專題4.4 全等三角形的判定【八大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）七年級下冊

第第頁專題4.4全等三角形的判定【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-3"\h\u【題型1全等三角形的判定條件】 1【題型2證明兩個三角形全等】 3【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】 6【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】 9【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】 13【題型6全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】 20【題型7全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】 26【題型8全等三角形的應(yīng)用】 34【知識點(diǎn)全等圖形的判定】判定方法解釋圖形邊邊邊(SSS)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等角角邊(AAS)兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等斜邊、直角邊(HL)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等【題型1全等三角形的判定條件】【例1】（2022春?順德區(qū)期末）如圖，∠A＝∠D＝90°，給出下列條件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，從中添加一個條件后，能證明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【分析】由題意可得∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，即有一組對應(yīng)角相等，一組對應(yīng)邊相等，結(jié)合全等三角形的判定條件進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴①當(dāng)AB＝DC時，由HL可得△ABC≌△DCB，故①符合題意；②當(dāng)OB＝OC時，可得∠BCO＝∠CBO，利用AAS可得△ABC≌△DCB，故②符合題意；③當(dāng)∠ABC＝∠DCB時，利用AAS可得△ABC≌△DCB，故③符合題意；④當(dāng)∠ABO＝∠DCO時，不能得△ABC≌△DCB，故④不符合題意；故符合題意的有①②③．故選：A．【變式1-1】（2021秋?廬陽區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B、E在線段CD上，若∠A＝∠DEF，則添加下列條件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DE C．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【分析】利用三角形全等的判定方法進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、添加∠C＝∠D，AC＝DE可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此選項(xiàng)不合題意；B、添加BC＝FD，AC＝ED不能判定△ABC≌△EFD，故此選項(xiàng)符合題意；C、添加∠ABC＝∠DFE，AC＝DE可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此選項(xiàng)不合題意；D、添加AC＝DE，AB＝EF可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【變式1-2】（2021秋?源匯區(qū)校級期末）如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列條件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先由∠1＝∠2得到∠CAB＝∠DAE，然后分別利用“SAS”、“ASA”和“AAS”對各添加的條件進(jìn)行判斷．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DAE，∵AC＝AD，∴當(dāng)AB＝AE時，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△AED；當(dāng)BC＝ED時，不能判斷△ABC≌△AED；當(dāng)∠C＝∠D時，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△AED；當(dāng)∠B＝∠E時，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△AED．故選：C．【變式1-3】（2022秋?佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，則下列條件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能夠判定這兩個三角形全等的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，如果是兩個直角三角形，除了前面四種方法以外，還可以用HL來判定．【解答】解：①AC＝DF，∠A＝∠D，再加上已知∠C＝∠F，符合ASA，故符合題意；②AC＝DF，BC＝EF，再加上已知∠C＝∠F，符合SAS，故符合題意；③∠A＝∠D，∠B＝∠E，再加上已知∠C＝∠F，不能判定兩個三角形全等，故不符合題意；④AB＝DE，∠B＝∠E，再加上已知∠C＝∠F，符合AAS，故符合題意；⑤AC＝DF，AB＝DE，再加上已知∠C＝∠F，不能判定兩個三角形全等，故不符合題意；故選：A．【題型2證明兩個三角形全等】【例2】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，B在同一直線上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，AE＝BF，∠A＝∠B．求證：△ADF≌△BCE．【分析】根據(jù)ASA證明△ADF≌△BCE即可．【解答】證明：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AFD＝∠BEC＝90°，在△ADF和△BCE中，∠A=∠BAF=BE∴△ADF≌△BCE（ASA）．【變式2-1】（2021秋?肥西縣期末）已知，如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求證：△ABC≌△EAD．【分析】由∠ECB＝65°得∠ACB＝115°，再由AB∥DE，證得∠CAB＝∠E，再結(jié)合已知條件AB＝AE，可利用AAS證得△ABC≌△EAD．【解答】證明：∵∠ECB＝65°，∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝115°．又∵∠D＝115°，∴∠ACB＝∠D．∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E．在△ABC和△EAD中，∠ACB=∠D∠CAB=∠E∴△ABC≌△EAD（AAS）．【變式2-2】（2021秋?信州區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、C作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：△BDE≌△CDF．【分析】由“AAS”可證△BDE≌△CDF．