一類多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)拖掛式移動(dòng)機(jī)器人的定向控制

一類多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)拖掛式移動(dòng)機(jī)器人的定向控制

拖掛式移動(dòng)機(jī)器用于自動(dòng)工廠、機(jī)場(chǎng)、車站、貨物運(yùn)輸碼頭以及核環(huán)境等場(chǎng)所，執(zhí)行材料運(yùn)輸、行李運(yùn)輸、貨物運(yùn)輸?shù)热蝿?wù)。根據(jù)驅(qū)動(dòng)功能，這種機(jī)器人通常分為三種類型：?jiǎn)蜗蝌?qū)動(dòng)型和多向驅(qū)動(dòng)型。第一個(gè)是指懸掛導(dǎo)向。即使沒有驅(qū)動(dòng)，它只能被動(dòng)地跟隨引導(dǎo)運(yùn)動(dòng)。第二個(gè)是指由獨(dú)立的傾斜轉(zhuǎn)向系統(tǒng)組成的傾斜轉(zhuǎn)向系統(tǒng)。這兩個(gè)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)功能被稱為完全多向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)或非完全多向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。這一轉(zhuǎn)向系統(tǒng)具有簡(jiǎn)單的機(jī)械結(jié)構(gòu)，但系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)靈活性較差。由于多向系統(tǒng)具有轉(zhuǎn)向裝置，因此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模式可以變得更加靈活。在文獻(xiàn)中，基于鏈?zhǔn)叫螤詈蚲ousat模型的第一個(gè)側(cè)面系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡的運(yùn)動(dòng)軌跡的運(yùn)動(dòng)軌跡的實(shí)現(xiàn)已經(jīng)取得了一些研究成果。muroya等人通過變換和控制輸入變量將單向旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為鏈?zhǔn)叫螤?，然后用輸入矯正輸入控制最終輪廓的運(yùn)動(dòng)軌跡。在文獻(xiàn)中，基于鏈?zhǔn)叫螤畹脑枷到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤模型轉(zhuǎn)換為傾斜鏈?zhǔn)胶蚲ausat標(biāo)準(zhǔn)形式，然后通過輸入矯正輸入、微分固定輸入和多項(xiàng)式輸入控制最終輪廓的運(yùn)動(dòng)軌跡。對(duì)于鏈?zhǔn)降囊话阈螤?，基于毅普諾夫的方法，設(shè)計(jì)了具有相同運(yùn)動(dòng)方向的軌跡跟蹤裝置，并采用lyapunov方法對(duì)其進(jìn)行了調(diào)整。在文獻(xiàn)中，基于李雅普諾夫的方法，設(shè)計(jì)了具有相同運(yùn)動(dòng)方向的軌跡跟蹤裝置，并且基于傳統(tǒng)的“平均衰減”特征，在動(dòng)態(tài)軌跡驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中建立了具有一致運(yùn)動(dòng)方向的軌跡跟蹤矩陣。它不僅可以系統(tǒng)地跟蹤預(yù)期的路徑，還可以用來控制車道跟蹤。通過計(jì)算差分函數(shù)、矯正函數(shù)和系列常量函數(shù)，我們可以控制輸入和點(diǎn)的矩陣，并且這種方法被廣泛應(yīng)用于自治救火車的控制。然而，上述方法屬于完全開環(huán)車輛管理，收束速度慢，控制效果差。在文獻(xiàn)中，我們提出了一種基于不連續(xù)反饋的集中動(dòng)態(tài)控制方法，通過計(jì)算一組“平均衰減”函數(shù)，采用管理函數(shù)而不是lyapunov函數(shù)進(jìn)行構(gòu)建，以實(shí)現(xiàn)自治救火車的集中管理。然而，上述方法屬于完全開環(huán)車輛管理，收束速度慢，控制效果差。在文獻(xiàn)中，我們提出了一種基于不連續(xù)反饋的定位器控制方法，并。1內(nèi)容6:外力塔中連接合線假設(shè)完全多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)由一節(jié)牽引車拖掛m節(jié)拖車組成,系統(tǒng)在二維水平面上運(yùn)動(dòng),如圖1所示,車體是剛體且關(guān)于其縱軸對(duì)稱.