2023年四川省宜賓市中考數學真題試卷(解析版)

2023年四川省宜賓市中考數學真題試卷及答案（考試時間：120分鐘，全卷滿分：150分）注意事項：1．答題時，務必將自己的姓名、座位號，準考證號填寫在答題卡指定的位置并將答題卡背面座位號對應標號涂黑．2．答選擇題時，務必使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，務必使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡規(guī)定的位置上作答，在試卷上答題無效．一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡對應題目上．1.2的相反數是（）A.2 B.－2 C. D.【答案】B【解析】2的相反數是-2.故選：B.2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據整式的加減計算即可．A.，不符合題意；B.，符合題意；C.不是同類項，無法計算，不符合題意；D.，不是同類項，無法計算，不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查了整式的加減，熟練掌握同類項的判定與合并是解題的關鍵．3.下列圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．解：A.是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故A選項不符合題意；B.是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故B選項不合題意；C.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故D選項符合題意．故選D．【點撥】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義.4.為積極踐行節(jié)能減排的發(fā)展理念，宜賓大力推進“電動宜賓”工程，2022年城區(qū)已建成充電基礎設施接口超過8500個．將8500用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數，比位數少1位，按要求表示即可．解：根據科學記數法要求，8500共有4位數，從而用科學記數法表示為，故選：C．【點撥】本題考查科學記數法，按照定義，確定與的值是解決問題的關鍵．5.如圖，，且，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】可求，再由，即可求解．解：，，，，．故選：D．【點撥】本題考查了平行線的性質，三角形外角性質，掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．6.“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”是《孫子算經》卷中著名數學問題．意思是：雞兔同籠，從上面數，有35個頭；從下面數，有94條腿．問雞兔各有多少只？若設雞有只，兔有只，則所列方程組正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據題意，由設雞有只，兔有只，則由等量關系有35個頭和有94條腿列出方程組即可得到答案．解：設雞有只，兔有只，則由題意可得，故選：B．【點撥】本題考查列二元一次方程組解決古代數學問題，讀懂題意，找準等量關系列方程組是解決問題的關鍵．7.如圖，已知點在上，為中點．若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，如圖所示，根據圓周角定理，找到各個角之間的關系即可得到答案．解：連接，如圖所示：點在上，為的中點，，，，根據圓周角定理可知，，故選：A．【點撥】本題考查圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準各個角之間的和差倍分關系是解決問題的關鍵．8.分式方程的解為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】根據分式方程的解法直接求解即可得到答案．解：，方程兩邊同時乘以得到，，檢驗：當時，，是原分式方程的解，故選：C．【點撥】本題考查分式方程的解法，對于分式方程求解驗根是解決問題的關鍵步驟．9.《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，．“會圓術”給出的弧長的近似值計算公式：．當，時，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接,根據等邊三角形的性質，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數，后代入公式計算即可．連接，根據題意，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，，得，∴點M，N，O三點共線，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴∴．故選B．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數值，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．10.如圖，邊長為6的正方形中，M為對角線上的一點，連接并延長交于點P．若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先根據正方形的性質、三角形全等的判定證出，根據全等三角形的性質可得，再根據等腰三角形的性質可得，從而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質求解即可得．解：四邊形是邊長為6的正方形，，在和中，，，，，，，又，，設，則，，，解得，，，，故選：C．【點撥】本題考查了正方形的性質、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質、等腰三角形的性質等知識點，熟練掌握正方形的性質是解題關鍵．11.如圖，在平面直角坐標系中，點A.B分別在y，x軸上，軸．點M、N分別在線段、上，，，反比例函數的圖象經過M、N兩點，P為x正半軸上一點，且，的面積為3，則k的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】過點作軸于點，設點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，則，，，先求出點的坐標為，再根據可得，然后將點的坐標代入反比例函數的解析式可得，從而可得的值，由此即可得．