新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習講練測專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用（講）解析版

專題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用新課程考試要求1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式及其應(yīng)用.2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.3.會用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實際問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等.考向預(yù)測1.根據(jù)數(shù)列的遞推式或者通項公式確定基本量，選擇合適的方法求和，進一步證明不等式2.數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合.3.復(fù)習中注意:（1）靈活選用數(shù)列求和公式的形式，關(guān)注應(yīng)用公式的條件；（2）熟悉分組求和法、裂項相消法及錯位相減法；（3)數(shù)列求和與不等式證明、不等式恒成立相結(jié)合求解參數(shù)的范圍問題.【知識清單】知識點一．等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，，，，且，則(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比數(shù)列前n項和時，；當時，或.知識點二．數(shù)列求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項和是，當時，或；當時，（錯位相減法）.3.數(shù)列前項和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【考點分類剖析】考點一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例1】（2021·全國高三月考（文））已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數(shù)列SKIPIF1<0的前3項.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；（2）數(shù)列SKIPIF1<0是由數(shù)列SKIPIF1<0的項刪去數(shù)列SKIPIF1<0的項后仍按照原來的順序構(gòu)成的新數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的前20項的和.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0以及等差數(shù)列的通項公式計算即可得到SKIPIF1<0結(jié)果，然后根據(jù)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，最后簡單計算可得SKIPIF1<0.（2）根據(jù)（1）的條件可知求解的是SKIPIF1<0，計算即可.【詳解】（1）數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數(shù)列SKIPIF1<0的前3項，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，代入上式解得SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0.故數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前20項的和為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例2】（2021·全國高三其他模擬（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0是公差不為零的等差數(shù)列，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，用首項和公差表示已知條件，化簡后解方程組求得首項和公差，進而得到通項公式；（2）由（1）可得SKIPIF1<0通項公式，采用分組求和的方法，對SKIPIF1<0的兩個部分分別采用等比數(shù)列求和、等差數(shù)列的求和公式求和，進而得到SKIPIF1<0.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列得：SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②,由①②解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）由（1）得：SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0為常數(shù),∴數(shù)列SKIPIF1<0為公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【總結(jié)提升】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序．(2)注意細節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的．【變式探究】1.（浙江省杭州市第二中學(xué)2020屆高三）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)公比為.由，，成等差數(shù)列，可得，所以，則，解(舍去)或.所以.故選A.2.（2017·全國高考真題（文））已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，且a1（1）若a3+b（2）若T3=13，求【答案】（1）bn=2【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，等比數(shù)列{bn}公比為（1）∵(1+2d)+q2=7，結(jié)合d+q=3∴bn（2）∵T3=1+q+q當q=?4時，d=7，此時S5當q=3時，d=0，此時S5【易錯提醒】1.利用裂項相消法解決數(shù)列求和問題，容易出現(xiàn)的錯誤有兩個方面：(1)裂項過程中易忽視常數(shù)，如容易誤裂為，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或添項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤．2.應(yīng)用錯位相減法求和時需注意：（1）給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論；（2）在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時需看準項數(shù)，不一定為n.考點二數(shù)列與函數(shù)的綜合【典例3】（2020屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟(Z20聯(lián)盟)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列滿足：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】考察函數(shù)，由可得在單調(diào)遞增，由可得在單調(diào)遞減且，可得，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，如圖所示：且，，圖象可得，所以，故選B.【典例4】（2020·浙江高三專題練習）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．