2020概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末模擬考試題庫288題（含答案）

2020年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末測試復(fù)習(xí)題288題[含

答案]

一、選擇題

1.設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)Ll,L2并聯(lián)而成，且L1.L2的壽命分別服從參數(shù)為

%￡@力分)的指數(shù)分布。求系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)。

解：令X.Y分別為子系統(tǒng)L1.L2的壽命，則系統(tǒng)L的壽命Z=max(X,Y)。

顯然,當(dāng)zWO時，F(xiàn)Z(z)=P(Z^z)=P(max(X,Y)^z)=O；

當(dāng)z>0時，F(xiàn)Z(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)

[ae~axdx{Be~pydy“_0-皿“[—-pz、

=P(X〈z,YWz)=P(X<z)P(Y<z)=J。J。=U—e八i—e)。

因此，系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)為

四"+優(yōu)-佐（）（〉

：Fz（z）=<_a+ge-a+0z,z0

fZ（z）=dz0,z<0

2.一個機(jī)床有1/3的時間加工零件A,其余時間加工零件B。加工零件A時停機(jī)的概率是

0.3,加工零件A時停機(jī)的概率是0.4,求(1)該機(jī)床停機(jī)的概率；(2)若該機(jī)床已停

機(jī)，求它是在加工零件A時發(fā)生停機(jī)的概率。

解：設(shè)G,G,表示機(jī)床在加工零件A或B,D表示機(jī)床停機(jī)。

(1)機(jī)床停機(jī)夫的概率為

P(B)=PG).P(。|G)+P(G).P(D14)=—+§x0.4=J

(2)機(jī)床停機(jī)時正加工零件A的概率為

-x0.3Q

P(G).P(OG)3_____2

P（cjo）=

P(D)H-H

30

3.設(shè)①(“)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

_J1,事件A發(fā)生

I。,否則‘‘‘，口P(A)=0.4,XyX?,…,Xm相

100

互獨(dú)立。令<='，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸(舊近似于(B)。

^(y-40攻y-40

)

A.①⑴B,后c①(廣40)D.24

4.設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1.L2串聯(lián)而成，且L1.L2的壽命分別服從參數(shù)為

的指數(shù)分布。求系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)。

解：令X.Y分別為子系統(tǒng)L1.L2的壽命，則系統(tǒng)L的壽命Z=min(X,Y)。

顯然，當(dāng)zWO時,FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=O；

當(dāng)z>0時，F(xiàn)Z(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=1-P(min(X,Y)>z)

ae^dx^pe-^dy__

xe-(a+6)z

因此，系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)為

_(a+P)e-wmz

；B(z)=?z>0

fZ(z)=dz0,z<0

P(B)=q,則P(AB)=

5.設(shè)隨機(jī)事件A.B互不相容，P(A)=P，(C)?

A.(1-P)qB.pqC.qD.P

6.設(shè)A,B是兩個隨機(jī)事件，則下列等式中(C)是不正確的。

B.P^=P(B)P^B)其中

A.P(A8)=P(A)P(8),其中人，B相互獨(dú)立

W0

其中

C.P(AB)=P(A)P(B),其中A,B互不相容DP(AB)=P(A)P(qA),

P(A)豐0

7.設(shè)①(萬)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

(I'.鬻A發(fā)生』,2

Xj=

P(A)=0.5,X],X?,…，X]o()相互

r=￡10x0,.

獨(dú)立。令<=',則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸⑶)近似于(B)。

①口①(口

A.①⑴B.5)c①⑶―50)D.25)

8.設(shè)二A。一會是一組樣本觀測值，則其標(biāo)準(zhǔn)差是(B)O

一次（占一君2

B.C.nID.

9.若A.B相互獨(dú)立，則下列式子成立的為（A）。

AP（M）=P（?P（3）B.P（AB）=OC.P（A|B）=P（B|A）D.

P（A|B）=P（B）

10.若隨機(jī)事件A，B的概率分別為P（A）=0.6,產(chǎn)（8）=0.5則A與B-定⑴

）?

