專題02 與三角形有關(guān)的角（知識(shí)串講+7大考點(diǎn)）原卷版

專題02與三角形有關(guān)的角考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）三角形內(nèi)角（和）（1）內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。（2）推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。（二）三角形外角（1）概念：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角（2）性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。（3）三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：①三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；②三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。（三）三角形內(nèi)、外角角平分線模型如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A．考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：三角形內(nèi)角和定理的證明典例1：（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”時(shí)，飛翔班的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的是（

）A．延長(zhǎng)BC至D過C作CE∥AB B．過A作DE∥BCC．過D作DE∥BC D．過P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【變式1】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．已知：△ABC的三個(gè)內(nèi)角為∠A，∠B，∠C．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證法1證法2如圖1，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，則∠ACD=∠A+∠B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．∵∠ACD+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．如圖2，過點(diǎn)C作DE∥AB，∵DE∥∠2=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角定義），∴∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代換）．下列說法正確的是（

）A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理B．證法1用合理的推理證明了該定理C．證法2還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明過程才完整D．證法2用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理【變式2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤缦聢D所示，能利用圖中作法：過點(diǎn)A作BC的平行線，證明三角形內(nèi)角和是180°的原理是（

）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【變式3】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內(nèi)角和是180°”的有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)2：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用——平行線典例2：（2023春·安徽黃山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°，給出以下結(jié)論：①∠2=∠EAB；②AC平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1】（2023·湖北荊門·校聯(lián)考一模）如圖，直線l1∥l2，∠1=40°，A．70° B．65° C．60° D．55°【變式2】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2=30°，則AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則∠2=30°；④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【變式3】（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分別是BA,CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB//CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)3：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用——角平分線典例3：（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點(diǎn)G，則下列結(jié)論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠A；A．2 B．3 C．4 D．5【變式1】（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點(diǎn)G，則下列結(jié)論①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠DFB=12∠A；④∠ADC=∠GCD；⑤CAA．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【變式2】（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面結(jié)論：①△ABE的面積=△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【變式3】（2022春·重慶榮昌·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝70°，∠DAB的平分線交CD于點(diǎn)M，連接BM，若∠CBM＝38°，則∠AMB的度數(shù)是（）A．51 B．73 C．75 D．90考點(diǎn)4：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用——折疊問題典例4：（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED內(nèi)點(diǎn)A'的位置∠A=35°，則∠1+∠2的度數(shù)是（

A．80° B．70° C．45° D．35°【變式1】（2022秋·貴州黔西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，將∠B，∠C按如圖方式折疊，點(diǎn)B，C均落在BC邊上的點(diǎn)G處，線段MN，EF為折痕．若∠A=85°，則∠MGE的度數(shù)為（

）A．45° B．55° C．85° D．95°【變式2】（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、A．22° B．21° C．20° D．19°【變式3】（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，將四邊形沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若∠1=∠2=44°A．66° B．104° C．114° D．124°考點(diǎn)5：三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用典例5：（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，分別將三角板ABC與ADE的一邊AB與AE放置在直線l上，邊AC與AD所在直線重合．現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三角板ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)AB與AE第一次重合時(shí)，三角板停止運(yùn)動(dòng)．在旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)AB與DE垂直時(shí)，∠BAE=150° B．當(dāng)BC與DE平行時(shí)，∠BAE=120°C．當(dāng)AC與DE垂直時(shí)，∠BAE=60° D．當(dāng)BC與AE平行時(shí)，∠BAE=45°【變式1】（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，從A點(diǎn)發(fā)出的光線AB，AD經(jīng)平面鏡l反射后得到反射光線BC，DE，m，n為法線，設(shè)∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之間的數(shù)量關(guān)系是（

）A．α+β=γ B．2α+β=γ C．α+2β=γ D．α+2β=2γ【變式2】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°．當(dāng)∠MAC為（

）度時(shí)，AM與CB平行．A．55 B．65 C．75 D．80【變式3】（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準(zhǔn)備在B和C處開工挖出“V”字形通道，如果∠DBA=120°，∠ECA=125°，則∠A的度數(shù)是（）A．65° B．80° C．85° D．90°考點(diǎn)6：直角三角形的兩個(gè)銳角互余典例6：（2023春·安徽·七年級(jí)期中）如圖，直線a∥b，△ABC是直角三角形，∠C=90°，頂點(diǎn)A在直線b上，邊AB交直線a于點(diǎn)D，邊BC交直線a于點(diǎn)E，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為()A．100° B．105° C．110° D．120°【變式1】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）將含30°角的直角三角板ABC如圖放置，使其三個(gè)頂點(diǎn)分別落在三條平行直線上，其中∠ACB=90°．若∠1=50°，則∠ABQ的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．150° D．160°【變式2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）一副三角形板如圖放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，則∠ABD的度數(shù)為（A．5° B．15° C．20°【變式3】（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶市南渝中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，若∠B=48°，∠C=68°，則∠DAE的度數(shù)是（）A．10° B．12° C．14° D．16°考點(diǎn)7：三角形外角的定義與性質(zhì)典例7：（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CD，∠B=72°，∠D=48°，則∠F的度數(shù)是（

