專(zhuān)題07 與線(xiàn)段有關(guān)的計(jì)算（解析版）

07與線(xiàn)段有關(guān)的計(jì)算1．如圖所示，點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AC、BD的中點(diǎn)．求證MN=（AB-CD）．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：∵點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AC、BD的中點(diǎn)，∴AM=AC，BN=BD，∴MN=AB-AM-BN=AB-AC-BD=AB-（AC+BD）=AB-（AB+CD）=（AB-CD）．2．如圖，已知點(diǎn)D是線(xiàn)段上一點(diǎn)，點(diǎn)C是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】線(xiàn)段的長(zhǎng)為【詳解】解：∵，，∴，∴，∵點(diǎn)C是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，答：線(xiàn)段的長(zhǎng)為．3．已知線(xiàn)段，直線(xiàn)上有一點(diǎn)C，，點(diǎn)D是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】線(xiàn)段的長(zhǎng)是20或40．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段上時(shí)，，，∵點(diǎn)D是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，，，∵點(diǎn)D是線(xiàn)段的中點(diǎn)，綜上可知，線(xiàn)段的長(zhǎng)是20或40．4．如圖，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，點(diǎn)、、分別是線(xiàn)段，，的中點(diǎn)．(1)若，則；若，則．(2)若，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】(1)5，12；(2)2.5【詳解】（1）∵、分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴；若，∴，；故答案為：5，12；（2）∵，，∴，∵是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，∴，∵是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，∴．5．如圖，延長(zhǎng)線(xiàn)段到，使，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，如果，(1)求的長(zhǎng)度；(2)若點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：設(shè)，∴，∵點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，則，解得：，，∴．（2）解：∵點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．6．如圖，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，，求線(xiàn)段和線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】，【詳解】解：∵，，∴，∴，∵點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，∴．7．如圖，，C是AB的中點(diǎn)，D是CB上一點(diǎn)，E為DB中點(diǎn)，．求CD的長(zhǎng)．【答案】9【詳解】解：∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴，又∵點(diǎn)E是DB的中點(diǎn)，∴，∴．8．已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．(1)如圖所示，若在線(xiàn)段上，厘米，厘米，求線(xiàn)段，的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足厘米，請(qǐng)根據(jù)題意畫(huà)圖，并求的長(zhǎng)度（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】(1)；；(2)作圖見(jiàn)解析，【詳解】（1）解：是的中點(diǎn)，，，又為的中點(diǎn)，，；（2）解：根據(jù)題意，點(diǎn)的位置分兩種情況：①點(diǎn)的位置在點(diǎn)左側(cè)，如圖所示：是的中點(diǎn)，，∵N是的中點(diǎn)，，；②點(diǎn)的位置在點(diǎn)右側(cè)，如圖所示：是的中點(diǎn)，，∵N是的中點(diǎn)，，．9．已知：如圖，線(xiàn)段AC上依次有D，B，E三點(diǎn)，其中點(diǎn)B為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，，若，求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．【答案】8【詳解】解：∵D，B，E三點(diǎn)依次在線(xiàn)段AC上，∴DE=DB+BE．∵AD=BE，∴DE=DB+AD=AB．∵DE=4，∴AB=4．∵點(diǎn)B為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，∴AC=2AB=8．10．已知，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在線(xiàn)段上一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，點(diǎn)為直線(xiàn)上一點(diǎn)，，求長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)3或10【詳解】（1）解：∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴．（2）解：∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，∴，∴∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，即，解得；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，即，解得，∴．綜上所述，的長(zhǎng)為3或10．11．如圖，已知點(diǎn)C是線(xiàn)段上的點(diǎn)，D是延長(zhǎng)線(xiàn)線(xiàn)上的點(diǎn)，且，，，求的長(zhǎng).【答案】【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．12．已知，如圖，點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，，，且，分別為，的中點(diǎn)，求和的長(zhǎng)．【答案】，【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴．13．已知，點(diǎn)在線(xiàn)段上，(1)試說(shuō)明和有怎樣的關(guān)系？(2)若，求的長(zhǎng)【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵．14．已知，線(xiàn)段，在直線(xiàn)上畫(huà)線(xiàn)段，使，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】圖見(jiàn)解析；20或40【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段上時(shí)，如下圖，()；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如下圖，()；∴的長(zhǎng)為20或40．15．已知點(diǎn)B是直線(xiàn)AC上一點(diǎn)，，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)（畫(huà)出圖形并解答）【答案】線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為或．【詳解】解：∵分別是中點(diǎn)，∴，，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，，∴線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為或．16．點(diǎn)為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A表示的數(shù)為，線(xiàn)段的長(zhǎng)為線(xiàn)段長(zhǎng)的倍，點(diǎn)C在數(shù)軸上．(1)點(diǎn)B表示的數(shù)為(2)若線(xiàn)段，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)M為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；【答案】(1)；(2)或；(3)或【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)A表示的數(shù)為；所以因?yàn)榫€(xiàn)段的長(zhǎng)為線(xiàn)段長(zhǎng)的倍；所以所以所以點(diǎn)B表示的數(shù)為（2）解：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖：因?yàn)椋?；所以；?dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖：因?yàn)椋?；所以綜上所述：線(xiàn)段的長(zhǎng)為或；（3）解：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖：因?yàn)辄c(diǎn)M為線(xiàn)段的中點(diǎn)，；所以所以；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，如圖：因?yàn)辄c(diǎn)M為線(xiàn)段的中點(diǎn)，；所以所以綜上所述：線(xiàn)段的長(zhǎng)為或．17．回答下列問(wèn)題：(1)如圖，已知線(xiàn)段，點(diǎn)線(xiàn)段上，、分別是線(xiàn)段與線(xiàn)段的中點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)已知線(xiàn)段，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，、分別是線(xiàn)段與線(xiàn)段的中點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為多少？