A.相互對立B.相互獨(dú)立C.互不相容D.相容

11.設(shè)隨機(jī)變量X?N（u,81）,Y?N（u,16）,記

Pi=P{X?〃-9}，P2={旌〃+4},則（B）。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl與p2的關(guān)系無法確定

12,設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為1°,左=01，2,3,則石(X)=

(B)o

A.1.8B.2C,2.2D,2.4

13.已知隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立，且它們分別在區(qū)間［—1,3］和［2,4］上服從均勻分

布，則鳳XK）=（A）。

A.3B.6C.10D.12

14.從某同類零件中抽取9件，測得其長度為（單位：mm）：

15.已知隨機(jī)變量X的概率密度為A（尤），令y=-2X+3,則Y的概率密度4（田為

（A）o

D.W)

-乜（-寧）乜（-與3-乜（-空

A.22B.22C.22

16.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

2x

xG(0,a)

/(無)=,

0,其它

求(1)a；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-0.5<X<0.5)o

解

[7止丸=

'-X1(1If

。二支

(2)當(dāng)工<明F(x)=f'f(t)dt=0

J-oc

2

F(x)=[JWX

當(dāng)04x<麗,-7

K

當(dāng)淵F(x)=[/(M=1

0,x<0

x2

故F(x)=-0<x<^

n'

1,x>n

1

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=4〃2

1,事件A發(fā)生

Xj二,i=l,2,…，100,

17.設(shè)①(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，0,否則且

100

丫=￡x,.

P(A)=0.9,X|,、2,…，Xg相互獨(dú)立。令,=1則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)p(y)近似于(B)。

T/y—90、,/y-90

B①(『)C①(10)D.領(lǐng))

A.①(y)9

18.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F(x)=A+Barctanx

求⑴A,B；(2)密度函數(shù)f(x)；(3)P(l<X<2)o

兀

(1)limF(x)=A+-B=\

2

71

limF(x)=A——B=0

XTf2

解：A=1/2,B=1/兀

⑵

f(x)=1

4(1+x)

1c

-arctan2

(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=萬

19.連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)必滿足條件(C)。

A.0</(x)<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.[f(x)dx=1D.lim/(x)=I

J-O0XT+OO

20.已知連續(xù)型隨即變量X的概率密度為

\IC>忖<1

/u)=

[o,其它

求(1)c；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-0.5<X<0.5).

(1)[f(x)dx=f—^=dx=carcsinx|'==1

J-ooJ-lIt2

解：C=l/i

(2)當(dāng)x<—1時，F(xiàn)(x)=「f(t)dt=0

當(dāng)一14x<1時，F(xiàn)(x)=「fWt=「—Jdf='arcsinf|\

J-coJ-l

W1-r兀

1乃、

=—(zarcsinxd——)

兀2

當(dāng)x21時，尸(x)=「/⑺沒=1

J-co

0,x<-\

[71

故F(x)=<—(arcsinx+—),—1<x<1

712

1,X>1

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=l/3

21.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則Y=7—5X的密度函數(shù)為(B)

1y-71

A.—-)B.-/(-

555

C」f(-W)D.-/(-苧

555

22.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

事件A發(fā)生

1,2,…，1。。，且p(A)=o.7,X],X2,…，Xm相

否貝!J

100

y=

互獨(dú)立。令<=',則由中心極限定理知丫的分布函數(shù),（月近似于（B）。

①苔Z2）①（曰）

A.①（>）B,后c①⑶一70）D.21）

23.設(shè)隨機(jī)變量X?N(U,9),Y?N(u,25),記

pt=P[X<^u-3},p2={y>//+5}>則(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl與p2的關(guān)系無法確定

24.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

(2x,xe(0,A)

"幻1。，其它

求(1)A；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-O,5<X<1)?)

(1)Jf(x)dx=￡'Ixdx=A2=1

解：A=1

(2)當(dāng)x<0時，F(xiàn)(x)=「f(t)dt=0

J-00

當(dāng)04x<1時，F(xiàn)(x)=Jf(t)dt=￡2tdt=x2

當(dāng)xNl時，"r)=j=l

0,x<()

故F(x)=<x2,0<x<1

1,x>1

⑶P(-0.5<X<l)=F(1)—F(-0.5)=l

f46

V=

25.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)差矩陣V為V69

計(jì)算隨機(jī)向量(X+Y,X-Y)的協(xié)差矩陣(課本116頁26題)

解：DX=4,DY=9,COV(X,Y)=6

D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25

D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1

COV(X+Y,X-Y)=DX-DY=-5

25-5、

故(X+Y,X—Y)的協(xié)差矩陣【一51

26.已知隨機(jī)變量X?N(0,1),求隨機(jī)變量Y=X2的密度函數(shù)。

解：當(dāng)yWO時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=0：

當(dāng)y>0時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=P(-4y<X<4y)

:4(y)=142萬丁y>0,

)o

因此，fY(y)=Uy<Q.