建立平面直角坐標(biāo)系XOY,設(shè)(xi,yi,θi)(i=0,1,···,m)為每節(jié)車體的位形描述,其中(xi,yi)為車體輪軸中心點(diǎn)坐標(biāo);θi為車體縱軸方向與X軸之間的夾角;?i(i=1,···,m)為相鄰車體之間的連桿與X軸之間的夾角;li為連桿長(zhǎng)度.設(shè)u0,u1分別為牽引車的線速度和角速度;vi-1,ui(i=2,···,m+1)分別為拖車的線速度和角速度,則u0,u1和ui(i=2,···,m+1)共同構(gòu)成系統(tǒng)的m+2個(gè)控制輸入.系統(tǒng)位形由牽引車的位置坐標(biāo)、m+1個(gè)車體姿態(tài)角以及連桿姿態(tài)角給定,因此系統(tǒng)的狀態(tài)空間為R2×(S1)2m+1=[x0,y0,θ0,···,θm,?1,···,?m]T,而系統(tǒng)的控制輸入只有m+2個(gè),因此該系統(tǒng)是一種典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).在任一時(shí)刻,每節(jié)車體都滿足純滾動(dòng)和無側(cè)向移動(dòng)的條件,即車體速度與姿態(tài)角θi之間存在如下非完整性約束:相鄰車體之間滿足如下連接關(guān)系:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)為系統(tǒng)狀態(tài)空間的定義域?yàn)?D={d|d=[x0,y0θ0,θ1,···,θm,?1,?2,···,?m]T∈R2×(S1)2m+1∩(x0,y0)∈R2∩|θi-?i+1|<π/2∩|θi+1-?i+1<π/2,i=0,1,···,m-1}.2多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的常用控制設(shè)置目前只有文獻(xiàn)將多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多輸入鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的研究報(bào)道,而并無相關(guān)研究將其變換成冪式系統(tǒng).對(duì)于完全多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)拖掛式移動(dòng)機(jī)器人,將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)式(3)～(6)進(jìn)行變換,得到如下標(biāo)準(zhǔn)形式(7)(見下頁上方).即有:由此可知,完全多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為如式(8)所示的無漂仿射非線性控制系統(tǒng)對(duì)于這類系統(tǒng),Brockett已經(jīng)證明不存在光滑、時(shí)不變反饋控制律將其漸近鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn),為此,有關(guān)的鎮(zhèn)定問題都圍繞著不連續(xù)反饋控制或時(shí)變反饋控制[1,2,3,12,13,14,15]進(jìn)行.然而,上述方法較難直接應(yīng)用于系統(tǒng)(8),因?yàn)檫@些方法往往對(duì)向量場(chǎng)gi(i=0,1,···,m+1)及其李代數(shù)運(yùn)算有過于嚴(yán)格的假設(shè),或者只適用于兩輸入系統(tǒng)的鎮(zhèn)定因此,本文將對(duì)式(8)表示的多輸入無漂系統(tǒng)進(jìn)行變換,得到一種標(biāo)準(zhǔn)的控制結(jié)構(gòu)—冪式系統(tǒng)(Powerform).冪式系統(tǒng)是一種具有潛在線性屬性的特殊的非線性控制系統(tǒng),由Teel等提出,用于解決兩輸入非完整系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,下面本文將研究完全多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的冪式形式.一般的多輸入冪式系統(tǒng)具有如下形式:在兩輸入冪式系統(tǒng)中,每個(gè)狀態(tài)的微分與之前的狀態(tài)及控制輸入有關(guān),而在多輸入冪式系統(tǒng)(9)中,給定一列,其中每個(gè)狀態(tài)的微分不僅取決于控制輸入wi,而且均與z00有關(guān),也就是說多輸入冪式系統(tǒng)中每一列之間都是相關(guān)的,它們通過z00耦合在一起,因此進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)需要予以考慮.