(3)已知線(xiàn)段，點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，、分別是線(xiàn)段與線(xiàn)段的中點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為多少？【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：點(diǎn)是中點(diǎn)，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，；（2）解：如圖1所示：點(diǎn)是中點(diǎn)，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，；（3）解：如圖2所示：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，．18．如圖所示，點(diǎn)C為線(xiàn)段上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)．求證：MN=AB【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：∵M(jìn)、N分別是線(xiàn)段AC、BC的中點(diǎn)，∴MC=AC，CN=BC，∴MN=MC+CN=（AC+BC）=AB19．如圖，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，AC＝12cm，，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：∵，，∴，∴，∵分別為的中點(diǎn)，，∴，∴．20．已知A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，且AB=6，，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度；(2)若點(diǎn)E是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且AE=2BE，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段CD與CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度為2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖1，∵點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，AB=6，∴BC=AB=3，∵BD=BC，∴BD=1，∴CD=BC-BD=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，如圖2，設(shè)AD=2x，則BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，∵點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴AC=AB=，∴CD=AC-AD=x，∵AE=2BE，∴AE=AB=x，CE=AE-AC=x，∴=，即5CD=3CE；當(dāng)點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，設(shè)AD=2a，則BD=3a，∴AB=BD-AD=a，∵點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴AC=AB=，∴CD=AC+AD=a，∵AE=2BE，∴AE=AB=a，CE=AE-AC=a，∴=，即CD=15CE．綜上，5CD=3CE或CD=15CE．21．如圖，已知，C為線(xiàn)段上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)；(2)若，求的值；(3)若，，取的中點(diǎn)G，的中點(diǎn)H，的中點(diǎn)P，求的長(zhǎng)(用含a的式子表示)．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，，，，為的中點(diǎn)，∴，；（2）解：設(shè)，，則，，，為的中點(diǎn)，，∴；，，，，即的值為；（3）解：如圖，設(shè)，，即，則，，的中點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為H，，，，的中點(diǎn)為P，，，∵x-y=a，．22．A、B、C、D四個(gè)車(chē)站的位置如圖所示，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，，，．(1)求A、C兩站的距離；(2)求C、D兩站的距離；(3)探究：與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1);(2);(3)【詳解】（1）解：由圖可知；（2）解：由圖可知；（3）解：由（2）可知，∴．∵，∴．23．已知點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，且，．(1)如圖①，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)為線(xiàn)段上任一點(diǎn)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想結(jié)果，的長(zhǎng)度為（用含有，的代數(shù)式表示），不必說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出圖形，試猜想的長(zhǎng)度為（用含有，的代數(shù)式表示，，并說(shuō)明理由．【答案】(1);(2);(3)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）（1）點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；（2））猜想：，理由如下：點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，．故答案為：；（3）猜想：，理由如下：如圖，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，．故答案為：．24．已知：點(diǎn)C在直線(xiàn)上，點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段上時(shí)，如圖（1），①若，則；②若，你能猜想出的長(zhǎng)度嗎？寫(xiě)出你的猜想并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且時(shí)，你能猜想出的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)?jiān)趫D（2）上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出你的猜想結(jié)果．【答案】(1)①4；②a;(2)（n﹣m）【詳解】（1）解：（1）①∵點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．故答案為：4．②∵點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．（2）解：畫(huà)圖如圖2所示，DE（n﹣m），理由如下：∴，∵，∴．25．如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)．(1)求線(xiàn)段、的長(zhǎng)；(2)若在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足，、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)，;(2)【詳解】（1）解：，是的中點(diǎn)，，，，為的中點(diǎn)，，，故答案為：，．（2）如下圖所示，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，，，．故答案為：．26．如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，若，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：由、分別是、的中點(diǎn)，得，．由線(xiàn)段的和差，得．27．如圖，已知點(diǎn)C為線(xiàn)段上一點(diǎn)，，，分別是、的中點(diǎn)．求：(1)求的長(zhǎng)度；(2)求的長(zhǎng)度；(3)若M在直線(xiàn)上，且，求的長(zhǎng)度．【答案】(1);(2);(3)或【詳解】（1）解：由線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，；（2）由線(xiàn)段的和差，得，由線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，得，由線(xiàn)段的和差，得；（3）當(dāng)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，；當(dāng)M在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，，∴的長(zhǎng)度為或．28．已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．(1)如圖所示，若在線(xiàn)段上，厘米，厘米，求線(xiàn)段，的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足厘米，請(qǐng)根據(jù)題意畫(huà)圖，并求的長(zhǎng)度（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】(1)厘米，厘米；(2)厘米．【詳解】（1）解：點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，厘米，，，（厘米），厘米，（厘米）；（2）解：如圖，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，厘米．29．如圖，線(xiàn)段，請(qǐng)用尺規(guī)按下列要求作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），再完成作答．(1)延長(zhǎng)線(xiàn)段到點(diǎn)C，使，并直接取、的中點(diǎn)分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)3cm【詳解】（1）解：如下圖，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)C，，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)E，，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交與點(diǎn)D，，點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E為所求；（2），，是的中點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，，．30．如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，，點(diǎn)M、