文科物理-第3章 現(xiàn)代物理學 第3節(jié) 混沌與分形

混沌與分形“混沌是令人振奮的，它開辟了簡化復雜問題的途徑；混沌是令人憂慮的，它給科學中建立模型的傳統(tǒng)方法帶來疑問；混沌是令人神往的，它把數(shù)學、科學和技術聯(lián)姻；但最重要的混沌是美的化身！”混沌是20世紀物理科學中第三次大革命1“南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國德克薩斯州的一場龍卷風?！?蝴蝶效應

牛頓發(fā)現(xiàn)并總結了運動定律，創(chuàng)立了萬有引力理論，這些定律既能用來計算行星的規(guī)律，預測彗星的行蹤，計算宇宙飛船的發(fā)射，又能用于各種機械的運行，解決日常的各種力學題．牛頓的成就帶給了科學界哲學思想上的確定論，也就是認為一個系統(tǒng)的行為都是有規(guī)則的．一個系統(tǒng)，只要弄清楚它所處的環(huán)境，立出它的運動方程式，知道它的初始條件，則以后的運動狀況都可以計算出來。列出大氣運動方程，根據(jù)初始條件，能準確預報天氣?3美國數(shù)學家、氣象學家洛倫茲。他選擇了帶有12個變量的方程組，反映了天氣的最主要因素。洛倫茲在他簡陋的計算機上，把天氣簡化到只剩下骨頭架子。但是，隨著洛倫茲的打印機一行一行地輸出，那風和溫度的行為看起來真有點像在地球上的樣子。它們與洛倫茲心目中對天氣的直覺是一致的，如他想象的那樣自我重復，隨著時間的變化顯示出似曾相識的模式，氣壓時升時降，氣流忽南忽北。4

1961年冬季的一天，為了考察一條更長的序列，洛倫茲走了一條捷徑。他沒有令整個計算從頭運行，而是從中途開始。作為計算的初值，他直接打入了上一次的輸出結果。然后他穿過大廳下樓，清靜地去喝一杯咖啡。一個小時之后他回來時，看到了出乎意料的事。就是這件事播下了一門新科學的種子。5用0.506代替0.506127得到的代表氣候的曲線和原曲線分布如下圖6洛侖茲認為，這件事反映了在大氣運動的過程中，即使誤差和不確定性很小，但也有可能在過程中將其積累起來，經(jīng)過一連串的逐級放大，最終形成巨大的大氣運動。也就是說初始條件的微小變化，經(jīng)過長期的演變后，會導致結果發(fā)生很大的變化——也就是對初始條件的敏感依賴性。長期天氣預報是不可能的！7丟失一個釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國。反映對初始條件的敏感依賴性的諺語有：差之毫厘謬以千里8蟲口問題—邏輯斯蒂方程生命具有多樣性，種類繁雜而又撲朔迷離。千萬個物種共同生活在地球這個巨大的容器中，他們通過相互作用而構成生態(tài)系統(tǒng)，以維持生命共同演化。為了研究種群數(shù)量的演變，我們建立種群變化的模型。為了敘述上的方便，我們以某種無世代交疊的昆蟲為例，就是每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵又孵化出一只蟲子。9的最大取值為1，代表昆蟲達到飽和；最小為0，代表此物種滅絕。一般情況只能是小數(shù)了，如果取值是0.5，代表昆蟲數(shù)只有飽和值的一半。為單位計數(shù)的話，則用和第n代和第n+1代的昆蟲數(shù)。

