2021年中考數學復習 考點提分訓練-六十：相似

2021中考數學復習考點提分訓練——專題六十：相似

1.如圖，將△4SC繞點/旋轉得到△兒??當連接加，CE.

求證：△40如△HEC.

2.如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C,NDME=NA=NB=a,且DM交AC

于F,ME交BC于G.

⑴寫出圖中兩對相似三角形，并證明其中的一對;

⑵請連接FG,如果a=45°,AB=4、/5,AF=3,求FG的長.

AMB

c

1)

3.三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.如圖G是AABC的重心.求證:

AD=3GD.

4.如圖，在正方形ABCO中，點片在邊8C上（點石1不與點3重合），連接4E,過點8作

8FL4E于點F,交8于點G.

⑴求證：XABP^XBGC：

⑵若4B=2,G是CD的中點，求4戶的長.

5.如圖，在平行四邊形4BCD中，過點/向反7邊作垂線，垂足為瓦連接。瓦尸為線段

OE上一點，且N4FF=NB.

(1)求證：XADP^XDEC,

(2)若4E=6,4D=6?,AR=4y@求43的長.

6.已知：如圖，在四邊形458中，AB=AD,AC.即相交于點瓦AE-CE=DE-BE

(1)求證：XABB^XACB、

(2)如果IZMOHAB,求證：AB-EC=B&AE.

7.如圖，43為。。的直徑，。是弧8c的中點，AE,4c交4C的延長線于E,。。的切

線跳■交4D的延長線于戶.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若。E=4,。。的半徑為5.求毋■的長.

8.一塊三角形材料如圖所示，N4=30°,NC=90°,AB=12,用這塊材料剪出一個矩形

CDEF,其中點0、E、尸分別在BC、AB.AC±.設即=x,請解答下列問題:

(1)若矩形CDEF的面積為8?,求x的值；

(2)矩形CDEF的面積能否為1073?給出你的結論并說明理由.

9.如圖，點E是正方形4BCD的邊。。延長線上一點，CE=CG,連。G并延長交班于.

(1)求證：/_BGF=/_E\

(2)求證：BGBC=B?BE;

(3)連AC交DF于若點G為CB的中點，直接寫出勇的值.

10.如圖4。與CE交干B,且祟名

BDBE

(1)求證：XABCsXDBE.

(2)若/C=8,BC=6,CE=9,求。E■的長.

11.已知：如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，延長皿至點瓦使得聯結AE、

4c點尸在線段。E上，聯結3戶，分別交4G40于點G、H.

(1)求證：BG=GF;

(2)如果4C=2AB,點尸是￡出的中點，求證：Atf=GH>BH.

13.如圖，在平行四邊形中，點E在6c邊上，點尸在。C的延長線上，且N2ME

=/尸.

(1)求證：△4BEs△反才；

(2)若43=5,40=8,BE=2,求石D的長.

14.如圖，已知C是線段43上的一點，分別以4GBe為邊在線段AB同側作正方形4cOE

和正方形C5GF,點戶在8上，聯結ARBD,即與囚G交于點M點N是邊4c上的

一點，聯結及V交"1與點H.

(1)求證：AF=BD\

(2)如果翁=翳，求證：AF]_EN.

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4.點瓦尸分別在40,上，點、A與箴C

關于昉所在的直線對稱，P是邊。C上的一動點.

(1)連接4KCE,求證：四邊形石是菱形；

(2)當尸的周長最小時，求”的值.

16.如圖，△4&C中，即，4C于點。，CEj_AB于點E,BD,CE交于點戶，連接。E.

(1)求證：XABEXACR,

(2)求證：△49ESZ\4BC；

(3)若BE=CE=臟,CD=1,求。F的長.

17.如圖，在平行四邊形4BCD中，過點4作4E_L8C,垂足為E,連接￡＞瓦產為線段

OE上一點，且/4=石=/反

(1)求證：XADP^XDEC,

(2)若48=8,4D=6?,心=%/^,求4E的長.