（2）規(guī)定：SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的值，并指出相應(yīng)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【解析】（1）由等比數(shù)列的通項公式得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，然后利用累加法求SKIPIF1<0即可；（2）由（1）得SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的值，然后對SKIPIF1<0進行放縮，可得當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，最后通過換元，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，符合上式，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．易知SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，得SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），從而SKIPIF1<0．綜上，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【總結(jié)提升】數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：①知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形．【變式探究】1.（2021·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高三三模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，定義數(shù)列SKIPIF1<0如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的值；（2）是否存在實數(shù)m，使SKIPIF1<0構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由；（3）求證：當SKIPIF1<0時，總能找到SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.【答案】（1）1，2，5；（2）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列；（3）見試題解析.【解析】（1）利用函數(shù)的解析式，通過SKIPIF1<0＝2，3，4，求出結(jié)果；（2）解法一：假設(shè)存在實數(shù)m，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，求出SKIPIF1<0即可．方法二：通過SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．（3）通過SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加推出SKIPIF1<0，通過SKIPIF1<0成立，轉(zhuǎn)化SKIPIF1<0，得到結(jié)論．【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）解法一：假設(shè)存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．則得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍）,SKIPIF1<0．經(jīng)檢驗，此時SKIPIF1<0的公差不為0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成公差不為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．方法二：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因為公差SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．經(jīng)檢驗，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公差不為0．所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．（3）因為SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以令SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將上述不等式全部相加得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此要使SKIPIF1<0成立，只需SKIPIF1<0，所以，只要取正整數(shù)SKIPIF1<0，就有SKIPIF1<0．綜上，當SKIPIF1<0時，總能找到SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．2.（四川高考真題）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an（1）若a1=?2，點(a8,4b7)在函數(shù)（2）若a1=1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為【答案】（1）Sn=n(n?3)；（2）【解析】bn=2an（2）將f(x)=2x求導(dǎo)得f'(x)=2xln2，所以f(x)=2所以d=2?1=1,∴an=n，b其前n項和Tn兩邊乘以2得：2T②－①得：2Tn?考點三數(shù)列與不等式的綜合【典例5】（2021·寧波中學(xué)高三其他模擬）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0和等比數(shù)列SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）證明見解析.【解析】（1）首先根據(jù)SKIPIF1<0對所有n都成立，分別取SKIPIF1<0得到關(guān)于SKIPIF1<0的等量關(guān)系式，解方程求解SKIPIF1<0，最后寫出數(shù)列的通項公式即可；（2）化簡SKIPIF1<0，根據(jù)裂項相消求得SKIPIF1<0，最后證明SKIPIF1<0即可.【詳解】（1）假設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0和等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，聯(lián)立解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；經(jīng)檢驗SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0對任意的正整數(shù)都成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0對于任意正整數(shù)恒成立，所以SKIPIF1<0對于任意正整數(shù)恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得證.【典例6】（2020屆浙江省臺州五校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)f(x)=4（Ⅰ）求方程f(x)?x=0的實數(shù)解；（Ⅱ）如果數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f(an（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為S【答案】（Ⅰ）x=?4或x=14;（Ⅱ）存在c=14使得【解析】（Ⅰ）f(x)?x=0?4（Ⅱ）存在c=14使得證法1：因為f(x)=44x+15，當x∈(0,1]時，f(x)單調(diào)遞減，所以0<f(x)<415．因為a1=1，所以由因為0<a2=假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即0<a2k<14<a2k?1<1因此f(4即0<f(4綜上所述，對一切n∈N?，即存在c=14使得證法2：an+1?{an?14所以an易知an>0，所以當n為奇數(shù)時，an>即存在c=14，使得（Ⅲ）證明：由（2），我們有419≤a設(shè)bn=an?