高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修二）專題8.3立體圖形的直觀圖（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題8.3立體圖形的直觀圖（重難點(diǎn)題型精講）1．空間幾何體的直觀圖(1)直觀圖的概念

直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.畫(huà)立體圖形的直觀圖，實(shí)際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點(diǎn)的集合，用同一平面內(nèi)的點(diǎn)表示.因此，直觀圖往往與立體圖形的真實(shí)形狀不完全相同.

在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.

(2)斜二測(cè)畫(huà)法及其步驟

利用平行投影，人們獲得了畫(huà)直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法.利用這種畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點(diǎn)O'，且使∠x(chóng)'O'y'=(或)，它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別面成平行于x'軸或y'軸的線段.

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖的規(guī)則

畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)，與畫(huà)平面圖形的直觀圖相比，只是多畫(huà)一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且有以下規(guī)則.①已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.

②已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

③連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.2．平面圖形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系(1)以三角形為例，則有.如圖所示，，它的直觀圖的面積.(2)平面多邊形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系：=.即若記一個(gè)平面多邊形的面積為，由斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為，則有=.【題型1斜二測(cè)畫(huà)法】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的規(guī)則和步驟，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則原圖形的形狀是（

）A． B． C． D．【變式11】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中B'A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無(wú)法確定【變式12】（2022春·山西呂梁·高一期中）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形O1A1B1C1，其中OA．6 B．46 C．42 【變式13】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABCA．鈍角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【題型2畫(huà)平面圖形的直觀圖】【方法點(diǎn)撥】畫(huà)水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn)位置.頂點(diǎn)位置可以分為兩類：一類是在軸上或在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)比較容易確定；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)一般通過(guò)作過(guò)此點(diǎn)且與軸平行或垂直的線段，將此點(diǎn)轉(zhuǎn)到與軸平行或垂直的線段上來(lái)確定.【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3【變式21】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)法畫(huà)出如圖邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的直觀圖，并求直觀圖面積．【變式22】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出如圖所示的五邊形的直觀圖.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)【變式23】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：(1)邊長(zhǎng)為3cm(2)邊長(zhǎng)為4cm(3)邊長(zhǎng)為2cm【題型3畫(huà)空間幾何體的直觀圖】【方法點(diǎn)撥】(1)對(duì)于一些常見(jiàn)簡(jiǎn)單幾何體(柱體、錐體、臺(tái)體、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便快速準(zhǔn)確地畫(huà)出.(2)畫(huà)空間幾何體的直觀圖比畫(huà)平面圖形的直觀圖增加了一個(gè)z軸，表示豎直方向.(3)平行于z軸(或在z軸上)的線段，方向與長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致.【例3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長(zhǎng)方體ABCD?A【變式31】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）畫(huà)出一個(gè)正六棱柱的直觀圖，底面為邊長(zhǎng)為3的正六邊形，高為5．【變式32】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知直三棱柱ABC?A1B1C【變式33】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）畫(huà)出圖中簡(jiǎn)單組合體的直觀圖（尺寸單位：cm）．【題型4平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法中平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系，結(jié)合具體條件，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·四川內(nèi)江·高二期中）如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA．242 B．122 C．12 【變式41】（2022秋·四川·高二期中）如圖，Rt△O'A'A．1 B．2 C．22 D．【變式42】（2022秋·安徽六安·高三階段練習(xí)）一個(gè)水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為