’76、

69

27.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為I。。

求隨機(jī)向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=7+9-2*6=4

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=7-9=-2

_c?v(x+y,x-y)__2_-i

x+?y_JD(X+Y)\D(X-Y)-V28*V4-V28

"28-2、

所以，(X+Y,X—Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為I-”2―41和

(-1A

1憫

21

28.設(shè)隨機(jī)事件A.B互不相容，P(A)=P，P(B)=q,則P(M)=(C)。

A.(I—PMB.pqc.qD.P

2X

29.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［1,2］上服從均勻分布，求Y=e一的概率密度f(y)0

1

［答案：當(dāng)e2/Wy/We4時,f(y)=2y,當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時，f(y)=0.]

30設(shè)總體X的概率密度為

e

\0+V)x,0<x<l

〃X)=

0,其他

其中未知參數(shù)e>TX|,X2,…X”是取自總體的簡單隨機(jī)樣本，用極大似然估計(jì)法求

e的估計(jì)量

L⑹=口(。+1)玉,(0<x,<1;1=1,2,???,〃)

解設(shè)似然函數(shù)f=l

對此式取對數(shù),即

dlnLn

InL(0)=〃In(8+1)+0E玉+21叫

夕+

/=1且deii=l

0=-1--

d\nL八力In再

--------=0,

令d0可得1=1此即9的極大似然估計(jì)量。

31.若A與B對立事件,則下列錯誤的為(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)

BP(A+B)=}?P(A+B)=P(A)+P(B)D.

P(AB)=0

axa~x0<%<1

/(%,a)='(a>0)

0others

32.設(shè)總體X的密度函數(shù)為

Xl,X2,...,Xn是取自總體X的一組樣本，求參數(shù)a的最大似然估計(jì)(同步52頁三.5)

k+1

P(X=k)

攵=0,1,2,3,則E(X)=

33.設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為10

(B)。

A.1.8B.2C.2.2D.2.4

1,事件A發(fā)生

X'=<=1,2,…，100,

34.設(shè)①(無)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，0,否則

100

丫=Xx,

P(A)=0.3,X1,X2,…，X網(wǎng)相互獨(dú)立。令,=1則由中心極限定理知丫的分布

函數(shù)p（y）近似于（B）。

①苔當(dāng)①（匕當(dāng)

A.①（y）B.⑨C.21）D①（片30）

35.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望EX=u,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是來自總體X的簡

單隨機(jī)樣本，則下列U的估計(jì)量中最有效的是（D）

A.-X.4--X+-X,+-X,B.-X.+-X.

616-o3333313-33

C.-1Xj-h^X2—^X3—^X4D.+；X3

36.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

X_11，事件A發(fā)生；一]2100

10,否則。且P（A）=0.1,X],X〉…,X|oo相互獨(dú)

100

y這x,

立。令I(lǐng),則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/（＞）近似于（B）。

①（T）

A.①⑶）B.3c①（3y+l°）D①（9y+l0）

37.若A與B對立事件，則下列錯誤的為（A）。

AP（AB）=P（A）P（B）B.P（A+或=1cP（A+3）=P（A）+P（B）D

尸（A8）=0

38.某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的情況下，這種零件的軸長服從正態(tài)分布，均值為

0.13厘米。若從某日生產(chǎn)的這種零件中任取10件，測量后得了=°」46

厘米，S=0.016厘米。問該日生產(chǎn)得零件得平均軸長是否與往日一樣？（a=0.05）

（同步52頁四.2）【不一樣】

39.甲.乙.丙三臺機(jī)床加工一批同一種零件，各機(jī)床加工的零件數(shù)量之比為5：3：2,各機(jī)