【解答】證明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF（AAS）．【變式2-3】（2022?河源模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M為對角線AC上一點(diǎn)，連接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求證：△ADC≌△CMB．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DAC＝∠MCB，求出∠CBM＝∠ACD，根據(jù)全等三角形的判定定理求出即可．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠MCB，∵∠AMB＝∠BCD，∠CBM+∠ACB＝∠AMB，∠ACB+∠ACD＝∠BCD，∴∠CBM＝∠ACD，在△ADC和△CMB中，∠ACD=∠CBMAC=BC∴△ADC≌△CMB（ASA）．【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】【例3】（2022春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求證：AB＝CD．【分析】首先根據(jù)全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，則OB＝OC；然后再根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得△AOB≌△DOC，則AB＝CD．【解答】證明：如圖，∵AE∥DF，∴∠AEO＝∠DFO．在△AOE與△DOF中，∠AEO=∠DFOOE=OF∠AOE=∠DOF∴△AOE≌△DOF（ASA）．∴OD＝OA．在△AOB與△DOC中，∠AOB=∠DOCOD=OA∴△AOB≌△DOC（ASA）．∴AB＝CD．【變式3-1】（2021春?橫山區(qū)期中）如圖，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)D是EF上一點(diǎn)，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，連接BD，求證：Rt△ADE≌Rt△CDF．【分析】由直角三角形全等的“HL“判定定理證得Rt△ABD≌Rt△CBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可證得Rt△ADE≌Rt△CDF．【解答】證明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，BD=BDAB=BC∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AD＝CD，∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=CDAE=CF∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．【變式3-2】（2021秋?石阡縣期末）如圖，AB＝AC，E、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，AG⊥CE，垂足為點(diǎn)G，試判斷AF與AG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】結(jié)論：AF＝AG．先證明△ABD≌△ACE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，再證明△ABF≌△ACG（AAS）即可解決問題．【解答】解：結(jié)論：AF＝AG．理由：∵AB＝AC，E、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AD=12AC=12在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF⊥BD，AG⊥CE，∴∠AFB＝∠AGC＝90°．在△ABF和△ACG中，∠ABF=∠ACG∠AFB=∠ACG∴△ABF≌△ACG（AAS），∴AF＝AG．【變式3-3】（2021秋?沂源縣期末）如圖，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE與△ACB全等嗎？說明理由；（2）判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根據(jù)SAS判斷△ADE與△ACB全等即可；（2）由△ADB與△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝∠FCE，判斷△DBF與△ECF全等，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得．【解答】解：（1）全等，理由如下：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAE＝∠CAB，在△ADE與△ACB中AD=AC∠DAE=∠CAB∴△ADE≌△ACB（SAS）（2）DF＝CF，理由如下：在△ADB與△ACE中AD=AC∠DAB=∠CAE∴△ADB≌△ACE（SAS），∴∠DBA＝∠CEA，∵△ADE≌△ACB，∴∠ABC＝∠AED，∴∠DBF＝∠CEF，在△DBF與△CEF中∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEF∴△DBF≌△CEF（AAS），∴DF＝CF．【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】【例4】（2022秋?孟津縣期末）如圖，BM，CN分別是鈍角△ABC的高，點(diǎn)Q是射線CN上的點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，請問AP與AQ有什么樣的關(guān)系？請說明理由．【分析】根據(jù)同角的余角相等得出∠ABP＝∠ACQ，即可利用SAS證明△ACQ≌△PBA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：AP＝AQ且AP⊥AQ．理由如下：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∠ACQ+∠CAN＝90°．∴∠ABP＝∠ACQ．在△ACQ和△PBA中，AC=PB，∠ACQ=∠PBA，∴△ACQ≌△PBA（SAS）．∴AP＝AQ，∠Q＝∠PAB．∵∠Q+∠NAQ＝90°．∴∠PAB+∠NAQ＝90°．∴∠QAP＝90°．∴AP⊥AQ．即AP＝AQ，AP⊥AQ．【變式4-1】（2022春?金牛區(qū)校級期中）如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長線上截取CG＝AB，連結(jié)AD、AG．（1）求證：∠ABE＝∠ACG；（2）試判：AG與AD的關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）易證∠HFB＝∠HEC＝90°，又∠BHF＝∠CHE，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）先證△ABD≌△GCA（SAS），得出AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，再由∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，則∠AED＝∠GAD＝90°，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠HFB＝∠HEC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BHF，∠ACG＝90°﹣∠CHE，∵∠BHF＝∠CHE，∴∠ABE＝∠ACG；（2）解：AG與AD的關(guān)系為：AG＝AD，AG⊥AD，理由如下：∵BE⊥AC，∴∠AED＝90°，由（1）得：∠ABD＝∠ACG，在△ABD和△GCA中，AB=CG∠ABD=∠ACG∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，∴∠AED＝∠GAD＝90°，∴AD⊥GA．