高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題8.5 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（重難點(diǎn)題型精講）（教師版）

專題8.5簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（重難點(diǎn)題型精講）1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積3．空間幾何體表面積與體積的常見(jiàn)求法(1)常見(jiàn)的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問(wèn)題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，再相加或相減.4．球的截面(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過(guò)球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.5．幾何體與球的切、接問(wèn)題常見(jiàn)的與球有關(guān)的組合體問(wèn)題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：【題型1多面體的表面積與體積】【方法點(diǎn)撥】求解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積時(shí)，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體積計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國(guó)現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個(gè)正四棱錐，如圖2，已知正四棱錐P?ABCD的高為4.87m，其側(cè)棱與高的夾角為45°，則該正四棱錐的體積約為（

）4.87A．231m3 B．179m3 C．【解題思路】設(shè)正四棱錐P?ABCD的底面邊長(zhǎng)為am，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，易得PO⊥平面ABCD，∠CPO=45°，再根據(jù)高為4.87m求解.【解答過(guò)程】解：如圖所示：設(shè)正四棱錐P?ABCD的底面邊長(zhǎng)為am，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，由題可得∠CPO=45°，故PO=CO=22a解得a=4.87×2所以該正四棱錐的體積V=1故選：D.【變式1-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在CCA．V28 B．V21 C．3V28【解題思路】先找到三棱錐D1?ADC與三棱錐E?BCD的公共部分，設(shè)DE，D1C交于點(diǎn)F，AC，BD交于點(diǎn)G，連接FG，則三棱錐F?CDG就是三棱錐D1?ADC與三棱錐E?BCD的公共部分．再推出點(diǎn)F到平面ABCD的距離是點(diǎn)【解答過(guò)程】如圖，設(shè)DE，D1C交于點(diǎn)F，AC，BD交于點(diǎn)G，連接FG，則三棱錐F?CDG就是三棱錐D1因?yàn)镃E=3EC1，所以D1設(shè)點(diǎn)D1到平面ABCD距離為?，則點(diǎn)F到平面ABCD的距離是3又S△CDG=14S四邊形ABCD故選：A．【變式1-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面的面積為10，該側(cè)面與其相對(duì)側(cè)棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（

）A．30 B．15 C．10 D．60【解題思路】通過(guò)補(bǔ)體，兩個(gè)斜三棱柱組成一個(gè)四棱柱，求四棱柱的體積，斜三棱柱的體積是四棱柱的體積的一半.【解答過(guò)程】如圖，兩個(gè)斜三棱柱組成一個(gè)四棱柱，以斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面為四棱柱的底面，面積為S=10，高?=PH=3，四棱柱的體積V=10×3=30，則此斜三棱柱的體積為12故選：B.【變式1-3】（2023秋·江西上饒·高二期末）“塹堵”“陽(yáng)馬”和“鱉臑”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù).商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉臑”，即一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個(gè)塹堵，再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖2），得一個(gè)四棱錐稱為陽(yáng)馬（圖3），一個(gè)三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若某長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為4，寬為2，高為2，記該長(zhǎng)方體的體積為V，由該長(zhǎng)方體斜解所得到的塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑的體積分別為V1，V2，V3，則下列選項(xiàng)不正確A．V=16 B．VC．V2=16【解題思路】結(jié)合長(zhǎng)方體、錐體體積公式求得正確答案.【解答過(guò)程】V=4×2×2=16，A選項(xiàng)正確.V1V2V3故選：D.【題型2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積】【方法點(diǎn)撥】求解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積時(shí)，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體積計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例2】已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為4π的扇形，則該圓錐的表面積為（

A．4π B．8π C．12π【解題思路】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為4π【解答過(guò)程】由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為4π則圓錐底面圓的半徑為r=4π2圓錐的表面積為12故選：C.【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓柱體積為π，底面半徑為3，則與此圓柱同底且體積相同的圓錐的側(cè)面積為（

