2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試二試試題及詳細(xì)解析（解析版）

PAGE2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題參考答案一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）設(shè)集合，集合.則集合中所有元素的和為.【答案】-5【解析】易知，當(dāng)時，，有；而當(dāng)時，，有.因此，根據(jù)的定義可知.所以，集合中所有元素的和為-5.在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，滿足，是拋物線的焦點..【答案】2.在中，已知，,則的值為.【答案】11.【解析】由于，所以，故.已知正三棱錐底面邊長為1，高為，則其內(nèi)切球半徑為.【答案】【解析】如圖，設(shè)球心在面與面內(nèi)的射影分別為和，中點為，內(nèi)切球半徑為，則共線，共線，，且,，,,于是有，解得.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)滿足：對任意，有.則的最大值為.【答案】.從1,2，…，20中任取5個不同的數(shù)，其中至少有兩個是相鄰數(shù)的概率為.【答案】【解析】設(shè)取自1,2，…，20，若互不相鄰，則，由此知從1,2，…，20中取5個互不相鄰的數(shù)的選法與從1,2，…，16中取5個不同的數(shù)的選法相同，即種.所以，從1,2，…，20中任取5個不同的數(shù)，其中至少有兩個是相鄰數(shù)的概率為.若實數(shù)滿足，則的取值范圍是.【答案】.【解析】令，，此時，且條件中等式化為，從而滿足方程 .如圖所示，已知數(shù)列共有9項，其中，且對每個，均有則這樣的數(shù)列的個數(shù)為.【答案】491【解析】令，則對每個符合條件的數(shù)列有，且. eq\o\ac(○,1)反之，由符合條件eq\o\ac(○,1)的8項數(shù)列可唯一確定一個符合題設(shè)條件的9項數(shù)列.記符合條件eq\o\ac(○,1)的數(shù)列的個數(shù)為.顯然中有偶數(shù)個，即個；繼而有個2，個1.當(dāng)給定時，的取法有種，易見的可能值只有0,1,2，所以.因此，根據(jù)對應(yīng)原理，符合條件的數(shù)列的個數(shù)為491.二、解答題（本大題共3個小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）9.（本題滿分16分）給定正數(shù)數(shù)列滿足，，這里.證明：存在常數(shù),使得，.【證明】當(dāng)時，等價于. eq\o\ac(○,1)對常數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：，.eq\o\ac(○,2)時結(jié)論顯然成立.又.對，假設(shè)，，則由eq\o\ac(○,1)式知，所以，由數(shù)學(xué)歸納法知，eq\o\ac(○,2)式成立.10.（本題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，分別為橢圓的左、右頂點，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上不同于和的任意一點.若平面中兩個點滿足，,,，試確定線段的長度與的大小關(guān)系，并給出證明.故，于是. 根據(jù),，同理可得. 因此，由于，故（其中等號成立的充分必要條件是，即點為）.11.（本題滿分20分）求所有的正實數(shù)對，使得函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，有.【解析】已知條件可轉(zhuǎn)化為：對任意實數(shù)，有. eq\o\ac(○,1)先尋找所滿足的必要條件.在eq\o\ac(○,1)式中令，得，即對任意實數(shù)，有.由于，故可取到任意大的正值，因此必有，即.在eq\o\ac(○,1)式中再令，得，即對任意實數(shù)，有. eq\o\ac(○,2)將eq\o\ac(○,2)的左邊記為，顯然（否則，由可知，此時，其中，故可取到負(fù)值，矛盾），于是對任意取非負(fù)值.事實上，在eq\o\ac(○,3)成立時，有，，，再結(jié)合，可得綜上所述，所求的正實數(shù)對全體為.2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試試題參考答案一、（本題滿分40分）如圖，是圓的一條弦，為弧內(nèi)一點，E、F為線段上兩點，滿足.連接并延長，與圓分別相交于點.求證：【證明】連接AD，BC，CF，DE.由于AE=EF=FB，從而. eq\o\ac(○,1) 同樣. eq\o\ac(○,2) eq\o\ac(○,4)故由eq\o\ac(○,3)，eq\o\ac(○,4)得,即. 二、（本題滿分40分）給定正整數(shù).數(shù)列定義如下：，對整數(shù)，記.證明：數(shù)列中有無窮多項是完全平方數(shù).【證明】對正整數(shù)，有， 所以. 設(shè)，其中是非負(fù)整數(shù)，是奇數(shù).取，其中為滿足的任意正整數(shù)，此時，注意到是奇數(shù)，故，所以，是完全平方數(shù).由于有無窮多個，故數(shù)列中有無窮多項是完全平方數(shù).三、（本題滿分50分）一次考試共有道試題，個學(xué)生參加，其中為給定的整數(shù).每道題的得分規(guī)則是：若該題恰有個學(xué)生沒有答對，則每個答對該題的學(xué)生得分，未答對的學(xué)生得零分.每個學(xué)生得總分為其道題的得分總和.將所有學(xué)生總分從高到低排列為，求得最大可能值.【解析】對任意的，設(shè)第題沒有答對者有人，則第題答對者有人，由得分規(guī)則知，這個人在第題均得到分.設(shè)個學(xué)生得得分之和為S，則有.因為每一個人在第道題上至多得分，故. 由于，故有.所以綜上所述，的最大值為. 四、（本題滿分50分）設(shè)為大于1的整數(shù)，.證明：存在個不被整除的整數(shù)，若將它們?nèi)我夥殖蓛山M，則總有一組若干個數(shù)的和被整除.【證明】先考慮為2的冪的情形.設(shè)，則.取3個及個1，顯然這些數(shù)均不被整除.將這個數(shù)任意分成兩組，則總有一組中含2個，它們的和為，被整除.現(xiàn)在設(shè)不是2的冪，取個數(shù)為，因為不是2的冪，故上述個數(shù)均不被整除.若可將這些數(shù)分成兩組，使得每一組中任意若干個數(shù)的和均不能被整除.不妨設(shè)1在第一組，由于（-1）+1=0，被整除，故兩個-1必須在第二組；因（-1）+（-1）+2=0，被整除，故2在第一組，進而推出-2在第二組.現(xiàn)歸納假設(shè)均在第一組，而均在第二組，這里，由于，被整除，故在第一組，從而在第二組.故由數(shù)學(xué)歸納法可知，在第一組，在第