5.5應(yīng)用一元一次方程-希望工程義演例題與講解

5應(yīng)用一元一次方程——“希望工程”義演1.對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問題，可借助于表格分析數(shù)量關(guān)系，從而建立方程解決問題；

2.體會(huì)由于設(shè)未知數(shù)的不同，所列方程的復(fù)雜程度就不同，因此設(shè)未知數(shù)要有所選擇；

3.體會(huì)方程模型作用，發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

三、學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：進(jìn)一步熟練列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟，學(xué)會(huì)用圖表分析數(shù)量較為復(fù)雜的應(yīng)用題.

難點(diǎn)：用圖表分析數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜的應(yīng)用題；從多角度思考問題，尋找等量關(guān)系.

1．等量關(guān)系的確定列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出能夠反映題意的一個(gè)等量關(guān)系．對(duì)于復(fù)雜問題的等量關(guān)系可采用列表法分析數(shù)量之間的關(guān)系．一般可從以下幾個(gè)方面確定等量關(guān)系：(1)抓住問題中的關(guān)鍵詞，確定等量關(guān)系．如問題中的“和”、“差”、“倍”、“多”、“少”、“快”、“慢”等都是確定等量關(guān)系的關(guān)鍵詞．(2)利用公式或基本數(shù)量關(guān)系找等量關(guān)系．(3)從變化的關(guān)系中尋找不變的量，確定等量關(guān)系．【例1】劉成用150元買了甲、乙兩種書，共20本，甲種書單價(jià)10元，乙種書單價(jià)5元，則劉成買了這兩種書各多少本？分析：本題的兩個(gè)等量關(guān)系是：甲種書款＋乙種書款＝150元，甲種書量＋乙種書量＝20本．本題有兩個(gè)未知數(shù)：甲種書的數(shù)量和乙種書的數(shù)量．因此既可以設(shè)甲書的數(shù)量為未知數(shù)，又可以設(shè)乙書的數(shù)量為未知數(shù)．解：(方法1)設(shè)劉成買了甲種書x本，則買了乙種書(20－x)本，根據(jù)題意，得10x＋5(20－x)＝150，10x＋100－5x＝150,5x＝50，x＝10，20－10＝10(本)．答：劉成買了甲、乙兩種書各10本．(方法2)設(shè)買了乙種書x本，則甲種書有(20－x)本．根據(jù)題意，得10(20－x)＋5x＝150，200－10x＋5x＝150，－5x＝－50，x＝10，20－10＝10(本)．答：劉成買了甲、乙兩種書各10本．2．未知數(shù)的設(shè)法較復(fù)雜的問題，未知量可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗吭O(shè)為未知數(shù)非常重要．未知數(shù)設(shè)的適當(dāng)，能給列方程帶來簡便．未知數(shù)的設(shè)法大致有兩種：直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)．另外還可以根據(jù)解決問題的需要設(shè)出輔助未知數(shù)幫助解答．(1)直接設(shè)未知數(shù)直接設(shè)未知數(shù)，就是題目中問什么就設(shè)什么．對(duì)于只有一個(gè)相等關(guān)系的問題，直接設(shè)未知數(shù)就能解決問題．而對(duì)于較復(fù)雜的問題，直接設(shè)未知數(shù)時(shí)列方程可能會(huì)較困難．(2)間接設(shè)未知數(shù)，就是所設(shè)的未知數(shù)不是問題中最后所要求的未知數(shù)，而是設(shè)另外的量為未知數(shù)，這樣做的好處是便于理順數(shù)量關(guān)系、易于列方程．(3)設(shè)輔助未知數(shù)在列方程解應(yīng)用題時(shí)，有時(shí)為了解題的需要，將某些量之間的關(guān)系說得更清晰，我們引入一些輔助未知數(shù)．這些未知數(shù)在解方程的過程中，往往是約掉了或者抵消了，最后求出的問題的解與這些未知數(shù)無關(guān)，因此，被稱為輔助未知數(shù)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例2－1】一位老人立下遺囑：把17頭牛按eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,9)分給他的大兒子、二兒子、三兒子，問三個(gè)兒子各分得多少頭牛？