D

B

E

18.已知一個三角形43G面積為25,的長為10,“、NC都為銳角，〃為4B邊上

的一動點(M與48不重合)，過點M作MN//BC交AC于點N,設MN=x.

(1)當x=4時，的面積=;

(2)設點4關于直線MV的對稱點為4,令MN與四邊形8CNM重疊部分的面積

為y.求了與x的函數關系式；并求當x為何值時，重疊部分的面積了最大，最大為多少？

2021中考數學復習考點提分訓練——專題六十：相似參考答案

1.如圖，將△4BC繞點/旋轉得到△4DE,連接BZ7,CE.

求證：△40如△HEC.

【答案】證明：,??將△4BC繞點4旋轉得到△4DE,

：.AC=AE,AB=AD,ACAE=/.BAD,

.AEAC

"AD=AB,

XADB^AAEC.

2.如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C,NDME=NA=NB=a,且DM交AC

于F,ME交BC于G.

⑴寫出圖中兩對相似三角形，并證明其中的一對；

⑵請連接FG,如果a=45°,AB=4、/5,AF=3,求FG的長.

【答案】

解：⑴△AMFs^BGM,△DMGsaDBM,△EMFs/\EAM等.（寫出兩對即可）

以下證明△AMFsaBGM.

由題知NA=/B=/DME=a,而/AFM=/DME+NE,

ZBMG=ZA+ZE,/.ZAFM=ZBMG,AAMFc^ABGM.

⑵當a=45°時，可得ACJ_BC且AC=BC,「M為AB中點,

.-.AM=BM=2-^2.

8

由△AMFs/\BGM得，AF-BG=AM-BM,.-.BG=-

又AC=BC=4"^cos45°=4,.'.CG=4-2=|

3.三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.如圖G是AABC的重心.求證:

AD=3GD.

【答案】

證明：連接DE,

點G是4ABC的重心，

.,.點E和點D分別是AB和BC的中點，

???DE是4ABC的中位線，

DEIIAC且DE」AC,

2

△DEGsaACG,

AGACc

——-——=2,

DGED

AG=2GD

AD=3DG,

即AD=3GD.

4.如圖，在正方形ABCD中，點E在邊上（點E不與點8重合），連接公，過點3作

于點F,交8于點G.

⑴求證：XABF^XBGC,，

⑵若AB=2,G是CD的中點，求4尸的長.

【答案】⑴

(1)??,在正方形4B8中，

/./_ABE=ABCG=^,

■：ABAE+AABF=^°,/_CBG^/_ABF=^,

：.ABAE=/_CBG,

：.XABP^XCBG:

(2)?:XAB3XCBG,

.ABBG

~AF~~BC'

-：AB=2,G是CD的中點，正方形4BCD,

：.BC=2,CG=1,

BG=YIBC2+CG2=V5，

._2_=V5

"AF2，

解得：碼2=警

5.如圖，在平行四邊形中，過點4向邊作垂線，垂足為E,連接0E,尸為線段

RE1上一點，且

(1)求證：XAD+4DEC,

(2)若公=6,AD=6M，加三收包求45的長.

【答案】證明：(1)???四邊形408是平行四邊形,

：.ADHBC,AB“CD,AB=CD,AD=BC,

：,/_ADE=/_DEC,NB+NC=180°,

?:乙AFB=/_B,/_AFE^/_AFD=\^,

:,乙C=/_AFD、

???XADP^XDEG

(2)解：\'AE_LBC9ABIICD,

：./_DAE=^,

22=22=12

DE=VAE+AD76+(6V3),

?/XADP^XDEC、

.ADAF

"DE"DC*_

,m_AF?DE4^X12

AD673

\AB=CD,

AB=8.

