第13-課時(shí)-相似三角形水平測試評析

第13課時(shí)相似三角形水平測試局部試題分析1.掌握比例及其性質(zhì)、平行線分線段成比例定理.3.能利用四邊形、三角形相似的判定及性質(zhì)進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明.2.記住相似三角形的五種判定方法和根本相似圖形.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：三角形相似判定、性質(zhì)的運(yùn)用學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三角形相似的判定及性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)相似單元檢測題存在失誤分析1.相似三角形與全等三角形類似即具有傳遞性2.相似三角形的判定定理與性質(zhì)的熟練運(yùn)用問題.3.當(dāng)探究一個(gè)特殊值取何值時(shí)兩個(gè)三角形相似，這就需要分類討論.特別是它們有一個(gè)公共角時(shí)，通常用夾這個(gè)角的兩邊比相等來完成.注意不要出現(xiàn)漏解現(xiàn)象.4.有關(guān)三角形內(nèi)線段比的計(jì)算方法問題.5.運(yùn)算能力的提升問題.6.標(biāo)準(zhǔn)解答試題的問題.12.如圖,△ABC中,AB=6,AC=4,點(diǎn)P為AC的中點(diǎn),過P點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)Q,假設(shè)以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形和以A,B,C為頂點(diǎn)的三角形相似,那么AQ的長為_______.BACP●解析：在線段AB上取一點(diǎn)Q,那么線段PQ與邊AB的關(guān)系沒有明確，因此，需分類討論.BACP●QBACP●Q①假設(shè)△AQP∽△ABC時(shí),如上圖所示②假設(shè)△AQP∽△ACB時(shí),如上圖所示19.△ABC,延長BC到D,使CD=BC.取AB的中點(diǎn)F,連接FD交AC于點(diǎn)E.(2)假設(shè)AB=a,FB=EC，求AC的長.ABCDEF解析：(1)此題是三角形內(nèi)線段比的問題.欲求線段AE與AC的比.而點(diǎn)E,F,C是線段成比例的分界點(diǎn).如果知道其中任意兩條線段被分點(diǎn)分成的比,就可以求出其它任一線段被分點(diǎn)所分成的比.此題解決的方法是：利用平行線(作輔助線).即過三角形邊上的點(diǎn)作欲求分比線段的平行線,構(gòu)成兩對相似三角形.ABCDEFGABCDEFGH20.一天晚上,李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如下圖,當(dāng)李明走到點(diǎn)A時(shí),張龍測得李明直立時(shí)身高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走,到點(diǎn)B處時(shí),李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB,并測得AB=1.25m.李明直立時(shí)身高為1.75m,求路燈的高度CD.(結(jié)果精確到0.1m)ABCDMEN∟∟∟解析：由題意知△CDE是等腰直角三角形,因此CD=CE.設(shè)CD=CE=x.那么AC=CE-AE=x-1.75易證△ABN∽△ACD.一、比例根本性質(zhì)的運(yùn)用1.假設(shè)2a=3b=4c,且abc≠0,那么的值是【】解析：此題是求代數(shù)式的值，可將a、b、c三個(gè)數(shù)中，用其中一個(gè)字母的代數(shù)式表示另外兩個(gè)字母，然后代入化簡即可.∵2a=3b=4cB跟蹤練習(xí)1.如圖，在△ABC中，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)〔P異于A,B〕，過點(diǎn)P的一條直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的△ABC的相似線.如圖，∠A=36°，AB=AC,當(dāng)點(diǎn)P在AC的垂直平分線上時(shí)，過點(diǎn)P的△ABC的相似線最多有______條3二、確定三角形相似時(shí)考慮問題應(yīng)全面，不漏解P∟ABC2.如圖,△ABC中,AB=AC=BC=6，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N,使△AMN與△ABC相似，求MN的長.1.如圖，P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B,C的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線截△ABC使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣的直線共有【】3跟蹤練習(xí)PABC●∟CBAM●解析：在線段AC上取一點(diǎn)N,那么線段MN與邊BC的關(guān)系沒有明確，因此，需分類討論.1.如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點(diǎn)M在AB邊上,且AM=3,過點(diǎn)M作直線與三角形的另一邊交于點(diǎn)N.假設(shè)截得的三角形與原三角形相似，求MN的長.(1)當(dāng)點(diǎn)N在AC邊時(shí)，有以下兩種情況：BACM●BACM●①N解析：此題只說過點(diǎn)M作直線MN與三角形的另一邊交于點(diǎn)N,并沒有指明直線MN怎樣作，即與三角形的哪一邊相交于點(diǎn)N,因此，需分類討論.①假設(shè)△AMN∽△ABC時(shí)解得，MN=4.1.如圖,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,點(diǎn)M在AB邊上,且AM=3,過點(diǎn)M作直線與三角形的另一邊交于點(diǎn)N.假設(shè)截得的三角形與原三角形相似，求MN的長.BACM●BACM●②N②假設(shè)△AMN∽△ACB時(shí)解得，MN=6.1.如圖，在△ABC中,AB=9，AC=6，BC=12，點(diǎn)M在AB邊上,且AM=3,過點(diǎn)M作直線與三角形的另一邊交于點(diǎn)N.假設(shè)截得的三角形與原三角形相似，求MN的長.(2)當(dāng)點(diǎn)N在BC邊時(shí)，有以下兩種情況：BACM●①假設(shè)△BMN∽△BAC時(shí)解得，MN=4.BACM●③N∵AB=9，AM=3,∴BM=AB-AM=9-3=61.如圖，在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,點(diǎn)M在AB邊上,且AM=3,過點(diǎn)M作直線與三角形的另一邊交于點(diǎn)N.假設(shè)截得的三角形與原三角形相似，求MN的長.歸納：解決三角形相似的問題時(shí)，有些題目只要求兩個(gè)三角形相似，而沒有明確要求對應(yīng)關(guān)系，這時(shí)需要分類討論BACM●BACM●④N②假設(shè)△BMN∽△BCA時(shí)∵AB=9，AM=3,∴BM=AB-AM=9-3=6解得，MN=3.綜上所述：MN的長為6或3或4.2.在△ABC中,AB=6,AC=9D在邊AB所在的直線上,且AD=2,過點(diǎn)D作DE∥BC交邊AC所在直線于點(diǎn)E,求CE的長.解析：因點(diǎn)D在邊AB所在的直線上，點(diǎn)D的位置沒有確定，因此應(yīng)分類討論.①假設(shè)點(diǎn)D在線段AB上，如上圖所示解得AE=3.∵AC=9，AE=3∴CE=AC-AE=9-3=6BACD●EBACD●∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC2.在△ABC中,AB=6,AC=9D在邊AB所在的直線上,且AD=2,過點(diǎn)D作DE∥BC交邊AC所在直線于點(diǎn)E,求CE的長.②假設(shè)點(diǎn)D在線段AB上，如上圖所示解得AE=3.∵AC=9，AE=3∴CE=AC+AE=9+3=12BACBACD●E∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC綜上所述：CE的長為6或12.1.如圖，在△ABC中，EF∥BC,AD∥BC,連接CE并延長，交AD于D,假設(shè)AD=BC.三、運(yùn)用相似三角形性質(zhì)、判定進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明〔1〕求EF:BC的值；CBADEF解析：∵AD∥BC

