)卷中隨機(jī)抽取200份作為樣本進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng)（測(cè)評(píng)分滿分為100分）.根據(jù)樣本的測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：