定義1(n+1輸入,nn+1層冪式系統(tǒng)).對(duì)于式(9)所表示的n+1輸入冪式系統(tǒng),給定i(i=0,1,···,nn),定義zij(j=0,1,···,n)所在的行為第i層(Level),則式(9)稱為n+1輸入,nn+1層冪式系統(tǒng).關(guān)于式(2)～(6)所描述的多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的冪式形式,本文給出如下結(jié)論.定理1.對(duì)于完全多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)拖掛式移動(dòng)機(jī)器人,存在同胚變換?y=α(x)和?u=β(x)·u,將系統(tǒng)(2)～(6)轉(zhuǎn)化為m+2輸入的兩層冪式系統(tǒng).證明.構(gòu)造如下的系統(tǒng)狀態(tài)坐標(biāo)變換和控制輸入變換:由式(10)知,在D內(nèi)?y=α(x)光滑,其逆變換存在且光滑,又由式(7)和(10)可知,式(11)中的?β(xx,u)可表示為線性關(guān)系,則式(11)可寫成如下形式:此時(shí),原系統(tǒng)的控制輸入u可通過求解線性代數(shù)方程(12)得到.上述局部變換β(x)在ˉD={ˉd|ˉd∈D,θm=π/2}中存在.因此系統(tǒng)(2)～(6)經(jīng)式(10)和(12)變換后成為m+2輸入的兩層冪式系統(tǒng):由于存在狀態(tài)坐標(biāo)變換與控制輸入變換,將鏈?zhǔn)叫问阶儞Q為對(duì)應(yīng)的冪式形式,因此定理1中給出的冪式系統(tǒng)與文獻(xiàn)中的多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的鏈?zhǔn)叫问酱嬖诘葍r(jià)關(guān)系.由定理1,完全多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)被轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的多輸入冪式形式,從而簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu),則原系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題轉(zhuǎn)化為具有m+2個(gè)控制輸入的兩層冪式系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.3不同系統(tǒng)的組合當(dāng)n=1時(shí),式(9)成為兩輸入冪式系統(tǒng),針對(duì)該類系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題存在時(shí)變反饋鎮(zhèn)定和不連續(xù)反饋鎮(zhèn)定兩類方法.然而,這些控制器都是針對(duì)兩輸入系統(tǒng)設(shè)計(jì)的,因此只能適用于單體車型機(jī)器人系統(tǒng)和單轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)拖掛式機(jī)器人系統(tǒng),而不適用于多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),為此,本文針對(duì)兩層多輸入冪式系統(tǒng)(13)的鎮(zhèn)定控制進(jìn)行研究,設(shè)計(jì)ρ指數(shù)級(jí)收斂的鎮(zhèn)定控制器.3.1非線性動(dòng)指數(shù)級(jí)穩(wěn)定首先,針對(duì)無漂仿射非線性控制系統(tǒng)的ρ指數(shù)級(jí)穩(wěn)定,給出如下的預(yù)備知識(shí).定義2(膨脹(Dilation)).對(duì)于給定向量x=(x1,x2,···,xn)T,相對(duì)于x的膨脹?λr:Rn→Rn定義為:?λrx=(λr1x1,λr2x2,···,λrnxn)T,其中,r=(r1,r2,···,rn)且r1=1≤r2≤···≤rn,λ>0為常數(shù),?λr通常簡(jiǎn)寫為?λ.定義3(齊次函數(shù)(Homogeneousfunction)).若連續(xù)函數(shù)f:R×Rn→Rn滿足:f(t,?λx)=λlf(t,x),則稱f為相對(duì)于?λ的具有齊次階l≥0的齊次函數(shù).定義4(齊次向量場(chǎng)(Homogeneousvectorfield)).