第4章三角形證明 題型解讀3 三角形“三線”題型-2020-2021學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

《三角形證明》題型解讀3：三角形“三線”題型【知識(shí)梳理】1.角平分線（1）三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。（內(nèi)心）2.中線（1）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線。（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)（重心）（3）三角形的中線把這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形3.高線（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點(diǎn)。（垂心）（3）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，且相交于一點(diǎn)；直角三角形一條是斜邊上的高，另兩條高就是兩直角邊；鈍角三角形，有一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條高是界外高。注意：識(shí)別或畫三角形的高時(shí)，一定要清楚三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，再看是哪條邊上的高，是界內(nèi)高還是界外高。（3）等底等高的兩個(gè)三角形的面積相等。（4）利用“等面積法”求高的長(zhǎng)度.【典型例題】例1.如圖，在△ABC中，AD是角平分線，∠B=70o，∠C=40o，則∠ADC=____【解析】：利用角平分線的確定義及三角形內(nèi)角和定理、外角定理即可求解?！窘忸}過程】：∵∠B=70o，∠C=40o，∴∠BAC=180o-70o-40o=70o，∵AD是角平分線，∴∠BAD=70o÷2=35o，在△ABD中，利用外角定理可得：∠ADC=∠B+∠BAD=70o+35o=105o.例2.(1)如圖1，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點(diǎn)P，試探究∠BPC與∠A的關(guān)系？(2)如圖2，在△ABC中，BP是∠ABC的平分線，CP是ΔABC的外角∠ACD的平分線，試探究：∠BPC與∠A的關(guān)系？(3)如圖3，在△ABC中，BP，CP分別是ΔABC的兩個(gè)外角的平分線，試猜測(cè)：∠BPC與∠A的關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.【解析】初中幾何題中求角與角的關(guān)系，總體有兩種思路方向：①直接由幾何性質(zhì)或定理得出；②通過等量代換或等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化得出；此題是第②種思路方向，解決這種思路方向的題，一般是固定一個(gè)角，把另一個(gè)角的圖形位置，通過幾何性質(zhì)定理，逐漸拉近與固定角的圖形位置，當(dāng)這兩個(gè)角的圖形位置靠得越近時(shí)，它們的關(guān)系基本就能找出來。此題中的（1）、（2）小題的證明，我們可以任選一個(gè)角固定，如固定∠P的位置，把∠A的圖形位置，通過角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理，往∠P的圖形位置“靠”，當(dāng)兩個(gè)角“拉到同一個(gè)三角形時(shí)”，它們間的關(guān)系可就找出來了。【解題過程】（1）在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A=180o-（∠ABC+∠ACB)，∵BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠A=180o-2（∠PBC+∠PCB)，在△ABC中，∵∠PBC+∠PCB=180o-∠P，∴∠A=180o-2(180o-∠P)=2∠P-180o，即∠P=90o+1/2∠A.（2）在△ABC中，由外角定理可得：∠A=∠ACD-∠ABC，∵BP、CP分別是∠ABC、∠ACD的角平分線，∴∠A=2（∠PCD-∠PBC)，在△PBC中，由外角定理可得：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∴∠A=2(∠P+∠PBC-∠PBC)=2∠P，即∠P=1/2∠A.(3)∠P=90o-1/2∠A.理由是：在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A=180o-（∠ABC+∠ACB)=180o-[(180o-∠EBC)+(180o-∠FBC)]，∵BP、CP分別是∠EBC、∠FCB的角平分線，∴∠A=180o-[(180o-2∠PBC)+(180o-2∠PCB)]=2(∠PBC+∠PCB)-180o，在△ABC中，∵∠PBC+∠PCB=180o-∠P，∴∠A=2(180o-∠P)-180o=180o-2∠P，即∠P=90o-1/2∠A.例3.如圖，已知AD,AE分別是△ABC的高和中線，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,∠CAB=90o,試求：(1)△ABE的面積是_______；(2)△ACE和△ABE的周長(zhǎng)差是______.【解析】（1）由AE是中線，可得BE的長(zhǎng)，欲求△ABE的面積，需先求AD的長(zhǎng)，由“等面積法”可求出AD的長(zhǎng)；（2）分別把△ACE和△ABE的周長(zhǎng)表示出來，由于BE=EC、AE=AE，故知△ACE和△ABE的周長(zhǎng)差，其實(shí)質(zhì)就是線段AC與AB的差，由題已知條件即可求解；【解題過程】（1）∵∠CAB=90o,AD是△ABC的高，∴△ABC的面積=AC×AC÷2=BC×CD÷2，∴AC×AB=BC×CD，∵AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,∴8×6=10×CD，∴CD=4.8cm，∵AE是中線，∴BE=BC÷2=5cm,∴△ABE的面積=BE×AD÷2=5×4.8÷2=12cm.（2）∵△ACE的周長(zhǎng)=AC+AE+EC,△ABE的周長(zhǎng)=AB+BE+AE，又∵BE=EC，∴△ACE和△ABE的周長(zhǎng)差=AC-AB=8-6=2cm.例4.如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E、F分別是AC、DC的中點(diǎn)，連接DE、EF，則△ABC和△DEF的面積比是______.【解析】由“等底等高面積相等”可得：S△EFC=S△EFD,S△ADE=S△CDE,S△ABD=S△ACD,即可求出△ABC和△DEF的面積比.【解題過程】∵F是DC的中點(diǎn)，∴S△EFC=S△EFD,∵E是AC的中點(diǎn)，∴S△ADE=S△CDE,∵D是BC的中點(diǎn)，∴S△ABD=S△ACD,∴S△ABC=S△DEF×8,∴S△ABC:S△DEF=8:1.例5.在△ABC中，將AB延長(zhǎng)一倍到D，BC延長(zhǎng)兩倍到E，CA延長(zhǎng)三倍到F，連接DEF，若△ABC的面積為1，求△DEF的面積.【解析】依“高相等時(shí)，兩個(gè)三角形的面積比會(huì)等于各自的底邊之比”即可解題。【解題過程】連接FB，∵AF=3AC,S?ABC∴S?FBA∵AD=2AB，∴S?FDA連接DC，∵BD=AB,∴S?DBC∵BE=3BC，∴S?DBE連接DC，∵CE=2BC,∴