）A．3π B．23π C．3【解題思路】根據(jù)圓柱圓錐體積公式求出圓錐的高，進(jìn)而求圓錐的母線長(zhǎng)，即可求側(cè)面積.【解答過(guò)程】設(shè)圓錐的高為?1所以圓錐的體積為13πr所以圓錐的母線l=?得圓錐的側(cè)面積為S=πrl=23故選：B.【變式2-2】（2022春·河南·高一期中）圓臺(tái)上?下底面半徑分別是1?2，高為3，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（A．733π B．23π 【解題思路】運(yùn)用圓臺(tái)體積公式直接計(jì)算.【解答過(guò)程】由圓臺(tái)體積公式知：V=1故選：A.【變式2-3】（2023春·河南·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知AB=9cm,CD=3cmA．363+81πC．243+81π【解題思路】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的側(cè)面積公式分別求解側(cè)面積，再加上底面積，即可得該青銅器的表面積【解答過(guò)程】解：因?yàn)镾圓柱側(cè)=2π×32×2所以該青銅器的表面積S=π3故選：A.【題型3球的表面積與體積】【方法點(diǎn)撥】計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵都是確定球的半徑，要注意把握球的表面積公式和體積公式中系數(shù)的特征和半徑次數(shù)的區(qū)別.必要時(shí)需逆用表面積公式和體積公式得到球的半徑.【例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的n倍，則它的半徑比原來(lái)增加的倍數(shù)為（

）A．n?1 B．n+1 C．n+2【解題思路】根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可直接求解.【解答過(guò)程】設(shè)原球的半徑為r，擴(kuò)大后為R，則原表面積為4πr2，擴(kuò)大n倍后變?yōu)樗訰=4nπr2即半徑擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，比原來(lái)增加了(n故選：A.【變式3-1】（2022秋·上海徐匯·高二期末）如果兩個(gè)球的表面積之比為4：9，那么這兩個(gè)球的體積之比為（

）A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9【解題思路】球的表面積之比是兩球的半徑的平方之比，體積之比是半徑的立方之比，據(jù)此即可計(jì)算.【解答過(guò)程】設(shè)兩球的半徑分別為r1,r2，則4π所以兩球的體積比為V1故選：A.【變式3-2】（2022春·湖南株洲·高一期中）已知球O的表面積為12π，則它的體積為（

）A．43π B．43 C．8【解題思路】根據(jù)給定條件，求出球O的半徑，再利用球的體積公式計(jì)算作答.【解答過(guò)程】球O的表面積為12π，設(shè)球O的半徑為R，則有4πR2=12π所以球O的體積為V=4π故選：A.【變式3-3】（2023秋·河南安陽(yáng)·高三期末）圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面積為2π，若球O的表面積與該圓錐的表面積相等，則球O的體積為（

A．2π3 B．2π3 C．【解題思路】先利用圓錐側(cè)面積公式與表面積公式求得其表面積，再利用球的表面積公式得到關(guān)于R的方程，解之即可求得球的體積.【解答過(guò)程】依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線l=2，則圓錐的側(cè)面積為πrl=2π，故所以圓錐的底面積為πr2=設(shè)球的半徑為R，則4πR2所以球的體積V=4故選：C.【題型4球的截面問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】利用球的半徑、截面的半徑、球心與截面圓心的連線構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要途徑.【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為A．8π3 B．C．8π D．8【解題思路】求出截面圓的半徑為R2?l，利用截面圓的面積為π，可得R【解答過(guò)程】設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為，∴截面圓的面積為S＝π＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面積S＝4πR2＝8π．故選C.【變式4-1】（2022秋·福建泉州·高二開(kāi)學(xué)考試）已知AB為球O的一條直徑，過(guò)OB的中點(diǎn)M作垂直于AB的截面，則所得截面和點(diǎn)A構(gòu)成的圓錐的表面積與球的表面積的比值為（）A．316 B．916 C．38【解題思路】設(shè)球的半徑為R，截面圓M的半徑r，由球截面性質(zhì)求得34【解答過(guò)程】設(shè)球的半徑為R，截面圓M的半徑r，則R2∴34R2=r2，則所得圓錐的表面積與球的表面積的比值為94故選：B.【變式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）過(guò)半徑為2的球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比為（