）A．24° B．30° C．40° D．60°【變式1】（2023·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD∥EF，直線AB與直線CD,EF分別相交于點(diǎn)G，H，GM平分∠CGH交EF于點(diǎn)M．若∠GME=150°，則∠GHF的度數(shù)為（A．100° B．80° C．60° D．50°【變式2】（2022秋·云南德宏·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線，若∠B:∠BAC=2:3，∠C=60°，則∠ADB的度數(shù)為（A．96° B．100° C．106° D．110°【變式3】（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，l1∥l2A．∠α+∠β-∠γ=180° B．∠α+∠β+∠γ=180° C．∠α+∠β=2∠γ D．∠α+∠β=∠γ考點(diǎn)8：三角形內(nèi)外角角平分線規(guī)律典例8：（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC,∠ACB，且∠BIC=140°，BM,CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角，則∠BMC的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．35° D．40°【變式1】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點(diǎn)；P2是△BP1C的內(nèi)角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CA．2° B．4° C．8° D．16°【變式2】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠AOB=125°，則∠CAD的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．45° D．50°【變式3】（2023秋·黑龍江·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，則∠BDC=（）A．45° B．60° C．50° D．無法確定同步過關(guān)一、單選題1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長(zhǎng)ED交AC于F，那么圖中∠AFE的度數(shù)是（

）度．A．75 B．90 C．100 D．1052．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BC⊥AE于點(diǎn)C，CD//AB，∠B=60°，則∠ECD的度數(shù)是（A．25° B．30° C．35° D．40°3．（2022秋·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（

）A．135° B．145° C．150° D．165°4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE，DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B，C，已知∠DBA+∠DCA=50°，則∠A的度數(shù)是（

）A．50° B．40° C．45° D．44°5．（2023·浙江杭州·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD是∠CAE的平分線，∠B=30°,∠DAE=60°，那么∠ACD等于（

）A．90° B．60° C．80° D．100°6．（2023春·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，AB∥OC，CD與OA交于點(diǎn)E，已知∠A=30°，則∠DEO的度數(shù)為（

）A．45° B．60° C．70° D．75°7．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）滿足條件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是(

)A．銳角三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定8．（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）把含有30°角的直角三角板（∠ABC=30°）如圖放置，若EF//MN，∠1=100°，則∠2=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°9．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠B=40°，∠BAD=76°，則∠C的度數(shù)為（）A．36° B．116° C．26° D．104°10．（2023·山東菏澤·中考真題）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°11．（2022春·山東東營(yíng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）給出下列命題：（1）三角形的一個(gè)外角一定大于它的一個(gè)內(nèi)角（2）若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為1：3：4，它肯定是直角三角形（3）三角形的最小內(nèi)角不能大于60°（4）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和其中真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，DE為△ABC的邊BC的垂直平分線，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．40°B．50°C．30°D．45°13．（2023·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，AC∥BD，AD與BC相交于O，∠A＝45°，∠B＝30°，那么∠AOB等于（）A．75° B．60° C．45° D．30°14．（2023秋·安徽馬鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：7，則這個(gè)三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形15．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)校考階段練習(xí)）四邊形ABCD兩組對(duì)邊AD，BC與AB，DC延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的平分線交于點(diǎn)P，∠A=64°，∠BCD=136°，則下列結(jié)論中正確的是（

）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空題16．（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）在直角三角形中，其中一個(gè)銳角是22°，則另外一個(gè)銳角是_____．17．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若直角三角形的一個(gè)銳角為15°，則另一個(gè)銳角等于________．18．（2023秋·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，且AC⊥CB于點(diǎn)C，若∠BAC=35°，則∠BCD的度數(shù)為19．（2022春·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，則∠BOC＝_____．20．（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，則∠C的度數(shù)為_____．21．（2023秋·安徽安慶·八年級(jí)校考期末）如圖，已知AB∥CD，∠A=25°，∠E=15°，則∠C等于_______.22．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分線交于點(diǎn)O，則∠AOC的度數(shù)為_________.23．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，則∠A=_________.24．（2022秋·山西大同·八年級(jí)大同市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分線的交點(diǎn)，若∠P=40°，則∠A=__________．25．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的結(jié)論有_____(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．三、解答題26．（2023秋·湖南懷化·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，直線AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于O，∠B=50°，求∠A和∠C．27．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：28．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分線，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度數(shù)．29．（2023秋·廣東·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)，HD是∠BHC的平分線，求∠ABE、∠ACF和∠CHD的度數(shù)．30．（2023·重慶·中考真題）如圖，AB∥CD，△EFG的頂點(diǎn)F，G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度數(shù)．31．（2022秋·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度數(shù)．32．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1