由于b1因此n=1，2，3時，b1當n>3時，有b1因此a1從而14n<a解法2:由（Ⅱ）可知0<anbn+1=所以b所以當n為偶數(shù)時，b1+b2即Sn【總結(jié)提升】1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”．放縮法常見的放縮技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.數(shù)列中不等式恒成立的問題數(shù)列中有關(guān)項或前n項和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項或前n項和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．【變式探究】1.（2020·山東高三下學(xué)期開學(xué)）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）解：，①當時，．當時，，②由①-②，得，因為符合上式，所以．（2）證明：因為，所以．2．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求q的值；（2）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）證明見解析；【解析】（1）首先表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，求出SKIPIF1<0即可；（2）依題意可得SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0，利用錯位相減法求和即可得證；【詳解】解：（1）SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0①則SKIPIF1<0②由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0考點四數(shù)列與充要條件

【典例7】（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，當時，，當時，，，所以“”是“”的充要條件.故選:C.【典例8】（2020·浙江高三）等差數(shù)列{an}的公差為d，a1≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則“d＝0”是“Z”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】等差數(shù)列{an}的公差為d，a1≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若d＝0，則{an}為常數(shù)列，故an=，即?“Z”，當Z時，d不一定為0，例如，數(shù)列1，3，5，7，9，11中，4，d＝2，故d＝0是Z的充分不必要條件．故選：A．【規(guī)律方法】充要關(guān)系的幾種判斷方法(1)定義法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分而不必要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要而不充分條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要條件.(2)等價法：即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法．(3)集合關(guān)系法：從集合的觀點理解，即若滿足命題p的集合為M，滿足命題q的集合為N，則M是N的真子集等價于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價于p是q的必要不充分條件，M＝N等價于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關(guān)系等價于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件【變式探究】1.（2020屆浙江寧波市高三上期末）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，得，即，所以“”是“”的充分條件，由，，，所以，，所以“”是“”的必要條件，綜上，“”是“”的充要條件.故選：C.2.（2019·浙江高三期中）設(shè)n∈N?，則“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{aA．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數(shù)列{an}∴(a∴數(shù)列{a∵數(shù)列{a∴a∴a∴a∴數(shù)列{an}故選：A．考點五數(shù)列與實際問題

【典例9】（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三三模（文））復(fù)利是指一筆資金產(chǎn)生利息外，在下一個計息周期內(nèi)，以前各計息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計算利息的計息方法，單利是指一筆資金只有本金計取利息，而以前各計息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息在下一個計息周期內(nèi)不計算利息的計息方法.小闖同學(xué)一月初在某網(wǎng)貸平臺貸款10000元，約定月利率為1.5%，按復(fù)利計算，從一月開始每月月底等額本息還款，共還款12次，直到十二月月底還清貸款，把還款總額記為x元.如果前十一個月因故不還貸款，到十二月月底一次還清，則每月按照貸款金額的1.525%，并且按照單利計算利息，這樣的還款總額記為y元.則y-x的值為（）(參考數(shù)據(jù)：1.01512≈1.2)A．0 B．1200 C．1030 D．900【答案】C【解析】設(shè)小闖同學(xué)每個月還款SKIPIF1<0元，則可依次求每次還款SKIPIF1<0元后，還欠本金及利息，由題意可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，從而可求出SKIPIF1<0的值，再利用單利求出SKIPIF1<0，進而可求出SKIPIF1<0的值【詳解】解：由題意知，按復(fù)利計算，設(shè)小闖同學(xué)每個月還款SKIPIF1<0元，則小闖同學(xué)第一次還款SKIPIF1<0元后，還欠本金及利息為SKIPIF1<0元，第二次還款SKIPIF1<0元后，還欠本金及利息為SKIPIF1<0，第三次還款SKIPIF1<0元后，還欠本金及利息為SKIPIF1<0，依次類推，直到第十二次還款后，全部還清，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0元，按照單利算利息，12月后，所結(jié)利息共SKIPIF1<0元，故SKIPIF1<0元，所以SKIPIF1<0，故選：C【典例10】（上海高考真題）根據(jù)預(yù)測，某地第n(n∈N?)個月共享單車的投放量和損失量分別為a其中an=5n4+15,累計投放量與累計損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點第n個月底的單車容納量Sn【答案】（1）935；（2）見解析.【解析】（1）(（2）?10n+470>n+5?n≤42，即第42個月底，保有量達到最大(a1+【變式探究】1.（2021·山東菏澤市·高三期末）某公司為一個高科技項目投入啟動資金1000萬元，已知每年可獲利25%，但由于競爭激烈，每年年底需從利潤中取出200萬元資金進行科研、技術(shù)改造，方能保持原有利潤的增長率，經(jīng)過兩年后該項目的資金為________萬元，該公司經(jīng)過______年該項目的資金可以達到或超過翻一番（即原來的2倍）的目標（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．【答案】1112.59【解析】設(shè)SKIPIF1<0是經(jīng)過SKIPIF1<0年后該項目的資金，則SKIPIF1<0，從而可求出經(jīng)過兩年后該項目的資金，構(gòu)造等比數(shù)列SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，根據(jù)翻一番（即原來的2倍）的目標建立不等式，解指數(shù)不等式，即可求出所求．【詳解】解