logisic生長模型的適用性研究

logisic生長模型的適用性研究

1沉降預測模型地質(zhì)勘探是巖石工程領域的研究主題之一。由于影響因素的復雜性及參數(shù)選取的問題，基于固結理論計算的沉降計算值往往與實測值有較大的差異，因此，有必要從前期的沉降數(shù)據(jù)預測后期沉降及最終沉降量。目前，常用的方法有雙曲線法、指數(shù)曲線法，而雙曲線法和指數(shù)曲線法僅適合施工加載情況下的沉降預測。近年來，Logistic生長（即verhulst）預測模型由于能較好地反映全過程的沉降量與時間的關系，得到了越來越多的應用；但在應用Logistic生長模型時，較少考慮模型的適用范圍和預測精度等問題。本文結合工程實例比較了模型參數(shù)估計的各種方法，并根據(jù)混沌理論，研究了Logistic生長模型的預測性能。2地質(zhì)勘探的邏輯生長模型及其特征2.1logistic模型Logistic生長模型（以下簡稱Logistic模型）是一種生長模型，該模型又被稱為Verhulst-Pearl模型。它在生態(tài)學、人口學等領域得到廣泛應用。Logistic模型的微分形式為式中s為種群大??；t為時間；a為瞬時增長率；K為環(huán)境容納量。式（1）的解，即Logistic模型的積分形式為式（2）所表示是一條S形曲線，被稱為Logistic曲線或Pearl曲線，它反映了事物發(fā)生、發(fā)展、成熟，并趨于飽和（極限）的過程。式（2）中c為待求參數(shù)。2.2沉降速率根據(jù)土力學理論，地基的總沉降分為：瞬時沉降、固結沉降和次固結沉降三部分。由于瞬時沉降的存在，沉降曲線不通過原點。固結沉降和次固結沉降隨著荷載和時間的變化而變化，可分為以下幾個階段：(1）沉降量近乎線性增加階段在剛加載時，土體尚處于彈性狀態(tài)，隨著荷載的增加，沉降量近乎線性增加；(2）沉降速率不斷增加階段隨著荷載的不斷加大，土體的沉降量和沉降速率不斷增加；(3）沉降速率遞減階段當加載不再增加時，由于固結尚未完成以及土體的流變，沉降量將繼續(xù)增加，但沉降速率遞減；(4）沉降趨于穩(wěn)定階段從上述地基沉降的過程來看，它與Logistic模型（曲線）所描述的規(guī)律非常相似，因此，可以用Logistic模型來預測地基沉降隨時間的變化規(guī)律。本文主要應用Logistic曲線來預測地基沉降量，此時式（2）中各參數(shù)的含義分別為：s為沉降量；t為時間；a為瞬時沉降速率；K為最終沉降量；c為待求參數(shù)。3其他研究中的問題3.1c需要估計模型Logistic曲線含有的3個未知參數(shù)K,a,c需要估計，文獻使用三段和法估計模型的參數(shù)；文獻使用灰色模型求解法估計模型的參數(shù)，而本文將在三段和法基礎上，采用非線性回歸法估計模型參數(shù)。(1）適當融入三等分n,nf三段和法要求t是等間隔的，設樣本為(tj,sj),j=,1,2,n，按順序分為三等分，令r=int(n/)3，若n>3r，可適當舍棄1～2個數(shù)。設通過一定的變換，可得Logistic曲線的參數(shù)估計：三段和法只適合3的倍數(shù)的觀測點數(shù)的沉降預測。(2）灰色建模方法該方法按照灰色系統(tǒng)建模方法，對Logistic模型的微分形式進行求解。以累加的s)1(數(shù)據(jù)為基礎的Logistic模型為按照灰色建模的方法式中將參數(shù)a,b代入式（8），解微分方程可得用灰色建模方法建立的Logistic模型具有一次性確定所有參數(shù)的優(yōu)點，用該方法建立的模型往往被稱為灰色Verhulst模型。此求解方法由于計算簡便，在許多文獻中得到應用，但是部分文獻在應用灰色Verhulst模型時，沒有注意其適用范圍。應用灰色建模方法來求解，具有一定的局限性，其進行預測的前提是原始數(shù)據(jù)序列變化速度不能很快。當模型參數(shù)a較小時，由偏差導致的誤差較小，在一定的預測精度范圍內(nèi)，模型可以使用；當模型參數(shù)a較大時，由偏差導致的誤差較大，模型失效，此時不能使用該模型。本文在工程實例中將進一步說明該問題。(3）gauss-toll迭代算法首先，用三段和法求得Logistic曲線的3個參數(shù)的初始值K0,a0,c0；然后，用Gauss-Newton迭代算法求得各參數(shù)的最優(yōu)估計。此方法可以獲得Logistic模型參數(shù)的最小二乘無偏性估計。GaussNewton迭代算法可參見文獻。3.2logistic模型Logistic模型的微分形式反映的是非線性系統(tǒng)，可用非線性科學中混沌理論研究Logistic模型的非線性特性。混沌現(xiàn)象是在1963年被美國氣象學家Lorenz發(fā)現(xiàn)的。