新教材高中數(shù)第8章立體幾何初步863第課時平面與平面垂直的判定定理訓練含解析新人教A版必修第二冊

PAGE8.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定定理課后·訓練提升基礎鞏固1.從空間一點P向二面角α-l-β的兩個半平面α,β所在的平面分別作垂線PE,PF,E,F為垂足,若∠EPF=60°,則該二面角的大小為()A.60° B.120° C.60°或120° D.不確定答案C2.如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上一點(不同于點A,B),PA=AC,則二面角P-BC-A的大小為()A.60° B.30°C.45° D.15°解析由題意,易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.答案C3.如圖,在四面體P-ABC中,PA=PB=PC,△ABC為等腰直角三角形,AC=BC,O為AB的中點.下列說法錯誤的是()A.平面PAB⊥平面ABCB.平面PAB⊥平面POCC.平面POC⊥平面ABCD.平面PCA⊥平面PCB解析因為PA=PB,AC=BC,O為AB的中點,所以PO⊥AB,CO⊥AB.又PO∩CO=O,所以AB⊥平面POC.又AB?平面PAB,AB?平面ABC,所以平面PAB⊥平面POC,平面POC⊥平面ABC.故B,C正確.因為△ABC為等腰直角三角形,O為AB的中點,所以AO=CO.又PA=PC,所以△PAO≌△PCO,所以∠POA=∠POC=90°,即PO⊥CO.又PO⊥AB,AB∩CO=O,所以PO⊥平面ABC,又PO?平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.故A正確.故選D.答案D4.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為菱形,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上,下列說法錯誤的是()A.當且僅當E為PB的中點時,平面PBD⊥平面AECB.當E在棱PB上移動時,總有平面PBD⊥平面AECC.當且僅當E為PB的中點時,平面AEC⊥平面ABCDD.若AE⊥PB,則平面AEC⊥平面PBC解析因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.又PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AC.又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PBD.故當E在棱PB上移動時,總有平面PBD⊥平面AEC.故A錯誤.故選A.答案A5.如圖,將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角,此時∠B'AC=60°,則這個二面角大小是()A.30° B.45°C.60° D.90°解析如圖,連接B'C,則△AB'C為等邊三角形.由題意可知,∠B'DC為所求二面角的平面角.設AD=a,則B'C=AC=2a,B'D=DC=a,所以B'C2=B'D2+DC2,所以∠B'DC=90°.故選D.答案D6.如圖,在四面體P-ABC中,△ABC與△PBC均為邊長為2的正三角形,PA=3,D為PA的中點,則二面角D-BC-A的大小為,二面角B-PA-C的余弦值為.

答案60°-17.如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E分別為PC,AC的中點,BA=BC,PA⊥AC.求證:平面BDE⊥平面PAC.證明∵D,E分別為PC,AC的中點,∴DE∥PA.又PA⊥AC,∴DE⊥AC.∵BA=BC,E為AC的中點,∴BE⊥AC.又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BDE.又AC?平面PAC,∴平面BDE⊥平面PAC.8.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)證明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的平面角的大小.(1)證明連接BD(圖略),因為四邊形ABCD是菱形,∠BCD=60°,所以△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BE.又PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,所以BE⊥PB.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB所以∠PBA=60°.故二面角A-BE-P的平面角的大小是60°.9.圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.(1)證明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中點M,連接EM,DM.因為AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°,得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.能力提升1.如圖,AB為圓O的直徑,點C在圓周上(異于點A,B),PA垂直于圓O所在的平面,點M為PB的中點,下列結論正確的是()A.PA∥平面MOBB.平面MOC⊥平面PABC.OC⊥平面PACD.平面PAC⊥平面PBC解析PA?平面MOB,故A錯誤;當點C在圓周上運動時,平面MOC與平面PAB不一定垂直,故B錯誤;因為AB為圓O的直徑,所以BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以OC與平面PAC不垂直,故C錯誤;又BC?平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正確.答案D2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,M為BB1的中點,則下列結論錯誤的是()A.D1O∥平面A1BC1B.MO⊥平面A1BC1C.二面角M-AC-B等于60°D.異面直線BC1與AC所成的角等于60°解析對于A,連接B1D1,交A1C1于點E,連接BE,OB(圖略),則四邊形D1OBE為平行四邊形,故D1O∥BE,又D1O?平面A1BC1,BE?平面A1BC1,故D1O∥平面A1BC1,故A正確;對于B,連接B1D,BD(圖略),因為O為底面ABCD的中心,M為BB1的中點,所以MO∥B1D,易證B1D⊥平面A1BC1,則MO⊥平面A1BC1,故B正確;對于C,易知BO⊥AC,MO⊥AC,則∠MOB為二面角M-AC-B的平面角,而tan∠MOB=22,故∠MOB≠60°,故C錯誤對于D,因為AC∥A1C1,所以∠A1C1B為異面直線BC1與AC所成的角,因為△A1C1B為等邊三角形,所以∠A1C1B=60°,故D正確.答案C3.如圖,平面角為銳角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG?α,∠GAE=45°,若AG與β所成的角為30°,則二面角α-EF-β的大小為.

解析如圖,作GH⊥β于點H,作HB⊥EF于點B,連接AH,GB,則GB⊥EF,∠GAH為AG與β所成的角,故∠GBH為二面角α-EF-β的平面角,∠GAH=30°.設AG=a,則GB=22a,GH=12a,故sin∠GBH=GHGB=22,所以∠GBH=45°,故二面角α答案45°4.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,E為BC的中點,把△ABE和△CDE分別沿AE,DE折起,使點B與點C重合于點P.(1)求證:平面PDE⊥平面PAD;(2)求二面角P-AD-E的大小.(1)證明由題意可知,AP⊥PE,DP⊥PE.又AP∩DP=P,∴PE⊥平面PAD.又PE?平面PDE,∴平面PDE⊥平面PAD.(2)解如圖,取AD的中點F,連接PF,EF,則PF⊥AD,EF⊥AD,∴∠PFE為二面角P-AD-E的平面角.又PE⊥平面PAD,∴PE⊥PF.∵EF=AB=2,PE=1,∴sin∠PFE=PEEF=22,∴∠∴二面角P-AD-E的大小為45°.5.已知四邊形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分別是AB,PC的中點.求證:平面MND⊥平面PCD.證明如圖,取PD的中點E,連接AE,NE.∵E,N分別是PD,PC的中點,∴EN∥CD,EN=12CD又ABCD,AM=12AB∴ENAM,∴四邊形AMNE是平行四邊形,∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE.∵PA=AD,E是PD的中點,∴AE⊥PD.又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD.又MN∥AE,∴MN⊥平面PCD.又MN?平面MND,∴平面MND⊥平面PCD.6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=2PA=2AB=2BC=2.(1)求證:平面PCD⊥平面PAC.(2)在線段PC上是否存在點E,使得平面AED⊥平面PCD?若存在,求出PEEC的值;若不存在,說明理由(1)證明因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.由題意可知,AB=BC=1,又∠ABC=90°,所以∠BAC=45°,AC=2.又∠BAD=90°,所以∠CAD=45°.在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=2,所以AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD.又PA∩AC=A,所