巧解雙曲線的離心率

巧解雙曲線的離心率離心率是雙曲線的重要性質(zhì)，也是高考的熱點。經(jīng)?？疾椋呵箅x心率的值，求離心率的取值范圍，或由離心率求參數(shù)的值等。下面就介紹一下常見題型和巧解方法。1、求離心率的值（1）利用離心率公式，先求出，再求出值。（2）利用雙曲線離心率公式的變形：，先整體求出，再求出值。例1已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為__________.分析：雙曲線的漸近線方程為，由已知可得解答：由已知可得，再由，可得.（3）構(gòu)造關(guān)于的齊次式，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程，最后求出值，即“齊次化”。例如：例2設(shè)雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為____________.分析：利用兩條直線垂直建立等式，然后求解。解答：因為兩條直線垂直，所以（負(fù)舍）2、求離心率的取值范圍求離心率的取值范圍關(guān)鍵是建立不等關(guān)系。（1）直接根據(jù)題意建立的不等關(guān)系求解的取值范圍。例3若雙曲線（），則雙曲線離心率的取值范圍是_________.分析：注意到的條件解答：（2）利用平面幾何性質(zhì)建立不等關(guān)系求解的取值范圍。例4雙曲線的兩個焦點為，若為其上非頂點的一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為__________.分析：由雙曲線上非頂點的點和兩個焦點構(gòu)成三角形，利用三角形性質(zhì)構(gòu)建不等式。解答：因為，而，又因為三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，，所以。（3）利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立不等關(guān)系求解的取值范圍。例5已知雙曲線的左，右焦點分別為，點P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線離心率e的取值范圍是__________.分析：此題和上題類似，但也可以換一種辦法找不等關(guān)系。解答：由可得，又因為點P在雙曲線的右支上，，即，所以.（4）運用數(shù)形結(jié)合思想建立不等關(guān)系求解的取值范圍。例6雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是______分析：由直線和雙曲線的位置關(guān)系得到不等關(guān)系解答：由圖象可知漸近線斜率，再由。（5）運用函數(shù)思想求解的取值范圍。例7設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是________.分析：把離心率表示成關(guān)于的函數(shù)，然后求函數(shù)的值域解答：把或表示成關(guān)于的函數(shù)，，然后用求函數(shù)值域的方法求解，。小結(jié)：通過以上例題，同學(xué)們應(yīng)該體會到求離心率的值或取值范圍有很多種辦法，求值不一定非要先求出的值，能夠得到中某兩者的關(guān)系即可；求取值范圍關(guān)鍵就是找到不等關(guān)系建立不等式，不等關(guān)系可以來自已知條件、可以來自圖形特點、也可以來自雙曲線本身的性質(zhì)?？傊?，要認(rèn)真審題、分析條件，巧解離心率。練習(xí)：（1）設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3解：設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，焦點F(－c,0)，將x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可得y2＝eq\f(b4,a2)，所以|AB|＝2×eq\f(b2,a)＝2×2a，∴b2＝2a2，答案：B（2）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為()．A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±x解：由題意可知，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，又離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x.答案：C（3）雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，點P在第一象限內(nèi)且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，則雙曲線的離心率是()．A.eq\r(5)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)圖1解：如圖1，由l2⊥PF1，l2∥PF2，可得PF1⊥PF2，則|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，圖1設(shè)點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(b,a)m))，則eq\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)m))2)＝eq\f(c,a)m＝c，解得m＝a，即得點P的坐標(biāo)為(a，b)，則由KPF2＝eq\f(b,a－c)＝－eq\f(b,a)，可得2a＝c，即e＝eq\f(c,a)＝2.答案：B（4）若雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的離心率為eq\r(5)，則m的值為________．解：由題意，雙曲線的焦點在x軸上，所以e＝eq\f(\r(m2＋m＋4),\r(m))＝eq\r(5)，所以m＝2.答案：2圖2（5）如圖2，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點．若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是___．圖2A．3B．2 C.eq\r(3) D.eq\r(2)解:設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a\o\al(2,1))－eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1，橢圓的方程為eq\f(x2,a\o\al(2,2))＋eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1，由于雙曲線與橢圓有公共焦點且M，O，N將橢圓長軸四等分，所以a2＝2a1，又e1＝eq\f(c,a1)，e2＝eq\f(c,a2)，所以eq\f(e1,e2)＝eq\f(a2,a1)＝2.答案：2（6）設(shè)點P在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支上，雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是________．解：由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a又|PF1|＝4|PF2|，所以4|PF2|－|PF2|＝2a，|PF2|＝eq\f(2,3)a，|PF1|＝eq\f(8,3)a，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)a≥c＋a，,\f(2,3)a≥c－a，))整理得eq\f(5,3)a≥c，所以eq\f(c,a)≤eq\f(5,3)，即e≤eq\f(5,3)，又e＞1，所以1＜e≤eq\f(5,3).答案：（7）已知點F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為________．解：由題意知，△ABE為等腰三角形．若△ABE是銳角三角形，則只需要∠AEB為銳角．根據(jù)對稱性，只要∠AEF<eq\f(π,4)即可．直線AB的方程為x＝－c，代入雙曲線方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，則|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<eq\f(π,4)，即eq\f(b2,a)<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案：(1,2)（8）如圖3，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若|MF2|＝|F1F2|，求C的離心率.圖3解：依題意，知直線F1B的方程為y＝eq\f(b,c)x＋b，圖3聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x＋b，,\f(x,a)－\f(y,b)＝0，))得點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,c－a)，\f(bc,c－a)))，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x＋b，,\f(x,a)＋\f(y,b)＝0，))得點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ac,c＋a)，\f(bc,c＋a)))，所以PQ的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2c,b2)，\f(c2,b))).所以PQ的垂直平分線方程為y－eq\f(c2,b)＝－eq\f(c,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2c,b2))).令y＝0，得x＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b2)))，所以ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b2)))＝3c.所以a2＝2b2＝2c2－2a2，即3a2＝2c2.所以e＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)（9）雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F(c,0)．以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－eq\r(3)，求雙曲線的離心率．解：設(shè)點A的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴直線AO的斜率滿足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，∴x0＝eq\r(3)y0，①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程，得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，∴x0＝eq\f(\r(3),2)c，∴點A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(c,2)))，代入雙曲線方程，得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，∴3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝eq\r(2).∴雙曲線的離心率為eq\r(2).答案：eq\r(2)（10）如圖4，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.求①雙曲線的離心率e；②菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值eq\f(S1,S2).圖4解：①由題意可得a=eq\r(b2＋c2)＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e