初中 八年級(jí) 三角形 拔高題 綜合題 壓軸題(含答案)

初中八年級(jí)三角形拔高題綜合題壓軸題(含答案)1.在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．(1)當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)。解：由∠B＝∠C＝45°，可得∠A＝90°，則∠ADE＝∠AED＝45°，∠DAE＝90°-45°＝45°，因此△ADE為等腰直角三角形，所以DE＝AE.又因?yàn)椤螧AD＝60°，所以∠BAE＝∠BEA＝60°/2＝30°，∠AEB＝90°-30°＝60°，∠EDC＝∠B＝45°，因此∠CDE＝∠AEB-∠EDC＝60°-45°＝15°.(2)當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。解：當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAD和∠CDE都會(huì)發(fā)生變化，但它們的和∠BAE不變，因?yàn)樗嵌ㄖ?0°，所以∠BAD和∠CDE之間不存在數(shù)量關(guān)系。(3)深入探究：如圖②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系。解：當(dāng)∠B＝∠C時(shí)，∠A＝90°，∠ADE＝∠AED，所以△ADE為等腰三角形，因此DE＝AE.又因?yàn)椤螧AE＝∠BEA，所以∠BAD＝2∠BAE，∠CDE＝∠AEB-∠EDC＝2∠BAE-∠B＝∠BAD-∠B＝∠BAD-∠C.因此∠BAD與∠CDE之間存在線性關(guān)系，即∠BAD＝∠CDE+∠C.2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度數(shù)。解：由AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，又因?yàn)椤螧＝35°，∠ACB＝85°，所以∠BAD＝(180°-85°-35°)/2＝30°，∠BAC＝2∠BAD＝60°.又因?yàn)镻E⊥AD，所以∠APE＝90°，又∠PAE＝∠PAC＝(180°-∠BAC)/2＝60°，所以∠APE＝30°，因此∠E＝∠B-∠APE＝35°-30°＝5°.(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），求∠E的大小。（用含α、β的代數(shù)式表示）解：同理可得∠BAD＝(180°-β-α)/2，∠BAC＝2∠BAD＝180°-β-α，∠PAE＝(180°-β-α)/2，∠APE＝90°-∠PAE＝(β+α)/2，∠E＝∠B-∠APE＝α-(β+α)/2＝(α-β)/2.因此，∠E＝(α-β)/2.3.已知如圖①，BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，∠BAC＝α．(1)當(dāng)α＝40°時(shí)，∠BPC＝？，∠BQC＝？；解：由BP、CP分別是∠CBD、∠BCE的角平分線，可得∠PBC＝∠PBD，∠PCB＝∠PCE，又因?yàn)锽Q、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，所以BQ＝BP，CQ＝CP.又因?yàn)锽M、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，所以∠MBP＝∠PBC/2＝∠PBD/2＝∠MBQ，∠NCQ＝∠PCB/2＝∠PCE/2＝∠NCB.因此，△MBP≌△MBQ，△NCQ≌△NCB，所以MP＝MQ，NQ＝NC，MB＝NB，NC＝NC.又因?yàn)锽P、CP是△ABC的外角平分線，所以∠BPC＝180°-∠A，∠BQC＝180°-∠A，因此當(dāng)α＝40°時(shí)，∠BPC＝140°，∠BQC＝140°.(2)當(dāng)α＝60°時(shí)，BM∥CN；解：由BP、CP分別是∠CBD、∠BCE的角平分線，可得∠PBC＝∠PBD，∠PCB＝∠PCE，又因?yàn)锽M、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，所以∠MBP＝∠PBC/2＝∠PBD/2＝∠MBQ，∠NCQ＝∠PCB/2＝∠PCE/2＝∠NCB.因此，△MBP≌△MBQ，△NCQ≌△NCB，所以MP＝MQ，NQ＝NC，MB＝NB，NC＝NC.又因?yàn)锽P、CP是△ABC的外角平分線，所以∠BPC＝180°-∠A，∠BQC＝180°-∠A，因此∠BPC＝∠BQC，即BPQC為平行四邊形，所以BM∥CN.(3)如圖②，當(dāng)α＝120°時(shí)，BM、CN所在直線交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；解：同理可得，△MBP≌△MBQ，△NCQ≌△NCB，所以MP＝MQ，NQ＝NC，MB＝NB，NC＝NC.又因?yàn)锽P、CP是△ABC的外角平分線，所以∠BPC＝180°-∠A，∠BQC＝180°-∠A，因此∠BPC＝∠BQC，即BPQC為平行四邊形，所以BM∥CN.又因?yàn)锽M、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，所以∠PBM＝∠PBD/2＝∠PCE/2＝∠PCN，因此BPNC為圓周上的四邊形，所以∠BOC＝∠BPC＝60°.(4)在α＞60°的條件下，直接寫出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數(shù)量關(guān)系：∠BPC＝∠BQC＝180°-α/2，∠BOC＝90°-α/2.4.“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，即把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題．(1)請(qǐng)你根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)求出下面星形圖（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)；解：把星形圖（1）中的五邊形分成三個(gè)三角形，如圖所示：則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.