高考數(shù)學 考點一遍過 專題23 等比數(shù)列及其前n項和（含解析）理試題

專題23等比數(shù)列及其前n項和（1）理解等比數(shù)列的概念.（2）掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.一、等比數(shù)列1．等比數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．注意：（1）等比數(shù)列的每一項都不可能為0；（2）公比是每一項與其前一項的比，前后次序不能顛倒，且公比是一個與無關的常數(shù).2．等比中項如果在與中間插入一個數(shù)，使，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項，此時．3．等比數(shù)列的通項公式及其變形首項為，公比為的等比數(shù)列的通項公式是．等比數(shù)列通項公式的變形：．4．等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系等比數(shù)列的通項公式還可以改寫為，當且時，是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)型函數(shù)，因此數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一些孤立的點．當或時，是遞增數(shù)列；當或時，是遞減數(shù)列；當時，為常數(shù)列；當時，為擺動數(shù)列，所有的奇數(shù)項（偶數(shù)項）同號，奇數(shù)項與偶數(shù)項異號．二、等比數(shù)列的前n項和公式首項為，公比為的等比數(shù)列的前項和的公式為（1）當公比時，因為，所以是關于n的正比例函數(shù)，則數(shù)列的圖象是正比例函數(shù)圖象上的一群孤立的點．（2）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，即，設，則上式可寫成的形式，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點．由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和是一個關于n的指數(shù)型函數(shù)與一個常數(shù)的和，且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)．三、等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前n項和為，則有如下性質(zhì)：（1）若，則；若，則．推廣：若，則．（2）若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列．（3）數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．（4）成等比數(shù)列，公比為．（5）連續(xù)相鄰項的和（或積）構(gòu)成公比為或的等比數(shù)列．（6）當時，；當時，．（7）．（8）若項數(shù)為，則，若項數(shù)為，則．（9）當時，連續(xù)項的和（如）仍組成等比數(shù)列（公比為，）．注意：這里連續(xù)m項的和均非零．考向一等比數(shù)列的判定與證明等比數(shù)列的判定與證明常用的方法：（1）定義法：為常數(shù)且數(shù)列是等比數(shù)列．（2）等比中項法：數(shù)列是等比數(shù)列．（3）通項公式法：數(shù)列是等比數(shù)列．（4）前項和公式法：若數(shù)列的前項和，則該數(shù)列是等比數(shù)列．其中前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中．注意：（1）若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．（2）只滿足的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要.典例1設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于任意的正整數(shù)n都有Sn=2an-3n,設bn=an+3.求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求an.1．已知各項為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=1,(an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),證明：{an+1}是等比數(shù)列.考向二等比數(shù)列的基本運算等比數(shù)列基本量的計算是解等比數(shù)列題型時的基礎方法，在高考中常有所體現(xiàn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)在解答題的第（1）問中，屬基礎題.（1）等比數(shù)列的基本運算方法：①等比數(shù)列由首項與公比確定，所有關于等比數(shù)列的計算和證明，都可圍繞與進行．②對于等比數(shù)列問題，一般給出兩個條件，就可以通過解方程(組)求出與，對于五個基本量，如果再給出第三個條件就可以“知三求二”．（2）基本量計算過程中涉及的數(shù)學思想方法：①方程思想．等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式聯(lián)系著五個基本量，“知三求二”是一類最基本的運算，通過列方程(組)求出關鍵量和q，問題可迎刃而解．②分類討論思想．等比數(shù)列的前項和公式為，所以當公比未知或是代數(shù)式時，要對公比分和進行討論.此處是?？家族e點，一定要引起重視．③整體思想．應用等比數(shù)列前n項和公式時，常把，當成整體求解.典例2已知是等比數(shù)列，且，，則等于A．B．24C．D．48【答案】B典例3設是等比數(shù)列的前項和，，則公比A．B．C．或D．或【答案】C【解析】，又解得或，選C.2．設公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前項和為Sn，若S2A．B．C．D．考向三求解等比數(shù)列的通項及前n項和1．求等比數(shù)列的通項公式，一般先求出首項與公比，再利用求解．但在某些情況下，利用等比數(shù)列通項公式的變形可以簡化解題過程．求解時通常會涉及等比數(shù)列的設項問題，常用的設項方法為：（1）通項法．設數(shù)列的通項公式來求解；（2）對稱設元法：若所給等比數(shù)列的項數(shù)為且各項符號相同，則這個數(shù)列可設為，…，，，，…，；若所給等比數(shù)列的項數(shù)為，則這個數(shù)列可設為，…，，…，.2．當時，若已知，則用求解較方便；若已知，則用求解較方便.3．（1）形如的遞推關系式，利用待定系數(shù)法可化為，當時，數(shù)列是等比數(shù)列；由，兩式相減，得當時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．（2）形如的遞推關系式，除利用待定系數(shù)法直接化歸為等比數(shù)列外，也可以兩邊同時除以，進而化歸為等比數(shù)列．典例4已知等比數(shù)列的前項和為，且，則A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，解得，那么，，所以，故選D.