分析：解答本題，若直接設(shè)三個(gè)兒子分別分得多少頭牛來求解比較困難，因?yàn)檫z囑中規(guī)定的大兒子、二兒子、三兒子應(yīng)分得牛的頭數(shù)的比例為eq\f(1,2)∶eq\f(1,3)∶eq\f(1,9)＝9∶6∶2，所以可設(shè)一份為x，然后根據(jù)“大兒子所分得的牛的頭數(shù)＋二兒子所分得的牛的頭數(shù)＋小兒子所分得的牛的頭數(shù)＝17”列方程求解．解：因?yàn)閑q\f(1,2)∶eq\f(1,3)∶eq\f(1,9)＝9∶6∶2，所以設(shè)每一份為x頭牛，則三人所分得的牛的頭數(shù)分別為9x,6x,2x.根據(jù)題意，得9x＋6x＋2x＝17.解這個(gè)方程，得x＝1.所以9x＝9,6x＝6,2x＝2.答：三個(gè)兒子分別分得9頭、6頭、2頭牛．【例2－2】高一某班在入學(xué)體檢中，測(cè)得全班同學(xué)的平均體重是48千克，其中男同學(xué)平均體重比女同學(xué)平均體重多20%，而女同學(xué)人數(shù)比男同學(xué)人數(shù)多20%.求男、女同學(xué)的平均體重．分析：本題中的未知量有四個(gè)——男、女同學(xué)的平均體重和男、女同學(xué)的人數(shù)，可以設(shè)女同學(xué)的平均體重為x千克，男同學(xué)有y人兩個(gè)未知數(shù)，根據(jù)本題中的相等關(guān)系“男女同學(xué)的總體重＝全班同學(xué)的平均體重×總?cè)藬?shù)”列出一個(gè)方程，其中的未知數(shù)y在解方程的過程中被約掉了，這里的y就是輔助未知數(shù)．解：設(shè)女同學(xué)平均體重為x千克，則男同學(xué)平均體重為1.2x千克，設(shè)男同學(xué)為y人，則女同學(xué)為1.2y人．根據(jù)題意，得1.2xy＋1.2xy＝48(y＋1.2y)．合并同類項(xiàng)，得2.4xy＝48×2.2y.∵y≠0，∴方程兩邊同除以2.4y，得x＝44.∴1.2x＝1.2×44＝52.8(千克)．答：男同學(xué)的平均體重為52.8千克，女同學(xué)的平均體重為44千克．3．幾種復(fù)雜的應(yīng)用問題含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的等量關(guān)系的應(yīng)用題主要有以下三種：(1)按比例分配問題按比例分配問題是指已知兩個(gè)或幾個(gè)未知量的比，分別求幾個(gè)未知量的問題．比例分配問題中的相等關(guān)系是：不同成分的數(shù)量之和＝全部數(shù)量．(2)工程問題工程問題中的相等關(guān)系是：工作量＝工作效率×工作時(shí)間；甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率；甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的總工作量．解答工程類問題時(shí)，常常把總工作量看成整體1.找出工作效率(即單位時(shí)間內(nèi)的工作量)是解答的關(guān)鍵．(3)資源調(diào)配問題資源調(diào)配問題一般采取列表法分析數(shù)量關(guān)系，利用表格，可以很清晰地表達(dá)出各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系．其中的相等關(guān)系要根據(jù)題目提供的等量關(guān)系確定．【例3】甲、乙兩人想共同承包一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做30天完成，乙單獨(dú)做20天完成，合同規(guī)定15天完成．否則每超過1天罰款1000元，甲、乙兩人經(jīng)商量后簽訂了該合同．(1)正常情況下，甲、乙兩人能否完成該合同？為什么？(2)現(xiàn)兩人合作了該工程的75%，因別處有急事，必須調(diào)走一人，問調(diào)走誰更合適一些？為什么？分析：(1)設(shè)甲、乙兩人合作x天完成合同，列出一元一次方程求出x的值，即可知道甲、乙兩人能否完成該合同；(2)因兩人已完成了該工程的75%，分別計(jì)算出甲、乙兩人單獨(dú)做完未完成的25%各需要多少時(shí)間，調(diào)走合同期內(nèi)不能完成任務(wù)的人更合適一些．解：(1)設(shè)甲、乙兩人合作x天完成合同，則甲、乙的工作效率分別為eq\f(1,30)，eq\f(1,20).依題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,30)＋\f(1,20)))x＝1.解這個(gè)方程，得x＝12.因?yàn)?2＜15，所以兩人能完成該合同．(2)調(diào)走甲更合適一些．理由：設(shè)甲單獨(dú)完成剩下的工程需x天，乙單獨(dú)完成剩下的工程