【變式4-2】（2021春?亭湖區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．BE⊥AC，垂足為G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求證：AE＝AF；（2）AE與AF有何位置關(guān)系．請說明理由．【分析】（1）利用SAS證明△AEB≌△FAC可證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠E＝∠CAF，由余角的定義可求得∠EAF的度數(shù)即可得解．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AGB＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△FAC中，AB=CF∠EBA=∠ACF∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝AF；（2）解：AE⊥AF，理由如下：由（1）知△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，∵BE⊥AC，垂足為G，∴∠AGE＝90°，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°，∴AE⊥AF．【變式4-3】（2021春?泰興市期末）如圖，在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF并延長至點(diǎn)M，使FM＝EF，連接CM．（1）求證：BE＝AC；（2）試判斷線段AC與線段MC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△BDE≌△ADC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)SAS證明△BFE≌△CFM，得到∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，即得AC＝MC，再利用直角三角形的兩銳角互余得出AC⊥MC．【解答】（1）證明；∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°，在△BDE與△ADC中，DE=DC∠BDE=∠ADC∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC；（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：∵F為BC中點(diǎn)，∴BF＝CF，在△BFE與△CFM中，BF=CF∠BFE=∠CFM∴△BFE≌△CFM（SAS），∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BCM+∠ACD＝90°，即∠ACM＝90°，∴AC⊥MC，∴AC⊥MC且AC＝MC．【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】【例5】（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AF∥BC且AF＝AD，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)且AE＝AB，連接EF，DE．連接FD交BE于點(diǎn)G．下列結(jié)論中正確的有（）個．①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四邊形ABDE＝S四邊形ADEF；⑤BG＝GE．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由“SAS”可證△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．【解答】解：∵AD⊥BC，AF∥BC，∴AF⊥AD，∴∠FAD＝90°＝∠BAC，∴∠FAE＝∠BAD，故①正確；在△ABD和△AEF中，AB=AE∠BAD=∠EAF∴△ABD≌△AEF（SAS），∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°，故②正確；∵AF＝AD，∠DAF＝90°，∴∠AFD＝45°＝∠EFD，∴FD平分∠AFE，故③正確；∵△ABD≌△AEF，∴S△ABD＝S△AEF，∴S四邊形ABDE＝S四邊形ADEF，故④正確；如圖，過點(diǎn)E作EN⊥EF，交DF于N，∴∠FEN＝90°，∴∠EFN＝∠ENF＝45°，∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，在△BGD和△EGN中，∠BDG=∠ENG∠BGD=∠EGN∴△BDG≌△ENG（AAS），∴BG＝GE，故⑤正確，故選：D．【變式5-1】（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，結(jié)論：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】證明△ACP≌△MCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP＝MP，判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM＝AC＝5，BN＝AB＝6，結(jié)合圖形計(jì)算，判斷②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷③；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷④．【解答】解：∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACP＝∠NCP，在△ACP和△MCP中，∠ACP=∠MCPCP=CP∴△ACP≌△MCP（ASA），∴AP＝MP，①結(jié)論正確；∵△ACP≌△MCP，∴CM＝AC＝5，同理可得：BN＝AB＝6，∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②結(jié)論正確；∵∠BAC＝110°，∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，在△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③結(jié)論錯誤；④當(dāng)∠AMN＝∠ANM時，AM＝AN，∵AB＝6≠AC＝5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，則AM與AN不相等，④結(jié)論錯誤；故選：C．【變式5-2】（2021春?