解：如圖，過點作軸于點，設點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，則，，，，，，，解得，，，，的面積為3，，即，整理得：，將點代入得：，整理得：，將代入得：，解得，則，故選：B．【點撥】本題主要考查了反比例函數的幾何應用，熟練掌握反比例函數的性質，正確求出點的坐標是解題關鍵．12.如圖，和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，把以為中心順時針旋轉，點為射線、的交點．若，．以下結論：①；②；③當點在的延長線上時，；④在旋轉過程中，當線段最短時，的面積為．其中正確結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】證明即可判斷①，根據三角形的外角的性質得出②，證明得出，即可判斷③；以為圓心，為半徑畫圓，當在的下方與相切時，的值最小，可得四邊形是正方形，在中，然后根據三角形的面積公式即可判斷④．解：∵和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正確；設，∴,∴，∴，故②正確；當點在的延長線上時，如圖所示∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正確；④如圖所示，以為圓心，為半徑畫圓，∵，∴當在的下方與相切時，的值最小，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值時，∴故④正確，故選：D．【點撥】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的性質，勾股定理，切線的性質，垂線段最短，全等三角形的性質與判定，正方形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分，請把答案直接填在答題卡對應題中橫線上．13.在“慶五四·展風采”的演講比賽中，7位同學參加決賽，演講成績依次為：77，80，79，77，80，79，80．這組數據的中位數是___________．【答案】79【解析】根據有序數組中間的一個數據或中間兩個數據的平均數是中位數計算即可．將這組數據從小到大排列為：77，77，79，79，80，80，80，中間數據是79，故中位數是79．故答案為：79．【點撥】本題考查了中位數的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵．14.分解因式：x3﹣6x2+9x=___．【答案】x（x﹣3）2【解析】解：x3﹣6x2+9x=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2故答案為：x（x﹣3）215.若關于x的方程兩根的倒數和為1，則m的值為___________．【答案】2【解析】根據根與系數的關系即可求出答案．解：設方程的兩個根分別為a，b，由題意得：，，∴，∴，解得：，經檢驗：是分式方程的解，檢驗：，∴符合題意，∴．故答案為：2．【點撥】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．16.若關于x的不等式組所有整數解的和為，則整數的值為___________．【答案】或【解析】根據題意可求不等式組的解集為，再分情況判斷出的取值范圍，即可求解．解：由①得：，由②得：，不等式組的解集為：，所有整數解的和為，①整數解為：、、、，，解得：，為整數，．②整數解為：，，，、、、，，解得：，為整數，．綜上，整數的值為或故答案為：或．【點撥】本題考查了含參數的一元一次不等式組的整數解問題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數的意義是解題的關鍵．17.如圖，是正方形邊的中點，是正方形內一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉得到線段，連接．若，，則的最小值為___________．【答案】【解析】連接，將以中心，逆時針旋轉，點的對應點為，由的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據“圓外一定點到圓上任一點的距離，在圓心、定點、動點，三點共線時定點與動點之間的距離最短”，所以當、、三點共線時，的值最小，可求，從而可求解．解，如圖，連接，將以中心，逆時針旋轉，點的對應點為，的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，如圖，當、、三點共線時，的值最小，四邊形是正方形，，，是的中點，，，由旋轉得：，，，的值最小為．故答案：．【點撥】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理，動點產生的線段最小值問題，掌握相關的性質，根據題意找出動點的運動軌跡是解題的關鍵．18.如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結論：①當時，；②當的面積為時，；③當為直角三角形時，在內存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結論是___________．（填寫所有正確結論的序號）【答案】①②【解析】根據條件可求拋物線與x軸的另一交點坐標，結合圖象即可判斷①；設拋物線為，即可求出點M的坐標，根據割補法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點O為旋轉中心，將順時針旋轉至，連接，，，得到，判斷③．解：∵拋物線經過點，頂點為，∴對稱軸，∴拋物線與x軸的另一交點坐標為，由圖象可得：當時，；∴①正確，符合題意；∵拋物線與x軸的另一交點坐標為，∴設拋物線為，當時，，當時，，∴，，如圖所示，過點M作平行于y軸的直線l，過點A作，過點B作，∴，設直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當是，，∴，∴，∴，解得：，故②正確；∵點B是拋物線與y軸的交點，∴當時，，∴，∵為直角三角形，當時，∴，∵，，，∴，整理得：，解得：或（舍）∴，當時，∴，∴，整理得：解得：或（舍）∴，當時，∴，∴，無解；以點O為旋轉中心，將順時針旋轉至，連接，，，如圖所示，則，為等邊三角形，∴，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，當時，∵，當時，，此時不符合題意，故③錯誤；故答案為：①②．【點撥】本題考查了二次函數的綜合問題，綜合性較強，難度較大，扎實的知識基礎是關鍵．三、解答題：本大題共7個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟19.計算（1）計算：．