典例5已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.∴.3．在數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．考向四等比數(shù)列的性質(zhì)的應用等比數(shù)列的性質(zhì)是高考考查的熱點之一，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解可使題目減少運算量，題型以選擇題或填空題為主，難度不大，屬中低檔題，主要考查通項公式的變形、等比中項的應用及前n項和公式的變形應用等.注意：（1）在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．（2）在應用相應性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用.典例6在等比數(shù)列中，是方程的根，則A．B．2C．1D．【答案】A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，故，故選A.典例7已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則_______．【答案】140方法2：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可得，即，解得，所以．方法3：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可知，，成等比數(shù)列，則，即，解得．4．已知為等比數(shù)列，，，則A．7B．5C．D．考向五數(shù)列的新定義問題數(shù)列新定義問題能充分考查對信息的閱讀、提取及轉(zhuǎn)化能力，綜合性強，難度較高，在實際問題中往往需要對題目進行閱讀，再借助定義進行轉(zhuǎn)化即可進行求解．對于此類問題，應先弄清問題的本質(zhì)，然后根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)以及解決數(shù)列問題時常用的方法即可解決．典例8若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)．（1）證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為，求；（3）在（2）的條件下，記，設數(shù)列的前n項和為，求使成立的n的最小值．則（3）由（2）知，，又，即，即，又，所以，故使成立的n的最小值為．1．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，若，且，則數(shù)列的公比A．2或B．2C．D．-22．在等比數(shù)列中，，，，則項數(shù)為A．3B．4C．5D．63．各項為正的等比數(shù)列中，與的等比中項為，則的值為A．4B．3C．2D．14．在等比數(shù)列中，已知，則的值為A． B．C． D．5．在等比數(shù)列{an}中,a1=4,公比q≠1,前n項和為Sn,若數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列,則q等于A．2B．C．3D．6．設正項等比數(shù)列的前項和為，且，若，則A．B．C．D．7．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，此日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見此日行數(shù)里，請公仔仔細算相還”，其意思為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，請問第二天走了A．96里B．48里C．192里D．24里8．在等比數(shù)列中，若，且，則=A．B．C．D．69．若數(shù)列滿足，則__________．10．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則__________．11．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．12．已知數(shù)列an}為等比數(shù)列，a1（1）求an（2）若數(shù)列bn}滿足bn1．（2017新課標全國II理科）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞2．（2017江蘇）等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前項和為，已知，則__________．3．（2017新課標全國Ⅲ理科）設等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．變式拓展變式拓展1．【解析】因為(an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),且an>0,所以an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),所以an+1=3(an-1+1)(n≥2),所以=3.又a1+1=2,故數(shù)列{an+1}是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列.2．【答案】B【解析】S4-S2=a3+a4=3a4-3a2，即3a解得a13．【解析】（1），所以數(shù)列是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，則．（2）因為，所以．4．【答案】C考點沖關考點沖關1．【答案】B【解析】由等比數(shù)列的定義可得，即，解之得，故選B.2．【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式有，解得，故選C.3．【答案】B【解析】由等比數(shù)列中，與的等比中項為，得，又，故選B．4．【答案】B【解析】，，，，故選B．5．【答案】C【解析】由數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列可得S1+2,S2+2,S3+2成等比數(shù)列,則(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),代入等比數(shù)列的前n項和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12,解得q=3(q=0舍去).6．【答案】C【解析】由，得，即數(shù)列為遞減數(shù)列，由得，故可得，即，，，故，故選C.7．【答案】A【解析】記每天走的路程里數(shù)為，易知是公比的等比數(shù)列，由題意知，故選A.8．【答案】A9．【答案】【解析】由題意得，所以，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2.由已知得，則，因此．10．【答案】50【解析】由題意知，所以，因此，因此.11．【解析】（1）∵，∴時，，即，解得；時，①，②，由①-②得，.∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則.（2）由（1）知，