錦州期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直線AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OAM＝∠OBM，AC＝BD，①②正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝α，③正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，則∠OGA＝∠OHB＝90°，即可判定△OAG≌△OBH，得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得∠AMO＝∠DMO，假設(shè)OM平分∠BOC，則可求出∠AOM＝∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以O(shè)A＝OC，而OA＜OC，故④錯誤；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝α，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，即∠OAM＝∠OBM，故①②正確；由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∵∠OAC＝∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝α，故③正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，則∠OGA＝∠OHB＝90°，在△OAG和△OBH中，∠OGA=∠OHB∠OAC=∠OBD∴△OAG≌△OBH（AAS），∴OG＝OH，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，∴∠AMO＝∠DMO，假設(shè)OM平分∠BOC，則∠BOM＝∠COM，∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOM＝∠COD+∠COM，即∠AOM＝∠DOM，在△AMO與△DMO中，∠AOM=∠DOMOM=OM∴△AMO≌△DMO（ASA），∴OA＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故④錯誤；正確的個數(shù)有3個；故選：B．【變式5-3】（2021春?江北區(qū)校級期末）如圖，已知AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上且AE＝AD，連接EC，BD，EC交BD于點(diǎn)M，連接AM，過點(diǎn)A分別作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分別為F、G，下列結(jié)論：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，則E是AB的中點(diǎn)；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】①先證明△ABD≌△ACE得出∠B＝∠C，即可證明△EBM≌△DCM，即可判斷①；②根據(jù)垂直的定義和四邊形的內(nèi)角和可得結(jié)論，即可判斷②；③證明△AEM≌△ADM，得∠AME＝∠AMD，即可判斷③；④如圖，延長CE至N，使EN＝EM，連接AN，BN，證明△AEN≌△BEM（SAS），得AN＝BM，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可判斷④；⑤根據(jù)面積相等可知：S△ADM＝S△CDM，由同高可知底邊AD＝CD，從而判斷⑤．【解答】解：①在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠C，∵AB＝AC，AE＝AD，∴AB﹣AE＝AC﹣AD，即BE＝CD，在△EBM和△DCM中，∠EMB=∠DMC∠B=∠C∴△EBM≌△DCM（AAS），故①正確；②∵AF⊥CE，AG⊥BD，∴∠AFM＝∠AGM＝90°，∴∠FAG+∠FMG＝180°，∵∠FMG+∠EMB＝180°，∴∠EMB＝∠FAG，故②正確；③由①知：△EBM≌△DCM，∴EM＝DM，在△AEM和△ADM中，AE=ADAM=AM∴△AEM≌△ADM（SSS），∴∠AME＝∠AMD，∴MA平分∠EMD；故③正確；④如圖，延長CE至N，使EN＝EM，連接AN，BN，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，在△AEN和△BEM中，AE=BE∠AEN=∠BEMEN=EM∴△AEN≌△BEM（SAS），∴AN＝BM，由①知：△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，△ACN中，AC+AN＞CN，∴BM+AC＞BD+EM，故④正確；⑤∵S△BEM＝S△ADM，S△EBM＝S△DCM，∴S△ADM＝S△CDM，∴AD＝CD=12∵AD＝AE，AB＝AC，∴AE=12∴E是AB的中點(diǎn)；故⑤正確；本題正確的有5個；故選：D．【題型6全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】【例6】（2022春?杏花嶺區(qū)校級期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時，求證：BD＝CE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D、E、C在同一直線上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β時，求∠DBC的度數(shù)（用含α和β的式子表示）．【分析】（1）證出△ABD≌△ACE即可；（2）由（1）的結(jié)論以及四邊形的內(nèi)角和定理可得答案．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠ABC＝∠ACB=180°?α2=90°?12α由（1）得△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+12∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB＝360°﹣（90°?12α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+＝180°﹣2α+β．【變式6-1】（2022?南京模擬）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC＝90°時，那么∠DCE＝90度；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫出此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【分析】（1）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解題；（2）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根據(jù)∠B+∠ACB＝180°﹣α即可解題；（3）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根據(jù)∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°即可解題；【解答】解：（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；故答案為90．（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，∴α+β＝180°；（3）作出圖形，∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，∠CED＝∠AEC+∠AED，∴α＝β．【變式6-2】（2022秋?江夏區(qū)期末）已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．（1）如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；（2）如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；（3）如圖3，若∠DAB＝α，試探究∠AFG與α的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【分析】（1）連接AG．