6.已知：如圖，在四邊形458中，AB=AD,AC.皿相交于點片AE'CE=DEBE

(1)求證：XABMMACB、

XADE^XCBE、

：,/_DAE=Z_CBE,/_ADE=/_BCE,

：AB=AD,

：.AADB=/_ABE,

：,Z_ABE=/_ACB,

t：ABAE=/_CAB.

XABE^XACB：

(2)：DA=D4DB,/_ADB=/_ADE,

XADBf^XADE,

.AB=AD

,,瓦一瓦’

XABMXACB、

?AD=DE

，，BC~EC，

;AD=DE^BC

EC

.AB_DE-BC_BC

"AE-DE*EC-EC，

：,A&EC=BOAE,

7.如圖，4B為。。的直徑，。是孤8c的中點，。石工4c交/C的延長線于E,。。的切

線BF交AD的延長線于F.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)若。萬=4,O。的半徑為5.求*'的長.

【答案】證明：(1)連接OD,BC,OD與BC相交于點G,

?.?。是弧BC的中點，

垂直平分8G

?:43為OO的直徑，

：.ACLBC,

：.ODHAE,

?：DELAC,

：.ODLDE,

???QD為。。的半徑，

?,.E>E是。。的切線；

(2)由(1)知：OD]_BC,ACVBC,DE]_AC,

.?.四邊形。ECG為矩形,

：.CG=DE=4,

:.BC=8,

的半徑為5,

：.AB=109

?■MC=VAB2-BC2=6>

OG=^AC=3,GD=2,在矩形GOEC中CE=GD=2,

.\AJS=8.

,??2?為瓠比的中點,

：.AEAD=Z.FAB,

■:BF切OO于B,

???/7^4=90°.

又...OE_L4C于石，

???NE=90°,

:.乙FBA=/_E、

XAED^XABF、

,.?BF—_AB,

DEAE

.BF_10

"~T=~3

：.BF=5.

8.一塊三角形材料如圖所示，ZA=30°,NC=90°,AB=12,用這塊材料剪出一個矩形

CDEF,其中點。、E、尸分別在BC、AB.AC±.設及&x,請解答下列問題：

(1)若矩形8所的面積為外巧，求x的值；

(2)矩形皿印的面積能否為10??給出你的結論并說明理由.

【答案】解：（1）■.-ZA=30°,ZC=90°,48=12,EF=x,四邊形CDEF為矩形,

：.Z_AFE=90°,AE—2x,AF=?（2x）2-x2=

同理：AC=6y/2,

:-CF=6M-y^>

?.?矩形CDEF的面積為8加，

（6^/3=8?,

解得：x=2或4;

故x的值為2或4;

（2）不能，

理由是：由（1）知：S矩形a>Ep=xJ"§x）

若S矩形CDEF=10A/^,即x（6j§—=10-y3，

即JS2—6x+10=0,

VA=62-4X1X10=-4<0,

,此方程無解，

故矩形面積不能為1073?

9.如圖，點石是正方形4BCD的邊。。延長線上一點，CE=CG連OG并延長交班于.

(1)求證：(BGF=(E;

(2)求證：BGBC=B?BE;

(3)連/C交。戶于電若點G為CB的中點，直接寫出里的值.

GF

【答案】(1)證明：,??四邊形ABCD是正方形,

：.DC=BC,乙DCB=S0,

:"ECB=90°,

在△BCE和△OGG中

rBC=DC

<ZBCE=ZDCG

CE=CG

XBCE^XDCG(&45),

/./E=/DGC=/BGF\

(2)證明：?：/.E=Z.BGF,/_GBF=LEBC,

/.△BGF^XBGF,

.BG=BF

'BE-BC

:.BGBC=B"BE;

(3)解：???◎為BC的中點，CG=CE,

:,BC=2CG=2CE,

?：△BGP^XBEC,

.GF=CE=1

"BF-BC-'2，

設GF=k,BF=2k,

則CG=BG=y]^2-^F2=yl(2k)2+k2=V5^>

AD=DC=BC=2yj~^k,

DG=VDC24CG2=Y(2泥k產+(倔)2=5匕

???四邊形ABCD是正方形，

：.ADIIBC,

：.l\CHG^XAHD、

.CG=GH=1

…而一而-5'

5

=

GH--ky

R

.HG_yk_5

GF乎3

k

10.如圖4?與CE交千B,且組0.