由于食物有限和其他種群的捕殺等因素，昆蟲(實際上任何物種)是不可能無限增長的，在一定的生存環(huán)境中都有一個所能允許的極限值(或稱飽和值)如果我們用飽和值10考慮食物有限和其他種群的捕殺等因素我們建立模型：一旦知道初始條件即可得到一系列的值：這個數(shù)值系列叫數(shù)值流，形成一條狀態(tài)演化的“軌道”。11種群數(shù)隨參數(shù)的變化：2穩(wěn)定值的交替4穩(wěn)定值的交替8穩(wěn)定值的交替16穩(wěn)定值的交替12倍周期分岔自相似的幾何結構當時，計算結果變得一片混亂，完全不可預測。這就叫做混沌。13混沌學的意義混沌的發(fā)現(xiàn)和混沌學的建立，同相對論和量子論一樣，是對牛頓確定性經(jīng)典理論的重大突破，為人類觀察物質(zhì)世界打開了一個新的窗口。所以，許多科學家認為，20世紀物理學永放光芒的三件事是：相對論、量子論和混沌學的創(chuàng)立。14混沌現(xiàn)象的基本特征1、確定論系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機性2、對初始條件的極度敏感性3、平庸吸引子4、奇怪吸引子5、混沌運動中的普適常數(shù)15分形“明天誰不熟悉分形，誰就不能被認為是科學上的文化人”——美國物理學家惠勒161幾何圖形的維數(shù)我們從幾何中知道：直線的維數(shù)是1，方形、圓、橢圓等平面圖形的維數(shù)是2，立方體、球等立體圖形的維數(shù)是3。一般將維數(shù)理解為在圖形中確定一個點的位置需要的獨立坐標數(shù)。17是測度單位圖形得到的測量單元(線段、方形和立方體)數(shù)圖形的維數(shù)D定義為：這里的ε是測量單元的尺寸（測量光滑曲線用尺子、測量規(guī)則平面圖形用正方形或圓、測量規(guī)則立體圖形用立方體或球，測量的方法是用這些單元連續(xù)地覆蓋圖形)182規(guī)則分形和它們的分維2.1Cantor（康托爾）集三等分直線段，挖去中段，再把剩下的二段各三等分挖去中段，如此無限的進行下去(圖2.1)得到由無窮多離散的點組成的cantor集(圖中為了醒目，將線段畫成有一定厚度)。19

Cantor集的維數(shù)測個圖Cantor集的總長度202.2Koch（科赫）曲線挖去直線1／3中段后，加上等邊三角形的二邊，形成四段等長線段組成的折線，如此無限進行下去，形成處處連續(xù)、但處處不可微的Koch曲線21Koch曲線的分維為：22海岸線的長度是多少？1967年曼德布羅特在《科學》上發(fā)表題為《英國海岸線有多長?統(tǒng)計自相似性與分數(shù)維數(shù)》的著名論文。此文的緣由在于曼德布羅特發(fā)現(xiàn)許多國家公布的公共邊界線存在極大的誤差，即大國公布的公共邊界線小，而小國公布的公共邊界線大。原因在于邊界線是一個復雜的曲線，所用的測量尺度越小，測量的長度越大。測量海岸線長度時人們發(fā)現(xiàn)，所用尺子越短，海岸線長度就越長，并且海岸線長度沒有限度。23科赫曲線可以很好地模擬海岸線。同理，一個國家的國土面積也沒有限度，測量所用的矩形塊面積越小，測得的國土面積就越大。矩形塊面積趨于零時，國土面積趨于無窮大。馮·科赫于1904年通過初等方法構造了這種處處不可微的連續(xù)曲線，并且討論了該曲線的性質(zhì)。由于該曲線的構造極為簡單，從而改變了人們認為連續(xù)而不可微曲線的構造一定非常復雜的看法。24特別重要的是，該曲線是第一個人為構造的具有局部與整體相似的結構，被稱為自相似結構。252.3Sierpinski(謝爾賓斯基)圖形正三角形四等分成四個小三角形，挖去中間的一個，把剩下的三個小三角形四等分挖去中間的一個，如此無限的進行下去得到面積趨于零、由無窮多線段組成的Sierpinski三角毯26Sierpinski