床所加工的零件合格率依次為94%,90%,95%?，F(xiàn)從加工好的整批零件中隨機(jī)抽查一

個，發(fā)現(xiàn)是廢品，判斷它是由甲機(jī)床加工的概率。

解設(shè)A,&,4表示由甲乙丙三機(jī)床加工，B表示此產(chǎn)品為廢品。（2分）

則所求事件的概率為

P（4⑶f⑷。⑻4）

-x0.06a

「⑷.P（A）P（B|4）___________2________________=3

i=\=0.5x0.06+0.3x0.10+0.2x0.057

答：此廢品是甲機(jī)床加工概率為3/7。

40.某廠加工一種零件，已知在正常的情況其長度服從正態(tài)分布N(〃，0-92),現(xiàn)從一批產(chǎn)

品中抽測20個樣本，測得樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=1.2o問在顯著水平&下，該批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)

差是否有顯著差異？

222

(已知:熱屋(19)=30.14,ZO95(19)=1O.12；ZOO5(2O)=31.41,Zo95(2O)=10.85)

w(-1一

yy--------

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是"。：°=0.選擇統(tǒng)計(jì)量〃在“。成立時

*05(19)>皿>/95(19)}=0.90

取拒絕域W={W>30」14,W<1(M17}

W=_33,778

由樣本數(shù)據(jù)知/0.9233.778>30.114

拒絕”。，即認(rèn)為這批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)差有顯著差異。

41.05.75.86.57.06.35.66.15.0

設(shè)零件長度X服從正態(tài)分布N(U,1)。求U的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知：6。(9)=2.26%,.05(8)="3砥*

u=土~N(0,l)

.解：由于零件的長度服從正態(tài)分布，所以'P{|U|<%025}=0-95

9

CT_

(X—〃0025—，X+“0.025元=宜%=6

所以〃的置信區(qū)間為經(jīng)計(jì)算-='

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為(6—L96XR6+1.96X￡)即(5347,6.653)

42.隨機(jī)抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn)，測得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=3(m/s),設(shè)炮口速度服

2

從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差。一的置信度為0.95的置信區(qū)間。

22

(已知:ZO.O25(8)=17.535,%09752(8)=218；%02s?⑼=及。?，Zo975(9)=2.7)

因?yàn)榕诳谒俣确恼龖B(tài)分布，所以

(〃-1)S2/

22

=一~二()P{Zo.o25(8)<W<Zo,975(8)"95

（n-l）S2（n-l）S2

/的置信區(qū)間為：〔總。25（”一1）總975（〃T）,

<8x98x9

〃的置信度0.95的置信區(qū)間為U7.53552.180即(4.106,33.028)

'9—6、

—66

43.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為')

求隨機(jī)向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y尸DX+DY-2cov(X,Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=9-6=3

_Cov(x—y,x+y)_3_2

Px-Yx+Y~、D(X-Y)\D(X+Y)-V27*V3-3

(、fli

(273、3

1,

7Q1

所以，(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為1)和13

44.某廠生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向穩(wěn)定，現(xiàn)從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10段檢查其折斷力，測得

10

X=287.5,Z（x,一元）2=160.5

汩o假定銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，問在顯著水平

a=°」下，是否可以相信該廠生產(chǎn)的銅絲折斷力的方差為16?

2

（已知：脛葭（10）=1&31,a952（10）=3.94;%皿?⑼=16.9,Zft95（9）=3.33）

w（〃一1一

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是49-=16選擇統(tǒng)計(jì)量cr2在"。成立時

W~/（9）

口福仍⑼>W>42°95（9）}=0.90

取拒絕域w={W>16.92,W<3.33）

,W==]003

由樣本數(shù)據(jù)知（"TA-nl60^16.,16.92>10.03>3.33

接受“。,即可相信這批銅絲折斷力的方差為16。

45.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

r('JT,X>0

X0,其它

設(shè)F(x)是X的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=F(X)的密度函數(shù)。

解：當(dāng)y<0時,FY(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=O；

當(dāng)y>l時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=l；

當(dāng)OWyWl時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P((F(X)Wy)=尸(><E'(^))

^F(F-'(y))=y

dfl,0<y<1,

7《(y)=n苴；

因此，fY(y)="y〔6其匕

46.已知某味精廠袋裝味精的重量X?MM，b2）,其中〃=5〃=0.09,技術(shù)革新

后，改用新機(jī)器包裝.抽查9個樣品，測定重量為（單位：克）

47.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

1,事件A發(fā)生；.