若連續(xù)向量場(chǎng)X(t,x)∈R×Rn的第i個(gè)分量Xi為相對(duì)于?λ的具有齊次階ri-m(m≤rn)的齊次函數(shù),即:Xi(t,?λx)=λri-mXi(t,x),則稱X(t,x)為相對(duì)于?λ的具有齊次階m的齊次向量場(chǎng).定義5(齊次范數(shù)(Homogeneousnorm)).若連續(xù)函數(shù)ρ(x):Rn→R滿足:ρ(x)正定,且ρ(?λx)=λρ(x),λ>0,則定義ρ(x)為相對(duì)于?λ的齊次范數(shù).定義6(ρ指數(shù)級(jí)穩(wěn)定(Exponentialstability)).對(duì)于系統(tǒng)˙x=f(t,x),若在其原點(diǎn)的某一鄰域Sx內(nèi)存在兩個(gè)嚴(yán)格大于0的常數(shù)c1和c2,使得:ρ(x(t))≤c1ρ(x(0))e-c2t,?t≥0,?x(0)∈Sx則稱系統(tǒng)˙x=f(t,x)的平衡點(diǎn)x=0相對(duì)于齊次范數(shù)ρ是局部指數(shù)級(jí)穩(wěn)定的,即系統(tǒng)在Sx內(nèi)是ρ指數(shù)級(jí)穩(wěn)定的.關(guān)于非線性系統(tǒng)的指數(shù)級(jí)穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定的關(guān)系,文獻(xiàn)中給出了如下結(jié)論.引理1.對(duì)于系統(tǒng)˙x=f(t,x),若向量場(chǎng)f(t,x)的齊次階為0,則系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定等價(jià)于ρ指數(shù)級(jí)穩(wěn)定.3.2y對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)對(duì)于系統(tǒng)(13),控制目標(biāo)是使系統(tǒng)狀態(tài)收斂到0,這等價(jià)于[xm,ym,θ0,θ1,···,θm,?1,?2,···,?m]T收斂到0,即系統(tǒng)所有車體排列成一條直線,且最后一節(jié)拖車位于坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)然我們也可以控制[x0,y0,θ0,θ1,···,θm,?1,?2,···,?m]T收斂到0,即牽引車位于坐標(biāo)原點(diǎn),而后者相對(duì)于前者只需對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行平移變換即可.下面針對(duì)兩層多輸入冪式系統(tǒng)(13)的鎮(zhèn)定控制問題設(shè)計(jì)具有ρ指數(shù)級(jí)收斂速度的反饋鎮(zhèn)定控制器.首先,令y=[y00,y01,···,y0m+1;y11,···,y1m+1]T,同時(shí)令1=r1=r2=···=rm+2<rm+3=···=r2m+3=2,則相對(duì)于y的膨脹為定義齊次范數(shù)為上式中c=4N,N為自然數(shù).則ρ(y)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為顯然,qi(i=0,1,···,m+1)的齊次階為0.令其中,zi=yi1ρ(y)(i=1,2,···,m+1)的齊次階為1.則:可直接計(jì)算得到pj,i(j=0,1,···,m+1;i=1,2,···,m+1)的齊次階為0.則:再令,其中,為時(shí)變周期向量:h(t)=k·[sint,sin(2t),···,sin[(m+1)t]]T,k為調(diào)節(jié)參數(shù).令g(t)=˙h(t)=k·[cost,2cos(2t),···,(m+1)cos[(m+1)t]]T.顯然,至此,給出如下的時(shí)變反饋鎮(zhèn)定控制器,用于鎮(zhèn)定系統(tǒng)(13).定理2.對(duì)于式(13)所表示的m+2輸入、兩層冪式系統(tǒng),若控制輸入?u取為則閉環(huán)系統(tǒng)將ρ指數(shù)級(jí)收斂到原點(diǎn).證明.定義如下齊次范數(shù):上式中,c=4N,N為自然數(shù).則ρ(ˉy)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為令V(t,y)=,則:將式(14)代入上式得到:因?yàn)閂(t,y)=,則:所以,V(t,y)≤V1(y)=1/2[1+kc(m+1)c]2/c×ρ2(y),因此V(t,y)是正定遞減的,又V(t,y)是徑向無界的,根據(jù)不變性原理可知,閉環(huán)系統(tǒng)(13)是一致漸近穩(wěn)定的.