）A．932 B．916 C．38【解題思路】根據(jù)垂徑定理可得所得截面的半徑，進(jìn)而根據(jù)圓面積與球體積公式求得比值即可.【解答過(guò)程】球的半徑R=2，設(shè)截面圓半徑為r，則R2=所得截面的面積與球的體積的比為πr2故選：A.【變式4-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）體積為183的正三棱錐A?BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R:BC=2:3，點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

A．[4π,12π] B．[8π,16π] C．[8π,12π] D．[12π,16π]【解題思路】設(shè)BC=3a，則R=2a，設(shè)正三棱錐A?BCD的高為?,由題意求出先求出BC與R，再求出OE，即可求出所得截面圓面積的取值范圍.【解答過(guò)程】設(shè)BC=3a，則R=2a，設(shè)正三棱錐A?BCD的高為?,因?yàn)轶w積為183的正三棱錐A?BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O所以13×3因?yàn)镽2=??R所以a=2，所以BC=6,R=4，因?yàn)辄c(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，所以△ODB中，OD=OB=4,DB=6，cos∠ODB=所以O(shè)E=16當(dāng)OE⊥截面時(shí)，截面外接圓的半徑為16?8=22，其最小面積為以O(shè)E所在的直線為直徑時(shí)，截面圓的半徑為4，截面圓的面積為S=16π.所以所得的截面圓面積的取值范圍是[8π,16π].故選：B．【題型5幾何體與球的切、接問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】1.球外接于幾何體，則幾何體的各頂點(diǎn)均在球面上.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，一般需依據(jù)球和幾何體的對(duì)稱性，明確接點(diǎn)的位置，根據(jù)球心與幾何體特殊點(diǎn)間的關(guān)系，確定相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面進(jìn)行求解.2.解決幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題，應(yīng)先作出一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?一般作出多面體的對(duì)角面所在的截面)，這個(gè)截面應(yīng)包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.【例5】（2022秋·江蘇淮安·高三階段練習(xí)）如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1A．814π,24C．24316π,24【解題思路】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達(dá)式，從而求出半徑的取值范圍即可.【解答過(guò)程】如下圖所示：因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，AC=BC=2，所以△ABC的外接球的截面圓心為AB的中點(diǎn)O1，且AO1=2，連接O1與A1B1的中點(diǎn)E，則O1E//AA1，所以O(shè)1E⊥面ABC.設(shè)球心為O所以t2=8x?14，又0≤t≤2，所以解得74≤x≤2.因?yàn)镽2=2+x2，所以8116≤R2≤6，所以當(dāng)故選：A.【變式5-1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，∠ABC=60°，將△ACD沿邊AC翻折，使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn)，且PB=22，則三棱錐P?ABCA．15π B．25π C．55【解題思路】在梯形ABCD中，利用已知條件求出三角形ADC和三角形ABC的邊長(zhǎng)，分別取AB,AC的中點(diǎn)O',F，連接O'F,PF,BF，可證出PF⊥面ABC，由O'P<O'A知，三棱錐P?ABC外接球的球心O在平面ABC的下方，設(shè)三棱錐P?ABC外接球的球心為O【解答過(guò)程】在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，∠ABC=60°，則∠ADC=120°，AC=23，分別取AB,AC的中點(diǎn)O',F，連接O'F,PF,BF，∵PF=1，PB=22且BF=又PF⊥AC，AC∩BF=F，AC,BF?面ABC，∴PF⊥面ABC由題意可知O'為直角三角形ABC斜邊的中點(diǎn)，因?yàn)镺所以三棱錐P?ABC外接球的球心O在平面ABC的下方．設(shè)三棱錐P?ABC外接球的球心為O，連接OO'，作OH⊥PF，垂足為由題中數(shù)據(jù)可得PF=1，OH=O'F=1，O設(shè)三棱錐P?ABC外接球的半徑為R，則R2即R2=4+O'O故三棱錐P?ABC外接球的表面積是4π故選：D.