BDBE

(1)求證：XABSXDBE.

(2)若/C=8,BC=6,CE=9,求DE1的長.

二f\ABC<^/\DBE\

(2)?:XABSXDBE,

.DEBE

'AC=BCJ

-.■AC=8,BC=6,CE=<),

.DE_9-6

,?-T=6'

：.DE=4.

11.已知：如圖，四邊形43co是平行四邊形，延長H4至點瓦使得聯結。E、

AC.點戶在線段￡石上，聯結麻；分別交4G4?于點G、H.

(1)求證：BG=GF;

(2)如果74c=2AB,點尸是￡石的中點，求證：AJFf=GFPBH.

【答案】證明：(1)?.?四邊形438是平行四邊形,

：.AB=CD,ABHCD,

■：AB=AE,

/-AE=CD,

二.四邊形4CDE是平行四邊形，

：.ACIIDE,

.BGAB?

GFAE

:.BG=GF,

(2)\'AB=AE,

1?BE=2AE,

\'AC=2AB,

BE'=-ACy

四邊形ACDE是平行四邊形，

.\AC=DE9

:.DE=BE,

,??點戶是。E的中點,

:.DE=2EF,

：.AE=EF,

:DE=BE,/_E=乙E、AE=EF,

：./\BEP^/\DEA(&45),

：,/_EBF=Z_EDA,

：ACIIDE,

:.乙GAH=/_EDA.

:.乙EBF=/_GAH.

?:乙AHG=/LBHA,

???XAHEXBHA,

.AH#

,'BH=AH'

13.如圖，在平行四邊形中，點石在3c邊上，點尸在。C的延長線上，且NAa

(1)求證：XABE^XECF、

(2)若43=5,40=8,BE=2,求R?的長.

,D

5/人、

F

【答案】(1)證明：???四邊形4B8是平行四邊形，

：.AB1/CD,ADUBC,

：./_B=/_ECF,/_DAE=/_AEB.

又?：乙DAE=乙F,

：./_AEB=Z_F.

：.XAB取小ECF1

(2)解：,:XABESXECF,

■,EC-CF*

??,四邊形/BCD是平行四邊形，

：.BC=AD=%.CD=AB=5,

：.EC=BC-BE=8-2=6.

.”=2

"6CF'

■-CF=1^9,

b

37

：.FD=CmCF=—

5

14.如圖，已知。是線段4B上的一點，分別以/GBC為邊在線段48同側作正方形4CDE

和正方形CBGF,點尸在8上，聯結ARBD,BD與FG交于氤M,點N是邊4C上的

一點，聯結EN交4戶與點

(1)求證：AF=BD-,

(2)如果黑="，求證：AFVEN.

ACGF

【答案】解：（1）?.?四邊形/8E和四邊形BCFG都為正方形,

：.AC=DC,AACD=Z.BCD=W°,BC=CF,

在△4R7和△ABC中，

"AC=DC

<ZACF=ZDCB,

CF=CB

：.l\AFC&l\DBC($4S).

：.AF=BD.

(2),:△AFSXDBC,

：.zCAF=zCDB,

：CDIIBG,

：./_CDB=/_MBG,

：./_CAF=/_MBG,

■：/_ACF=/_BGM=^,

XBGM^XACF,

.GMCF

"BG=AC,

：BG=GF=FC,

.GM=FC

"GF-ACs

..迎=映

'AC-GF，

：.AN=FC,

在△4EN和△C4戶中,

'AN=CF

<ZEAN=ZACF=90°

AE=AC

/\AENaXCAF(&45),

：.￡ENA=/.AFC,

■：AFAC+Z.AFC^Q°,

：.Z.FAC+AJSNA=90°,

/.ZAHZV=90°,

：.AFLEN.