又因?yàn)?ui(t,y)(i=1,2,···,m+1)的齊次階為1,由定義4可得閉環(huán)系統(tǒng)中向量場(chǎng)相對(duì)于膨脹?λy的齊次階為0,根據(jù)引理1知,閉環(huán)系統(tǒng)(13)ρ指數(shù)級(jí)收斂到原點(diǎn).對(duì)于原系統(tǒng)(2)～(6),直接通過求解式(12)和(14)即可得到其控制輸入.由定理1和定理2可知,本文實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)(2)～(6)的ρ指數(shù)級(jí)閉環(huán)鎮(zhèn)定.相比于文獻(xiàn)中的開環(huán)鎮(zhèn)定,上述控制器是閉環(huán)的,且具有ρ指數(shù)級(jí)收斂速度,因此可以得到更好的控制效果.控制器中的參數(shù)k,c(或N)對(duì)控制器的穩(wěn)定性沒有影響,k只體現(xiàn)了在鎮(zhèn)定過程中系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為隨時(shí)間“類周期”變化的劇烈程度,但不會(huì)影響運(yùn)動(dòng)趨勢(shì),而c的取值只需滿足范數(shù)的定義,一般情況下k和N都取1即可.本文設(shè)計(jì)的控制器雖然只具有局部穩(wěn)定性,但導(dǎo)致控制器失效的初始位形僅存在于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型無定義和θm=π/2的情況,考慮到現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中拖車節(jié)數(shù)不會(huì)太多,因此控制器在絕大多數(shù)情況下是有效的.若在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)不滿足要求的初始位姿,則可先簡(jiǎn)單地執(zhí)行某一控制輸入以避開奇異,然后再執(zhí)行本文的控制輸入.4多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制仿真本節(jié)針對(duì)兩車體多轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制進(jìn)行仿真.首先,通過式(10)和(11)將兩車體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為如下三輸入、兩層冪式形式:其中然后,由上式可解出原系統(tǒng)的控制輸入:首先,進(jìn)行一般的鎮(zhèn)定控制仿真,假設(shè)系統(tǒng)連接參數(shù)為l0=l1=0.5m,初始位形為[x1,y1,θ0θ1,?1]T=[-10,2,π/6,π/6,π/6]T,執(zhí)行式(14)和(15)的控制律,其中控制器參數(shù)取為k0=k1=k2=2,得到圖2所示的仿真結(jié)果.從上述仿真結(jié)果中可以看出,系統(tǒng)兩車體先向前運(yùn)動(dòng),當(dāng)接近目標(biāo)點(diǎn)后,連續(xù)地交替執(zhí)行倒車和前進(jìn)運(yùn)動(dòng),直至收斂到目標(biāo)點(diǎn).其次,進(jìn)行平行停車(Parallelparking)控制的仿真,平行停車控制是一類典型的點(diǎn)鎮(zhèn)定控制問題,即將系統(tǒng)鎮(zhèn)定到與機(jī)器人原始狀態(tài)平行的某一狀態(tài).假設(shè)系統(tǒng)的初始位形為[x1,y1,θ0,θ1,?1]T=T,顯然位于初始狀態(tài)的系統(tǒng)車體排列成一條直線,且與目標(biāo)狀態(tài)平行,執(zhí)行式(14)和(15)的控制律,得到圖3所示的仿真結(jié)果.從上述仿真結(jié)果中可以看出,系統(tǒng)兩車體均交替執(zhí)行倒車和前進(jìn)運(yùn)動(dòng),直至收斂到目標(biāo)點(diǎn),并且運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)不會(huì)違反非完整性約束,因此得到了理想的控制效果.在上述仿真實(shí)驗(yàn)中k和N都取為1,實(shí)驗(yàn)表明k值只對(duì)控制輸入的大小略有影響,而對(duì)鎮(zhèn)定過程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)影響不大,而N值對(duì)控制輸入以及系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為