（2）化簡：．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據特殊角的銳角三角函數、零指數冪、絕對值化簡計算即可；（2）根據分式化簡運算規(guī)則計算即可．（1）解：原式；（2）解：原式【點撥】本題考查了實數的混合運算與分式化簡以及特殊角三角函數，熟記運算法則是關鍵．20.已知：如圖，，，．求證：．【答案】見解析【解析】根據平行線的性質得出，然后證明，證明，根據全等三角形的性質即可得證．證明：∵，∴，∵，∴即在與中，∴，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．21.某校舉辦“我勞動，我快樂，我光榮”活動．為了解該校九年級學生周末在家的勞動情況，隨機調查了九年級1班的所有學生在家勞動時間（單位：小時），并進行了統(tǒng)計和整理繪制如圖所示的不完整統(tǒng)計圖．根據圖表信息回答以下問題：類別勞動時間ABCDE（1）九年級1班的學生共有___________人，補全條形統(tǒng)計圖；（2）若九年級學生共有800人，請估計周末在家勞動時間在3小時及以上的學生人數；（3）已知E類學生中恰好有2名女生3名男生，現從中抽取兩名學生做勞動交流，請用列表或畫樹狀圖的方法，求所抽的兩名學生恰好是一男一女的概率．【答案】（1）50，條形統(tǒng)計圖見解析（2）人（3）【解析】（1）利用C類人數除以對應的百分比即可得到九年級1班的總人數，再分別求出B和D的人數，補全統(tǒng)計圖即可；（2）用九年級學生總人數乘以九年級1班周末在家勞動時間在3小時及以上的學生占的比值即可得到答案；（3）根據題意列出表格，利用滿足要求的情況數除以總的情況數即可得到答案．（1）解：由題意得到，（人），故答案為：50類別B的人數為（人），類別D的人數為（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（2）由題意得，（人），即估計周末在家勞動時間在3小時及以上的學生人數為人；（3）列表如下：女1女2男1男2男3女1女1，女2女1，男1女1，男2女1，男3女2女2，女1女2，男1女2，男2女2，男3男1男1，女1男1，女2男1，男2男1，男3男2男2，女1男2，女2男2，男1男2，男3男3男3，女1男3，女2男3，男1男3，男2由表格可知，共有20種等可能的情況，其中一男一女共有12種，∴所抽的兩名學生恰好是一男一女的概率是．【點撥】此題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關聯、用樹狀圖或列表法求概率、樣本估計總體等知識，熟練掌握用樹狀圖或列表法求概率、樣本估計總體是解題的關鍵．22.渝昆高速鐵路的建成，將會顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國內首創(chuàng)的公鐵平層設計．為測量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點處，測得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂的仰角，左橋墩底的俯角，求的長度．（結果精確到米．參考數據：，）【答案】的長度米【解析】上截取，使得，設，在中，，，則，進而即可求解．解：如圖所示，上截取，使得，∴，∵∴，設，在中，，∴又∴∴即米【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．23.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A.恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．（1）分別求反比例函數表達式和直線所對應的一次函數的表達式；（2）在x軸上是否存在一點P，使周長的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1），（2）在x軸上存在一點，使周長的值最小,最小值是．【解析】（1）過點A作軸于點E，過點B作軸于點D，證明，則，由得到點A的坐標是，由A.恰好落在反比例函數第一象限的圖象上得到，解得，得到點A的坐標是，點B的坐標是，進一步用待定系數法即可得到答案；（2）延長至點，使得，連接交x軸于點P，連接，利用軸對稱的性質得到，，則，由知是定值，此時的周長為最小，利用待定系數法求出直線的解析式，求出點P的坐標，再求出周長最小值即可．（1）解：過點A作軸于點E，過點B作軸于點D，則，∵點，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點A的坐標是，∵A.恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．∴，解得，∴點A的坐標是，點B的坐標是，∴，∴反比例函數的解析式是，設直線所對應的一次函數的表達式為，把點A和點B的坐標代入得，，解得,∴直線所對應的一次函數的表達式為，（2）延長至點，使得，連接交x軸于點P，連接，∴點A與點關于x軸對稱，∴，，∵，∴的最小值是的長度，∵，即是定值，∴此時的周長為最小，設直線的解析式是，則，解得，∴直線解析式是，當時，，解得，即點P的坐標是，此時，綜上可知，在x軸上存在一點，使周長的值最小，最小值是．【點撥】此題考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質、用到了待定系數法求函數解析式、勾股定理求兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質等知識，數形結合和準確計算是解題的關鍵．24.如圖，以為直徑的上有兩點、，，過點作直線交的延長線于點，交的延長線于點，過作平分交于點，交于點．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）如果是的中點，且，求的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）根據同弧所對的圓周角相等得出，根據，得出，則可得，根據已知，得出，即可得證；（2）根據角平分線的定義得出，又，根據三角形內角和定理得出，由是的直徑，即可得證；（3）取的中點，連接，證明，由是的中點，是的中點，得出，進而得出，設，則，勾股定理得出，,證明得出，根據角平分線的性質得出，即可求解．（1）證明：如圖所示，∵，∴，∵∴，∴，∴∵，∴，∴是的切線；（2）證明：如圖所示，∵平分∴又∵，則，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，取的中點，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，又，∴，∵是的中點，是的中點，∴，∵，∴，在中，，∵，∴設，則，∴∵