15.如圖，在矩形/BCD中，AB=2,AD=4.點E,尸分別在4D,8c上，點力與點C

關于郎所在的直線對稱，P是邊。C上的一動點.

(1)連接4"，CE,求證：四邊形心由是菱形;

(2)當aa即的周長最小時，求”的值.

【答案】解：(1)證明：如圖，連接/CE,4c交所于點O

?.?四邊形ABCD是矩形

：.AB=CD,AD=BC,ADUBC

:.乙AEO=(CFO,乙EAO=LFCO

■.?點/與點C關于郎所在的直線對稱

：.AO=CO,AC]_EF

-：/_AEO=/.CFO,/_EAO=/_FCO,AO=CO

AAEO^ACFO(45)

：.AE=CF,S.AEHCF

四邊形4g是平行四邊形，

^-：AC]_EF

二四邊形AR2是菱形;

(2)如圖，作點戶關于8的對稱點H,連接即交8于點P,此時△密的周長最小

?.?四邊形4FCE是菱形

：.AF=CF=CE=A￡

?；”=8#+檢

；.”=(4-AJF)2+4

：.AF=—

2

■：ADHBC

：.XDEP^XCHP

?DP_DE_3

■"CP"CH"

答：當△PE尸的周長最小時，吟的值為

^?10

16.如圖，△A3C中，即，4c于點。，CELAB于點瓦BD,CE交于氤F,連接AE

(1)求證：XABI"XACE,

(2)求證：XADE^XABC,

(3)若BE=CE=?CD=1,求。戶的長.

【答案】(1)證明；,.?BD_U4C于點。，于點E,

/_ADB=ZAEC=90°,

/.A=/_A,

XADMXAEC.

(2)證明：■:XADMXAEC,

.AD=^

"AE-AC，

.AD=AE

"AB-AC,

'：AA=AA,

：./XADE^^ABC.

(3)解：過AE作EN工ED交BD于N,過點石1作EAfLDN于M.

在中，■：BE=EC=-^),ABEC=S)Q°,

:.BC=?E=K，ABCF=45°,

皮?C=90°,

22=

-**BD=7BC-CDV10-1=3，

■:乙EFB=/_DFC,乙BEF=/_CDF=S0,

：.XBFB^XCFD、

.BF=EF

，，CF-DF，

.BF=CF

**EF-DF，

、：(EFD=/_BFC,

：.t\EFEXBFC,

：./_EDF=/_BCF=\^,

VZA^D=90°,

ZEND=ZEDN=45°,

：,EN=ED,

'：ZBEC=ZNED=90°,

:"BEN=ZCED,

:BE=CE、

：.l\BEN^XCED(SAS),

:.BN=CD=1,DN=BD-BN=2,

:EN=ED、EMIDN,

:.MN=DM=1,

：,EM=MN=MD=\,

ZEMF=￡CDF=90°,乙EFM=/_CFD、EM=CD,

:.XEMF^XCDF(T1245),

:.MF=DF,

：.DF=—.

2

A

17.如圖，在平行四邊形488中，過點Z作4E，8G垂足為E,連接。瓦尸為線段

。石上一點，且/Z7石=/反

(1)求證：XADP^XDEC、

(2)若40=8,49=6?,AF=4yf39求4&的長.

E

【答案】(1)證明：??,四邊形408是平行四邊形,

：,ADIIBC,ABIICD,

：./_ADF=LCED,N8+/C=180°;

/_AFE+/_AFD=\^°,NAJFE=",

:.(AFD=(C,

/.4ADF^4DEC,

(2)解：???四邊形是平行四邊形，

「?DC=-AB=,8.

,/4ADF^4DEC,

.AD=AF即巨星延.

"DEDCDE8'

；,DE=12.

:ADIIBC,AE\_BC,

.\AE1_AD.

在中，Z