∴△ADE∽△BCE又∵EF∥BC

即EF:BC=1:3.〔2〕求S△AEF:S△BCE的值.1.如圖，在△ABC中，EF∥BC,AD∥BC,連接CE并延長，交AD于D,假設(shè)AD=BC.CBADEF解析：∵EF∥BC

∴△AME∽△ENB∴∠1=∠B〔1過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)NNM那么∠AME=∠ENB=90°2.如圖,點(diǎn)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),過點(diǎn)M分別作直線平行于△ABC的各邊，所形成的三個(gè)小三角形△1、△2、△3〔圖中陰影局部〕的面積分別是1,4,9.那么△ABC的面積是【】設(shè)DN=a,GH=b,NE=c解析：由條件可判定△FDN∽△MNE∽△NGH.∴b=3a,c=2aBACDEGFMHN△1△2△3∴S△ABC=36再由△FDN∽△ABC.得∴b=3a,c=2aBACDEGFMHN△1△2△3∴BC=BG+GH+HC=a+3a+2a=6a解后歸納：利用相似三角形的性質(zhì)，面積的比等于相似比的平方.設(shè)好一個(gè)三角形邊長的參數(shù)，用這個(gè)參數(shù)表示另外兩個(gè)三角形的邊長,最后再用面積比等于相似比的平方解決問題.3.如圖，在△ABC中,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC=6,CE=5，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D,∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q,當(dāng)EP+BP=18時(shí)，那么CQ的長為_____.延長BQ交EF的延長線于點(diǎn)M.∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴

EF∥BC解析：條件有平行線和角平分線，通?？蓸?gòu)成等腰三角形.BACEFPQD（（12BACEFPQD（（12M）∴△MEQ∽△BCQ3.如圖，在△ABC中,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),BC=6,CE=5，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D,∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q,當(dāng)EP+BP=18時(shí)，那么CQ的長為_____.設(shè)CQ=x,那么EQ=CE-CQ=5-x.∵∠1=∠2，∠2=∠M∴∠1=∠MBACEFPQD（（12BACEFPQD（（12M）∴PB=PM,∴EP+BP=EP+PM=EM=184.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BD是⊙O的直徑，AC與BD相交于點(diǎn)E，AC=BC,DE=3，AD=5，那么⊙O的半徑為____.

●ABDCOE解析：∵AC=BC,∴△ABC是等邊三角形.連接CO并延長交AB于點(diǎn)F,那么CF⊥ABF∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°,即AD⊥AB∴

OF∥AD∴△ADE∽△COE設(shè)OC=x,那么OD=OC=x,∴OE=OD-DE=x-35.如圖，在△ABC中，∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE.〔2〕當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：EC⊥BC.BCADE解析：∵∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABC5.如圖，在△ABC中，∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE.〔2〕當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：EC⊥BC.∴△ABD∽△ACEABDCE∟又∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠CAE∴∠B=∠ACE又∠BAC=90°∴∠B+∠ACB=90°∴∠ACE+∠ACB=90°即∠BCE=90°∴EC⊥BC.6.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與B,C重合〕，EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分別為F,G.（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：EC⊥BC.F解析：∵∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABCBCADEGF6.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與B,C重合〕，EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分別為F,G.〔2〕FD與DG是否垂直？假設(shè)垂直，請給出證明；假設(shè)不垂直，請說明理由；F解析：∵∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABCBCADEGF6.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與B,C重合〕，EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分別為F,G.〔3〕當(dāng)AB=AC時(shí),△FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由.F解析：∵∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABCABCGFDE7.如圖，AD是△ABC的中線，將BC邊所在的直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角,交邊AB于點(diǎn)M,交射線AC于點(diǎn)N,設(shè)AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0).(1)如圖①當(dāng)△ABC為等邊三角形且α=30°時(shí)求證：△AMN∽△DMA；∵∠BAC=∠B=60°∴△AMN∽△DMAAB