(2)若對(duì)圖（1）中星形截去一個(gè)角，如圖（2），請(qǐng)你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；解：把星形圖（2）中的六邊形分成四個(gè)三角形，如圖所示：則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.(3)若再對(duì)圖（2）中的角進(jìn)一步截去，你能由題（2）中所得的方法或規(guī)律，猜想圖3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度數(shù)嗎？只要寫出結(jié)論，不需要寫出解題過(guò)程。解：由題（2）可知，無(wú)論如何截去角，星形圖的內(nèi)角和都為180°，因此，圖3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度數(shù)也為180°.5.直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．(1)如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，①當(dāng)∠ABO＝60°時(shí)，求∠AEB的度數(shù)；②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況：若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大??；解：由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，可得∠BAE＝∠EAO，∠ABE＝∠OBE，又因?yàn)椤螦BO＝60°，所以∠BAE＝∠EAO＝30°，∠ABE＝∠OBE＝60°-30°＝30°，因此∠AEB＝∠BAE+∠ABE＝60°.(2)點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，因?yàn)椤螧AO和∠ABO都是定值，所以∠AEB也是定值，即∠AEB＝60°.2.如圖2，已知延長(zhǎng)BA至G，∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線相交于E、F。在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠ABO的度數(shù)。延長(zhǎng)BA至G后，連接OG。由角平分線定理可知，∠BAE=∠EAG，∠OAF=∠FAG，∠ABO=∠OBC，∠BOQ=2∠BCO。在△AEF中，設(shè)∠EAF=x，則∠AEF=2x，∠AFE=180°-3x。由角度和為180°可得，∠A=90°-x。又因?yàn)椤螦BO=∠OBC，所以∠OBC=45°-0.5x。又∠BOQ=2∠BCO，所以∠BOQ=90°-x。由此得到x=30°，代入可得∠ABO=60°。6.如圖，點(diǎn)C、D分別在∠AOB的OA、OB邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）。射線CE與射線DF分別在∠ACD和∠CDO內(nèi)部，延長(zhǎng)EC與DF交于點(diǎn)F。(1)若∠AOB=90°，CE、DF分別是∠ACD和∠CDO的平分線，猜想：∠F的度數(shù)是否隨C、D的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由。答：∠F的度數(shù)不隨C、D的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化。因?yàn)椤螦CD和∠CDO的平分線相交于點(diǎn)O，所以∠FOD=90°，又因?yàn)镃E和DF分別是∠ACD和∠CDO的平分線，所以∠FOD=2∠FCD=2∠FCE，因此∠FCE=∠FCD=45°，即∠F=90°。(2)若∠AOB=α°（＜α＜180），∠ECD=θ°。∠ACD，∠CDF=∠CDO，則∠F=？∠ACD=180°-α-θ，∠CDF=180°-α-θ，∠CDO=α-θ，∠ECF=2θ，∠FCD=0.5(∠CDF-∠ECF)=0.5(α-2θ)，∠FCE=0.5(∠ACD-∠ECF)=90°-α+θ，∠F=∠FCE+∠FCD=90°-θ。7.在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC。(1)如圖，點(diǎn)D在線段BC上。①若∠B＝70°，∠C＝30°，則∠DAE＝40°；②若∠B＝α，∠C＝β，則∠DAE＝0.5(180°-α-β)。(2)如圖2，若點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若∠ABC＝α，∠C＝β，則∠DAE=0.5(α+β)。22.閱讀理解：請(qǐng)你參與下面探究過(guò)程，完成所提出的問(wèn)題。（Ⅰ）問(wèn)題引入：如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A＝70°，則∠BOC＝40°；若∠A＝α，則∠BOC＝（180°-α）/2；（Ⅱ）類比探究：如圖②，在△ABC中，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α。試探究：∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理由。由圖①可得，∠BOC=180°-∠A-2∠BAC=180°-∠A-2∠ABC=180°-∠A-2(180°-∠A)/3=40°+(2/3)∠A。由此得到∠BOC=(180°-α)/2=90°-0.5α，所以0.5α=90°-∠BOC，即α=180°-2∠BOC。（Ⅲ）知識(shí)拓展：如圖③，BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度數(shù)（用含α、n的代數(shù)式表示）。由圖③可得，∠BOC=∠DBC+∠ECB=(n+1)∠ABC/n+∠A=α+(n+1)∠ABC/n。1.【探究】(1)在三角形ABC中，BD和BE均平分∠ABC，CD和CE均平分∠ACB，若∠A=a°，則∠BEC=60°-a/2。(2)在三角形ABC中，O是∠ABC和∠ACD的平分線的交點(diǎn)，因此∠BOC=2∠A。(3)在三角形ABC中，O是∠DBC和∠BCE的平分線的交點(diǎn)，因此∠BOC=180°-∠A。2.