圖形分維27Sierpinski-Menger(謝爾賓斯基-門格爾)海綿立方體27等分（三個方向均三等分)成27個小立方體，挖去1個體心和6個面心位置上的小立方體，留下20個小立方體，如此無限進行下去，得到和Siepinski圖形密切有關的Sierpinski-Menger海綿(圖2.4)。28利用立方體為測量單元并不斷縮小其尺寸為

得到圖形有個單元。

Sierpinski-Menger

海綿分形維數(shù)29自相似性

分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點。一個系統(tǒng)的自相似性是指某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結構的局域性質(zhì)或局域結構與整體類似。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡單地和整體完全重合。

30人們在觀察和研究自然界的過程中，認識到自相似性可以存在于物理、化學、天文學、生物學、材料科學、經(jīng)濟學，以及社會科學等眾多的科學之中，可以存在于物質(zhì)系統(tǒng)的多個層次上，它是物質(zhì)運動、發(fā)展的一種普遍的表現(xiàn)形式，即是自然界普遍的規(guī)律之一。下面舉幾個例子來說明自相似性。太陽系的構造與原子的結構作一對比，就會發(fā)現(xiàn)這兩個系統(tǒng)在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個系統(tǒng)在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質(zhì)系統(tǒng)之間存在著自相似的性質(zhì)。31一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與該棵大樹相比，在構成形式上完全相似。又會發(fā)現(xiàn)該樹枝上分叉長出來的更小的細枝條，仍具有大樹構成的特點。當然，這只能是在一定尺度上呈現(xiàn)相似性，不會無限擴展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現(xiàn)出明顯的自相似性。再仔細觀察樹葉的葉脈，也可以發(fā)現(xiàn)類似的自相似結構。32由上面我們可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是嚴格的，而是，在統(tǒng)計意義下的自相似性，海岸線也是其中一個例子。凡是滿足統(tǒng)計自相似性的分形稱之為無規(guī)分形。另外，還有所謂有規(guī)分形,這類分形,由于它是按一定的數(shù)學法則呈現(xiàn)，因此具有嚴格的自相似性。所謂Koch曲線，就是屬于有規(guī)分形。33由部分是以自身同等的方式存在于整體之中的傳統(tǒng)看法，進而認識到部分以與整體相似的方式存在于整體之中。這是人類認識史上的一大進步，具有深遠的哲學意義。自相似性為我們理解部分與整體的辯證關系提供了新的科學依據(jù)。分形理論已經(jīng)對方法論和自然觀產(chǎn)生強烈影響，從分形的觀點看世界，我們發(fā)現(xiàn)，這個世界是以分形的方式存在和演化著的世界。343自然界的分形星系分布的分形特征及其分維35地表形態(tài)與地質(zhì)的分形構造36美麗的分形藝術37圖10曼德勃羅集圖38圖10曼德勃羅集圖394041圖10a曼德勃羅集逐步放大圖42圖11曼德勃羅集逐步放大圖43圖12曼德勃羅集逐步放大圖44圖13曼德勃羅集“峽谷地帶”放大圖45圖16

廣義曼德勃羅集46圖17廣義曼德勃羅集47圖15對應于曼德勃羅集的朱麗亞集48圖14朱麗亞集圖譜49朱麗亞集圖譜50515253圖18高維朱麗亞集54圖19高維朱麗亞集的投影圖55朱麗亞集圖譜56575859分形項鏈60616263東方龍6465666768分形樹69分形山70分形島71分形花72分形畫73分形畫74

結束語分形理論是一門重要的新學科，它的歷史很短，但是卷入分形狂潮的除數(shù)學家和物理學家外，還有化學家、生物學家、地貌學與地震學家、材料學家等，在社會科學與人文科學方面，大批哲學家、經(jīng)濟學家、金融學家乃至作家畫家和電影制作家都蜂擁而入。著名的電影“星球大戰(zhàn)”就是利用分形技術創(chuàng)作的。75

由于分形的最重要