福建省寧德市福安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期區(qū)域性學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2022—2023學(xué)年第二學(xué)期高一區(qū)域性學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（B卷）（考試時(shí)間：120分鐘，試卷總分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將班級(jí)、姓名、座號(hào)填寫(xiě)清楚．2．每小題選出答案后，填入答案卷中．3．考試結(jié)束，考生只將答案卷交回，試卷自己保留．一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】，.故選：B.2.下列各組向量中，可以作為基向量的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基底需要為不共線的非零向量，由此逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于，，不可以作為基底，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，與為不共線的非零向量，可以作為一組基底，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)椋耘c共線，不可以作為一組基底，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以與共線，不可以作為一組基底，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：.3.水平放置的四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，如圖所示．其中，則原平面圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的圖形性質(zhì)可得原圖形的形狀，進(jìn)而可得面積.【詳解】由直角梯形中，且，作于，則四邊形為正方形，為等腰直角三角形，故，.故原圖為直角梯形，且上底，高，下底.其面積為.故選：C4.在中，已知，，，則等于（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理和三角形大邊對(duì)大角原則可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，，，則，.故選：A.5.在中，，，若點(diǎn)M滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.6.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑是2的半圓，則該圓錐的高為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖與本身圓錐的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】圓錐的母線長(zhǎng)為2，設(shè)圓錐的底面半徑為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得，則圓錐的高故選：C7.已知向量，滿(mǎn)足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：A8.在中，為上一點(diǎn)，，為線段上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（）A. B. C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】利用共線定理求出定值，再用基本不等式即可求解.【詳解】由題知，，所以，又因?yàn)闉榫€段上任一點(diǎn)，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的共軛復(fù)數(shù)是 B.的虛部是C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)虛部的定義、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則依次驗(yàn)證各項(xiàng)即可.詳解】對(duì)于A，由共軛復(fù)數(shù)定義知：，A正確；對(duì)于B，由虛部定義知：的虛部為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.設(shè)向量，，則（）A. B.與的夾角為C.與共線 D.【答案】AD【解析】【分析】利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量模長(zhǎng)、夾角公式以及向量共線、垂直的坐標(biāo)形式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，故A正確；因?yàn)?，，所以，因?yàn)閮上蛄繆A角的范圍為，所以與的夾角為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，所以與不共線，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.11.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若，則是等腰三角形C.若銳角三角形，則D.若，，則面積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)三角形內(nèi)角和與誘導(dǎo)公式判斷即可；對(duì)B，舉反例判斷即可；對(duì)C，根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合銳角三角形內(nèi)角范圍判斷即可；對(duì)D，根據(jù)余弦定理結(jié)合三角形面積公式與基本不等式判斷即可.【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，若，則，但不是等腰三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若是銳角三角形，則，又銳角三角形中，故，故，故C正確；對(duì)D，若，，則由余弦定理，有.又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故，故D正確；故選：ACD12.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B.過(guò)三點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為C.三棱錐的體積最大值為D.若保持，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】作出正方體相鄰兩個(gè)側(cè)面展開(kāi)圖，對(duì)比線段的長(zhǎng)度即可得到最短路程，知A正確；作出截面，由矩形面積公式可求得B錯(cuò)誤；利用體積橋可知當(dāng)與重合時(shí)，體積最大，利用割補(bǔ)法可求得C正確；分析可知點(diǎn)軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合扇形弧長(zhǎng)公式可求得D正確.【詳解】對(duì)于A，將側(cè)面和側(cè)面沿展成平面，如下圖所示，此時(shí)；將底面和側(cè)面沿展成平面，如下圖所示，此時(shí)；，沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為，A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，，四點(diǎn)共面，則過(guò)三點(diǎn)作正方體的截面，截面即為四邊形，如下圖陰影部分所示，平面，平面，，，，四邊形為矩形，又，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為定值，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，取得最大值，又點(diǎn)為側(cè)面（含邊界）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面距離最大，，C正確；對(duì)于D，若，則點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上，取中點(diǎn)，則，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，即劣弧，如下圖所示，，，劣弧的長(zhǎng)度為：，即點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為，D正確.故選：ACD.三、填空題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）13.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第______象限．【答案】二【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故答案為：二14.長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1，那么這個(gè)球的表面積是______．【答案】【解析】【分析】先求出長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)度，即得外接球的直徑，再求球的表面積即可.【詳解】由題意，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度即外接球的直徑，為，故這個(gè)球的表面積是.故答案為：15.如圖，A，B兩點(diǎn)分別在河的兩側(cè)，為了測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的距離，在點(diǎn)A的同側(cè)選取點(diǎn)C，測(cè)得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_____米．【答案】【解析】【分析】通過(guò)三角形內(nèi)角和計(jì)算出，再利用正弦定理即可求出答案.【詳解】根據(jù)已知條件，，米，所以，利用正弦定理，則（米）．故答案為：.16.平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，以為基底表示出，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將化為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)值域求法可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算過(guò)程．）17.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．（1）求a的值；（2）若，求復(fù)數(shù)以及的模．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)實(shí)部為0求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與模長(zhǎng)公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，故，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1），故，.18.已知向量，滿(mǎn)足：，，且．（1）求向量與的夾角；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律求解即可；（2）計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)向量與的夾角為，則，故，即，，又，故故向量與的夾角為【小問(wèn)2詳解】，故.19.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，O是底面圓心，AB是底面圓的直徑，，．（1）求圓錐的表面積；（2）經(jīng)過(guò)圓錐的高PO的中點(diǎn)作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺(tái)的體積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由題意可知，該圓錐的底面半徑，母線，從而可求出錐的表面積，（2）先求出大圓錐的高，從而可求出小圓錐的高，進(jìn)而可得圓臺(tái)的體積等于大圓錐的體積減去小圓錐的體積【詳解】解：（1）由題意可知，該圓錐的底面半徑，母線．∴該圓錐的表面積．（2）在中，，∵是PO的中點(diǎn)，∴．∴小圓錐的高，小圓錐的底面半徑，∴截得的圓臺(tái)的體積．20.已知a，b，c為的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且．（1）求角C的大?。唬?）若，且，求邊c的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解即可;（2）根據(jù)三角形面積公式解得，可得為正三角形，即可得.【小問(wèn)1詳解】由題意，，即，由余弦定理可得，又，則.【小問(wèn)2詳解】由題意，故，解得又，，故為正三角形，故.21.如圖，在直角三角形ABC中，，．點(diǎn)D，E分別是線段AB，BC上的點(diǎn)，滿(mǎn)足，，．（1）求的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）以為基底表示，結(jié)合求解即可；（2）以為基底表示求解即可.【小問(wèn)1詳解】.因?yàn)?，，故，故，又，?【小問(wèn)2詳解】由題意，，若則，即，故，即，解得.22.在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知向量，，且．（1