【解答】在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)A在y軸上，端點(diǎn)B在x軸上，BF平分∠ABO并與三角形ABO的外角平分線AE所在的直線交于點(diǎn)F。由于∠ABO=60°，因此∠B=120°。根據(jù)三角形ABO的角度和為180°，得到∠A=60°。由于AE是∠ABO的外角平分線，因此∠BAE=30°。由于BF是∠ABO的平分線，因此∠FBO=30°，∠ABF=60°。因此三角形ABF是等邊三角形，∠F=60°。同時(shí)剩下的角度為360°-180×5°=90°，即剩下一個(gè)角。（4）∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，可得∠B+∠C+∠D+∠E=180°-∠A。同理，∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，可得∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°-∠A。將兩式相減，得∠F=180°，即F為直角。（5）∵∠B+∠C+∠D+∠E=180°-∠A，又∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°-∠A，∴∠F=180°，即F為直角。∠BAE＝∠CAE＝40°，∴∠BEA＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝100°．答：∠BEA的度數(shù)是100°．②如圖，∵∠A＝60°，∠C＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵BE垂直AC，∴∠EBC＝∠ACB＝15°，∴∠BCE＝∠BEC＝75°，∴∠CEB＝180°﹣∠BCE﹣∠EBC＝90°．答：∠CEB的度數(shù)是90°．（2）如圖，∵∠BAC＝80°，∠CAB＝50°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠BCA＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝50°，∴∠ACB＝80°﹣50°＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝40°，∴∠BEA＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝100°．答：∠BEA的度數(shù)是100°．在△ACD中，根據(jù)角度和為180度的性質(zhì)，可以得到∠ACB=∠CAD+∠D=∠DAE-∠CAE+90°。因?yàn)锳E平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE。將此代入上式，得到∠CAE=∠DAE+90°-∠ACB。進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得∠ACB=∠B+2∠DAE，即∠DAE=(∠ACB-∠B)，所以∠DAE=(β-α)。11．【解答】已知∠A=82°，根據(jù)角度和為180度的性質(zhì)，可以得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°。因?yàn)锽E平分∠ABC，CE平分∠ACB，所以∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB。將此代入上式，得到∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=98°，因此∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=131°。又因?yàn)锽D和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，所以∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB。將此代入三角形的內(nèi)角和定理，可得∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=180°-a°，因此∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=90°+a°。所以答案為：131°，90°+a°。探究：（1）同樣根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可以得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a°。因?yàn)锽D和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，所以∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB。將此代入三角形的內(nèi)角和定理，可得∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=180°-a°，因此∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=60°+a°。所以答案為：60°+a°。（2）因?yàn)镺是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，所以根據(jù)平分線定理可得∠BOC=∠A/2=41°。（3）因?yàn)镺是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，所以根據(jù)平分線定理可得∠OBC=(180°-∠ABC)=90°-a°，∠OCB=(180°-∠ACB)=90°-b°。將此代入∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，可得∠BOC=90°-∠A。因此∠BOC=90°-∠A。在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(90°-∠ABC)-(90°-∠ACB)=(∠ABC+∠ACB)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，所以∠BOC=(180°-∠A)=90°-∠A。