人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 21.4 一元二次方程解法-直接開平方法（知識講解）

專題21.4一元二次方程解法-直接開平方法（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握直接開平方法解方程，會應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問題；理解解法中的降次思想，直接開平方法中的分類討論與換元思想.【要點(diǎn)梳理】直接開平方法解一元二次方程如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)；②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。【典型例題】【知識點(diǎn)一】用直接開平方法解一元二次方程1．一元二次方程可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是，則另一個(gè)一元一次方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直接開平方法可以解答本題．解：∵（x+1）2=16，∴x+1=±4，∴x+1=4或x+1=-4，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確解方程的方法．舉一反三：【變式1】若（a2+b2﹣3）2＝25，則a2+b2＝（

）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8【答案】C【分析】先直接開平方求得a2+b2﹣3＝±5，然后再整體求出a2+b2即可．解：∵（a2+b2﹣3）2＝25，∴a2+b2﹣3＝±5，∴a2+b2＝3±5，∴a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2＝8．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的解法和代數(shù)式求值，掌握運(yùn)用直接開平方法解一元二次方程和整體思想是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】方程的根是（

）A．5和 B．2和 C．8和 D．3和【答案】C【分析】利用直接開平方法解方程即可得答案．解：(x-3)2=25，∴x-3=±5，∴x=8或x=-2，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟練掌握并靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵．2.已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，則x2+y2的值為______．【答案】5【分析】根據(jù)直接開平方解得，再根據(jù)計(jì)算即可；解：∵（x2+y2﹣1）2＝16，∴，∴或，∵，∴；故答案是5．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直接開平方法解方程，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】方程的實(shí)數(shù)解為__________．【答案】；【分析】通過移項(xiàng)、系數(shù)化為1、開平方先求出，舍去負(fù)值后進(jìn)一步開平方即可．解：移項(xiàng)后可得：或（舍）故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了高次方程的求解問題，解題步驟參照解一元二次方程的步驟，將方程逐步轉(zhuǎn)化為(n為偶數(shù)，a為常數(shù)）的形式，再通過逐步開平方降次即可求解，注意解題過程中不符合條件的值舍去即可．【變式2】已知，則_________．【答案】8【分析】將等號兩邊同時(shí)開平方，解出的值，再根據(jù)的非負(fù)性進(jìn)行取舍即可．解：，，=8或－10，≥0，=8．

故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題主要考查直接開平方法解一元二次方程的步驟，方程若能化為形如的形式，那么可得，需要注意的是兩數(shù)平方的和的非負(fù)性．3.解下列方程：（1）(x－1)2＝9；（2）．【答案】（1）x1＝4，x2＝-2；（2）x=2【分析】（1）根據(jù)直接開平方法求解一元二次方程，即可得到答案；（2）根據(jù)立方根的性質(zhì)求解，即可得到答案．解：（1）∵(x－1)2＝9∴x－1＝±3∴x1＝4，x2＝-2．（2）移項(xiàng)，得∴

∴x=2．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程、立方根的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直接開平方法求解一元二次方程、立方根的性質(zhì)，從而完成求解．舉一反三：【變式1】解方程：【答案】x=1或x=-3【分析】移項(xiàng)，利用直接開平方法，求解即可．解：∵，∴，∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或x=-3．【點(diǎn)撥】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，熟練掌握解方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【變式2】解方程：．【答案】，【分析】方程整理后，用開平方法進(jìn)行解方程．解：整理得：兩邊開平方得：即或所以，【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程的方法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法是提高解題效率的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)二】用直接開平方法解一元二次方程的應(yīng)用4.給出一種運(yùn)算：對于函數(shù)，規(guī)定．例如：若函數(shù)，則有．若函數(shù)，求方程的解．【答案】，【分析】根據(jù)題中新定義的運(yùn)算，先求出，代入已知條件，然后求解一元二次方程即可．解：∵，∴，∵∴∴∴，，∴的解為：，．【點(diǎn)撥】題目主要考查求一元二次方程的解，理解新運(yùn)算的計(jì)算方法，并結(jié)合一元二次方程是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】定義：等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是的方程，叫做一元二次方程．如．．．都是一元二次方程．根據(jù)平方根的特征，可以將形如的一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．如：解方程的思路是：由可得．解決問題：解方程解：，或解方程：【答案】（1）；（2）【分析】（1）將化簡即可得到兩個(gè)根，再分別解一元一次方程求出方程的解即可；（2）根據(jù)例題的解答方法求解即可.解：（1），或-2，0，故答案為：-2,0；（2），，或.【點(diǎn)撥】此題考查解一元二次方程的方法，運(yùn)用平方根的特征將一元二次方程直接開方化為一元一次方程，正確理解題目中解方程的方法是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，用兩個(gè)邊長為5cm的小正方形拼成一個(gè)大的正方形．(1)求大正方形的邊長？(2)若沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為3：2且面積為60cm2？若能，試求出剪出的長方形紙片的長與寬；若不能，試說明理由．【答案】(1)10cm(2)能，理由見分析【分析】（1）根據(jù)已知正方形的邊長即可求出大正方形的邊長；（2