混沌是確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性。混沌理論研究表明：混沌可以短期預測，而不能長期預測。下面利用混沌理論研究Logistic模型的預測性能。如上所述，地基的全過程沉降量可用Logistic模型描述，即把式（12）寫成差分形式，并取?t=1,有式（15）為一維Logistic映射，取λ∈,x∈1時，模型有意義。Logistic模型的動態(tài)行為有三方面的特性：(1）定態(tài)當0≤λ≤1，即-1≤a≤0時，對于n→∞時，xn→0，即sn→0。因此，Logistic模型實際應用于沉降預測時，a必須大于0。當1≤λ≤3，即0≤a≤2時，經(jīng)過迭代出現(xiàn)不動點即最終沉降量sn=K時，不動點是穩(wěn)定的。此時推求的最終沉降量是穩(wěn)定的。(2）周期當λ>3時，即a>2時，不動點失穩(wěn)，出現(xiàn)了周期為2,4,6，……等周期化序列，模型具有周期特性。(3）混沌當λ≥3.569945672，模型進入混沌。當模型進入混沌區(qū)時，在應用該模型進行地基預測時，由于參數(shù)取值位于混沌區(qū)內(nèi)，且初始值和計算過程總存在不可避免的誤差，由混沌定義，在進行多步預測之后得到的結果已無任何實際意義。因此，在利用Logistic模型預測地基沉降量，所求解的參數(shù)a的取值范圍在之內(nèi)，預測的最終沉降量是穩(wěn)定的。對于Logistic曲線，令t=1,2,…,n時，可得到一離散序列{s(k)}，可以證明該序列的倒數(shù)增量比此時稱{s(k)}為倒指數(shù)序列。一般情況下，對于實測的沉降量序列{s(k)}并不是倒指數(shù)序列，D(k)不會恒為常數(shù)，而在一定的范圍內(nèi)波動。顯然，D(k)波動越大，Logistic曲線預測精度越低。因此，可用D(k)來判斷Logistic曲線的預測性能。當a取值范圍在之內(nèi)，即實測沉降序列的D(k)在（e-2,1）之間時，用Logistic模型預測的地基最終沉降量是穩(wěn)定的。D(k)波動越小時，Logistic模型預測精度越高。3.3沉降觀測的最終沉降量根據(jù)所建的Logistic模型式（2），當t無限增大時，模型計算值趨于極限K。根據(jù)“最終沉降量”的定義，其極限K是最終沉降量。用Logistic模型推算最終沉降量時，需要加載結束后的沉降觀測值，即曲線的拐點后的沉降觀測值。這樣，得到的值才比較準確。4非線性回歸法預測效果時好時壞的原因分析本文選擇2個實例用上述方法進行分析。實例1.美國休斯頓貝殼廣場大廈的筒體基底的某點實測沉降量與時間的關系如表1所示。實例2.某新建15層高層住宅建筑，采用樁-箱基礎，箱基埋深6.0m，基礎底板厚1.2m。沉降觀測結果如表2所示。分別用上文中所提的三種方法對實例1,2的數(shù)據(jù)進行9點預測，預測結果如圖1所示。由圖可見，實例2中非線性回歸法和灰色求解法預測效果較好，三段和法預測效果較差；實例1中非線性回歸法預測效果最好，灰色求解法和三段和法預測效果較差。下面分析灰色求解法預測效果時好時壞的原因。實例1的沉降序列數(shù)據(jù)變化急劇，模型參數(shù)a較大，由模型偏差導致的誤差較大；實例2的沉降序列數(shù)據(jù)變化平緩（低增長指數(shù)情況）時模型偏差很小，由偏差導致的誤差較小。因此，建議采用非線性回歸估計Logistic模型的參數(shù)，用來預測地基沉降量。實例1的非線性回歸法估計的參數(shù)為K=12.7826,c=28.4757,a=0.6352；實例2非線性回歸法估計的參數(shù)為K=38.3016,c=17.8435,a=0.4892。實例1和實例2的Logistic模型的參數(shù)a均小于1，因此，所建立的Logistic模型具有定態(tài)特性，模型預測的最終沉降量是穩(wěn)定的。圖2為實例1和實例2的D(k)序列與時間的關系，從圖中可見，實例1的D(k)序列波動比實例2大，因此，采用Logistic模型預測實例1和實例2的地基沉降量，實例2的預測效果要好于實例1。圖3表示實例1的不同實測點數(shù)對預測最終沉降量的影響。由圖可知，4點預測的最終沉降量偏差較大，6點預測、8點預測、9點預測預測的最終沉降量偏差較小。分析表1數(shù)據(jù)可知，拐點（加荷結束處，對應沉降速率最大點）位于6、7點之間。因此，用Logistic模型預測最終沉降量，通常只要知道加載完成后（曲線的拐點后）的沉降觀測值，否則，得到的結果偏差較大。5采用非線性回歸法估計活性系統(tǒng)基沉降量(1）常用的灰色Verhulst模型有一定的使用范圍。當實測的沉降序列變化速度較快，模型參數(shù)a較大時，由偏差導致的誤差較大，模型失效，此時不能使用該模型。(2）建議采用非線性