【變式5-2】如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=4，A．46π B．83π C．【解題思路】先確定球心的大致位置，結(jié)合勾股定理，得出半徑的最大值，進(jìn)而可求外接球的體積的最大值.【解答過(guò)程】因?yàn)锳C=BC=2，∠ACB=90°，所以△ABC的外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)O1,且A取A1B1的中點(diǎn)E，連接O1E，則O設(shè)三棱錐D?ABC的外接球的球心為O，則O在O1設(shè)OO1=x，DE=t(0≤t≤因?yàn)镺A=OD=R，所以2+x2=因?yàn)?≤t≤2，所以74≤x≤2，因?yàn)镽即外接球半徑的最大值為6，所以三棱錐D?ABC的外接球的體積的最大值為V=4故選：C.【變式5-3】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為2，∠B=60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐P?ACD，如圖所示，當(dāng)三棱錐P?ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P?ACD的外接球體積為（A．523π B．433π【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合三角形面積公式分析可得當(dāng)PC⊥CD時(shí)，三棱錐P?ACD的表面積取最大值，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分析三棱錐的外接球的球心和半徑，即可得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意可得：△ACD,△ACP均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△PAD,△PCD為全等的等腰三角形，則三棱錐P?ACD的表面積S=2S當(dāng)且僅當(dāng)sin∠PCD=1，即PC⊥CD時(shí)，三棱錐P?ACD此時(shí)△PAD,△PCD為直角三角形，PD=P取PD的中點(diǎn)O，連接OA,OC，由直角三角形的性質(zhì)可得：OA=OC=OD=OP=2即三棱錐P?ACD的外接球的球心為O，半徑為R=2，故外接球體積為V=故選：D.【題型6實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確建立數(shù)學(xué)模型，然后利用表(側(cè))面積或體積公式即可求解.另外，正確作出截面圖，找出其中的等量關(guān)系也是常用的方法.與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題一般涉及容積問(wèn)題，解題的關(guān)健是正確作出截面圖，找出其中的等量關(guān)系.另外，利用總體積不變，正確建立等量關(guān)系，也是常用的方法.【例6】（2022秋·上海浦東新·高二期末）如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長(zhǎng)2cm．(1)這種“浮球”的體積是多少cm3(2)要在這樣2500個(gè)“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少克？（精確到克）【解題思路】（1）分別求出兩個(gè)半球的體積V1，和圓柱體的體積V（2）先求出一個(gè)“浮球”的表面積，再求出2500個(gè)的面積，即可求解.【解答過(guò)程】（1）該半球的直徑d=6cm所以“浮球”的圓柱筒直徑也是6cm，得半徑R=3所以兩個(gè)半球的體積之和為V球而V圓柱該“浮球”的體積是V=V（2）上下兩個(gè)半球的表面積是S球表而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為S圓柱側(cè)所以1個(gè)“浮球”的表面積為S=36因此，2500個(gè)“浮球”的表面積的和為2500S=2500×48因?yàn)槊科椒矫仔枰磕z100克，所以總共需要膠的質(zhì)量為：100×12π【變式6-1】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒(méi)有帽的一端錘打出一個(gè)帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計(jì)損失）.(1)若釘身長(zhǎng)度是釘帽高度的3倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；(2)若每塊鋼板的厚度為10mm，求釘身的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1mm）.【解題思路】（1）由圖可知，鉚釘?shù)谋砻娣e等于半球的表面積加上圓柱的側(cè)面積加上以r1（2）設(shè)釘身的長(zhǎng)度為x，表示出釘身的體積V.根據(jù)已知求出釘身加工后的體積，列出方程，求解即可得出答案.【解答過(guò)程】（1）解：由已知可得，鉚釘為以r1由釘身長(zhǎng)度是釘帽高度的3倍，可知圓