中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)全攻略：第五講 圖形的相似

第五講圖形的相似知識點一：比例線段1.比例線段注意：列比例等式時，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂.在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．注意：列比例等式時，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂.2.比例的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)：?ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性質(zhì)：?＝；（b、d≠0）(3)等比性質(zhì)：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?比和比例順口溜

兩數(shù)相除也叫比，兩比相等叫比例。

外項積等內(nèi)項積，等積可化八比例。

分別交換內(nèi)外項，統(tǒng)統(tǒng)都要叫更比。

同時交換內(nèi)外項，便要稱其為反比。

前后項和比后項，比值不變叫合比。

前后項差比后項，組成比例是分比。

兩項和比兩項差，比值相等合分比。

前項和比后項和，比值不變叫等比。

＝k.（b、d、···、n比和比例順口溜

兩數(shù)相除也叫比，兩比相等叫比例。

外項積等內(nèi)項積，等積可化八比例。

分別交換內(nèi)外項，統(tǒng)統(tǒng)都要叫更比。

同時交換內(nèi)外項，便要稱其為反比。

前后項和比后項，比值不變叫合比。

前后項差比后項，組成比例是分比。

兩項和比兩項差，比值相等合分比。

前項和比后項和，比值不變叫等比。

注意：已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中的一個表示出其他的字母，再代入求解.變式練習(xí)1：若，則.注意：已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中的一個表示出其他的字母，再代入求解.解：設(shè)a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a=3/5b代入求解.3.平行線分線段成比例定理（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則.（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若AB∥CD，則.解比例順口溜

外項積等內(nèi)項積，列出方程并解之。

解比例順口溜

外項積等內(nèi)項積，列出方程并解之。

求比值順口溜

由已知去求比值，多種途徑可利用。

活用比例七性質(zhì)，變量替換也走紅。

消元也是好辦法，殊途同歸會變通。注意：利用平行線所截線段成比例求線段長或線段比時，注意根據(jù)圖形列出比例等式，靈活運用比例基本性質(zhì)求解.如圖所示，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.變式練習(xí)1：如圖，已知D，E分別是△ABC的邊BC和AC上的點，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD應(yīng)等于.變式練習(xí)2：如圖，已知直線a∥b∥c，直線m交直線a，b，c于點A，B，C，直線n交直線a，b，c于點D，E，F(xiàn)，若eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,2)，則eq\f(DE,EF)＝(B)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．1,變式練習(xí)3：如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么eq\f(BC,CE)的值等于___eq\f(3,5)___.,第3題圖)4.黃金分割點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝=eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，那么線段AB被點C黃金分割．其中點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．變式練習(xí)：把長為10cm的線段進(jìn)行黃金分割，那么較長線段長為5(－1)cm．5.證四條線段成比例的技巧：（1）.巧作平行線證相似：變式練習(xí)：在ABC中，AD為BC邊上的中線，F(xiàn)為AD上任意一點，直線CF交AB于E。求證：AE:AB=EF:FC（2）.三點定形法確定相似三角形變式練習(xí)：CD是RtABC斜邊上的高，E是AC的中點，ED,CB的延長線交于點F，求證：FB?CD=FD?DB（3）.用等線段替換變式練習(xí)：（4）.巧用面積證比例式:變式練習(xí)：AD是ABC的角平分線。求證：知識點二：相似三角形的性質(zhì)與判定1.相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”來表示，讀作“相似于”。相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。用數(shù)學(xué)語言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等價關(guān)系：（1）反身性：對于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）對稱性：若△ABC∽△A’B’C’，則△A’B’C’∽△ABC（3）傳遞性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，則△ABC∽△A’’B’’C’’3.相似三角形的判定(1)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似(AAA).如圖，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF.(2)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．如圖，若∠A＝∠D，，則△ABC∽△DEF.注意：判定三角形相似的思路：件中若有平行線，可用平行線找出相等的角而判定；條件中若有一對等角，可再找一對等角或再找夾這對等角的兩組邊對應(yīng)成比例；條件中若有兩邊對應(yīng)成比例可找夾角相等；條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明直角邊和斜邊對應(yīng)成比例；注意：判定三角形相似的思路：件中若有平行線，可用平行線找出相等的角而判定；條件中若有一對等角，可再找一對等角或再找夾這對等角的兩組邊對應(yīng)成比例；條件中若有兩邊對應(yīng)成比例可找夾角相等；條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明直角邊和斜邊對應(yīng)成比例；條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對底角相等或找底、腰對應(yīng)成比例.4.相似三角形的性質(zhì)(1)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．(3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比等于相似比．變式練習(xí)(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為2，則△ABC與△DEF的面積之比為9：4.(2)如圖，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，則AF:AG=1：2.5.相似三角形的基本模型注意：（1）熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形，可以迅速找到解題思路，事半功倍.注意：（1）熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形，可以迅速找到解題思路，事半功倍.（2）證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個三角形的對應(yīng)邊.然后，通過證明這兩個三角形相似，從而得出結(jié)果（1）如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）（2）相似多邊形的性質(zhì)①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例②相似多邊形周長的比、對應(yīng)對角線的比都等于相似比③相似多邊形中的對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比④相似多邊形面積的比等于相似比的平方變式練習(xí)1：若兩個相似三角形的周長比為2∶3，則它們的面積比是________．【解析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，得它們的面積比為：(2∶3)2＝4∶9.變式練習(xí)2：已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為eq\f(3,4)，則△ABC與△DEF對應(yīng)中線的比為(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(9,16)D.eq\f(16,9)變式練習(xí)3：如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，下列說法中不正確的是(D)A．DE＝eq\f(1,2)BCB.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)C．△ADE∽△ABCD．S△ADE∶S△ABC＝1∶2變式練習(xí)4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(－3，6)，B(－9，－3)，以原點O為位似中心，相似比為eq\f(1,3)，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是(D)A．(－1，2)B．(－9，18)C．(－9，18)或(9，－18)D．(－1，2)或(1，－2),變式練習(xí)5：如圖，已知△ABC和△DEC的面積相等，點E在BC邊上，DE∥AB交AC于點F，AB＝12，EF＝9，則DF的長是多少？解：∵△ABC與△DEC的面積相等