X,=E=]2,,?1(X)

0,否則。且P(A)=O.1,X],X?,…，X|oo相互獨(dú)

100

y=￡xz.

立.令1-='，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)口（>）近似于（B）。

..y-10

A.①（y）B,c①Gy+i°）D①（9y+1°）

[lx0<x<l

f（x）=\

48.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為I1others

求：（1）X的分布函數(shù)F（x）；（2）P｛0.3<X<2｝（同步45頁三.3）

49.設(shè)X與丫相互獨(dú)立，且X服從a=3的指數(shù)分布，丫服從丸=4的指數(shù)分布，試求:

（1）（x,y）聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù)；（2）P（X<I,Y<I）；

（3）（X,丫）在。=｛（X,y）\x>0,y>0,3x+4y<3｝取值的概率。

解：（1）依題知

y

網(wǎng)二%>04e^,y>0

0,其他‘.0,其他

所以（x,y）聯(lián)合概率密度為

Bix>0,y>0

f(x,y)=>

0,其他

當(dāng)x>0,y>0時，有

F(x,y)=J'jrJ'lZT3Tds=(1-e-3x)(i_e『，)

所以（x,y）聯(lián)合分布函數(shù)

x>0,y>0;

F(x,y)=<

0,其他

(2)P(x<1,y<1)=F(l,l)=(1-e-3)(1—1)；

,I尸⑶

(3)P((X,V)G￡>)=(dx]^1"31>dy=1-4e-3

50.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，P(B)>0,P(A|B)=1,則必有(A)。

AP(AuB)=P(A)B.An8c,「⑷=P?DP(AB)=P(A)

51.設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容，且P(A)>P(B)>0,則(口)。

AP(A)=1-P(B)BP(AB)=P(A)P(B)c./ADB)=1

P(AB)=1

52.設(shè)總體X?"（"，6?）,從中抽取容量為16的一個樣本，樣本方差S?=0.07,試求

總體方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。

222

(已知：Zo.o25(16)=28.845,a9752a6)=6.908；Zoo25(15)=27.488,^0975(15)=6.262)

解：由于X?"(lb),所以

W=(〃—DS-?/(…

)

aP{%0.0252a5www%,9752a5)}=0.95

（（〃-1）底（〃一西

4的置信區(qū)間為：/。25（〃-1）%：975（〃-1）

(15x0.0715x0.07)

/的置信度0.95的置信區(qū)間為127.488'6.2621即(0.038,0.168)

53.已知隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立，且它們分別在區(qū)間［一1,3］和［2,4］上服從均勻分

布，則E（XK）=（人）。

A.3B.6C.10D.12

54.隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，均值向量及協(xié)差矩陣分別為

/\(2\

〃=%V=心P"2

〃y2

10,2b2>

計(jì)算隨機(jī)向量(9X+Y.X-Y)的協(xié)差矩陣(課本116頁33題)

解：E(9X+Y)=9EX+EY=9u1+P2

E(X-Y)=EX-EY=u1-M2

D(9X+Y)=81DX+DY+18C0V(X,Y)=81。12+18Po1o2+022

D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=。12-2P。1。2+。22

COV(9X+Y,X-Y)=9DX-DY-8COV(X,Y)=9。12-8Po1。2—。22

然后寫出它們的矩陣形式(略)

55.某人外出可以乘坐飛機(jī).火車.輪船.汽車四種交通工具，其概率分別為

5%.15%.30%.50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為

100%.70%.60%.90%。求該人如期到達(dá)的概率。

解：設(shè)A,4,4,A,分別表示乘坐飛機(jī).火車.輪船.汽車四種交通工具，B表示如期到

達(dá)。

4

P（B）=ZP（4）P（BI4）

則=0.05x1+0.15x0.7+0.3x0.6+0.5x0.9=0.785

答：如期到達(dá)的概率為0.785。

四（1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

Ax,0<x<l

/（無）=<

0,其它

求(1)A；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)P(0.5<X<2)?

(1)j+f(x)dx=￡Axdx=-^x21?=^-=1

解：A=2

(2)當(dāng)xv(M,尸(%)=。/?)力=0

當(dāng)04x<1時，F(xiàn)(x)=[=[2tdt=x1

J-30Jo

當(dāng)x21時，F(xiàn)(x)=『fSdt=￡2tdt=1

0,x<0

故F(x)=*Jr2,0<x<l

1,x>\

(3)P(I/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

1,鬃管發(fā)生』，2,.」。。，

Xj=

56.設(shè)①（幻為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，O,否則q

Y=t100X：

P(A)=0.6X],X2,…,X網(wǎng)相互獨(dú)立。令<=），則由中心極限定理知丫的分布

函數(shù)尸（y）近似于（B）o

①(*)

1—60)口.24

57.614.715.114.914.815.015.115.214.7

己知零件口徑X的標(biāo)準(zhǔn)差0'=°15,求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知:（9）=2.262,杭5（8）=2.306,t/OO25=1.960）

N（0,l）

解：由于零件的口徑服從正態(tài)分布，所以b/J"P{|t/|<M0025)=0.95

9

(J_

(%-%025f—,X+WO,O25亍=/工%=14.9

\[n

所以〃的置信區(qū)間為:經(jīng)計(jì)算/=1

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為（149-1.96x吟,14.9+1.96x呼）即

(14.802,14.998)

58.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

Qx<0

F(x)=?A-fx,0<x<1

1,x>l

求(1)A；(2)密度函數(shù)f(x)；(3)P(0<X<0.25)?

解

(Fx=A=

Ml

A=

(2)

1

—產(chǎn),<X<

fx=Fx=<2\lx

0,其他

(3)P(0<X<0.25)=1/2

59.615.114.914.815.215.114.815.014.7

若已知該天產(chǎn)品直徑的方差不變，試找出平均直徑4的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知：/005(9)=2.262,r005(8)=2.306,“)必=L960)

U=(0

解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布，所以

R|U|<5}=0-95

9

(亍-“0.025丁，斤+“0.025―)元=/￡玉=14.911

所以〃的置信區(qū)間為："經(jīng)計(jì)算7

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為

(14.911-l.96x平/4.911+L96x的

即(14.765,15.057)

60.設(shè)總體X服從參數(shù)為％的指數(shù)分布，%，/，/，，天是一組樣本值，求參數(shù)4的最大

似然估計(jì)。

n

L=A"ne-AXi=萬，絲產(chǎn)ln￡=/tlnA-2Sx.

解：似然函數(shù)<'=><='

61.設(shè)某校女生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機(jī)抽取9名女生，測得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)

算如下：亍=162.67c丸s=4.20c機(jī)。求該校女生身高方差/的置信度為095的置信區(qū)

間。

22

(已知:%02s2(出=17.535,ZO.975(8)=2.18；Zo,^(9)=19.02,洸二(9)=2.7)

解：因?yàn)閷W(xué)生身高服從正態(tài)分布，所以

_(H-l)S*-2/i\

uz22

~~/()P{ZO.O25(8)<W<ZO,975(8)}=O.95

(/?-l)S2(n-l)S2

〃的置信區(qū)間為：(力。必(〃-1)關(guān)975(〃T”/的置信度095的置信區(qū)間為

’8x4.228x4.22、

J7.535'2.180)即(8.048,64.734)

62.某車間生產(chǎn)滾珠，其直徑X?N（〃，0.05）,從某天的產(chǎn)品里隨機(jī)抽出9個量得直徑如

下（單位：毫米）：

63.若事件4,4,兩兩獨(dú)立，則下列結(jié)論成立的是（B）。

A.4，&，A3相互獨(dú)立B.A，4，&兩兩獨(dú)立

cP（A]A2A3）=P（A）2（&）尸（4）D.4,4相互獨(dú)立

64.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是

c1—（AT-/Z）2

/（%;//）=-n=e2,-8VX<+O0

12兀

王，/，，當(dāng)是一組樣本值，求參數(shù)〃的最大似然估計(jì)?

解：似然函數(shù)

L=—exp|一屋，

0而回I2<=i

InL=_]ln(2乃)(蒼一〃)2

dlnL3、八I?_

-=Z(Xj—〃)=0fj=一-2七二x

a/Li1=1ni=i

65設(shè)X的分布函數(shù)F(x)為

0%<-1

0.4-1<X<1

-0.81<x<3

.1X-3,則X的概率分布為()。

分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x是離散型的隨機(jī)變量

[答案：P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]

66.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

ay/x,0<x<l

/(X)=<

0,其它

求(l)a；(2)X的