易證△ADC≌△ABE，可得DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，AD＝AB，根據(jù)G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，可得DG＝BF，即可證明△ADG≌△ABF，可得AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，即可求得∠DAB＝∠GAF，即可解題．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題；（3）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題．【解答】解：（1）連接AG．∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．AD＝AB．∵G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，∴DG=12DC，BF=∴DG＝BF．在△ADG和△ABF中，AD=AB∠ADC=∠ABE∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB＝∠GAF．∵∠DAB＝60°，∴∠GAF＝60°．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，∴∠AFG＝60°；（2）∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝90°，∵AG＝AF，∴∠AFG=1（3）∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝α，∵AG＝AF，∴∠AFG=12（180°﹣故答案為60°，45°，12（180°﹣α【變式6-3】（2021秋?肥西縣期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動時，若∠BAC＝26°，則∠DCE＝．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B，C兩點(diǎn)重合）移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．【分析】（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；②分三種情況：（Ⅰ）當(dāng)D在線段BC上時，證明△ABD≌△ACE（SAS），則∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，推出∠DAE+∠DCE＝180°，即α+β＝180°；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時，α＝β，同理可證明△ABD≌△ACE（SAS），則∠ABD＝∠ACE，推出∠BAC＝∠DCE，即α＝β；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，由①得α＝β．【解答】解：（1）如圖1所示：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B=12（180°﹣26°）＝77°，BD＝∴BC+DC＝CE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝26°，∴∠DCE＝26°，故答案為：26°；（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三種情況：（Ⅰ）當(dāng)D在線段BC上時，α+β＝180°，如圖2所示，理由如下：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時，α＝β，如圖3所示，理由如下：同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖1所示，α＝β；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動時，α＝β或α+β＝180°．【題型7全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】【例7】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）當(dāng)∠A＝80°時，求∠EDC的度數(shù)；（2）求證：CF＝FG+CE．【分析】（1）在BC上取點(diǎn)M，使CM＝CE，證明△CDE≌△CDM（SAS），可得DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，證明∠BDM＝180°?12∠ABC﹣∠DMB＝180°?12∠（2）結(jié)合（1）然后證明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，進(jìn)而可以解決問題．【解答】（1）解：如圖，在BC上取點(diǎn)M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCD∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∴∠BDM＝180°?12∠ABC﹣∠DMB＝180°?12∠∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）證明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDF∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【變式7-1】（2022?黃州區(qū)校級模擬）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△ABC≌△ADE的條件；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到∠FAE的度數(shù)；（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延長BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFG∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【變式7-2】（2021秋?兩江新區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求證：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段FB延長線上一點(diǎn)，連接DG，點(diǎn)H是線段DG上一點(diǎn)，連接AH交BD于點(diǎn)K，連接KG．當(dāng)KB平分∠AKG時，求證：AK＝DG+KG．【分析】（1）證明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解決問題；（2）作BM平分∠ABD交AK于點(diǎn)M，證明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解決問題．【解答】證明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如圖：作BM平分∠ABD交AK于點(diǎn)M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【變式7-3】（2022春?濟(jì)南期中）把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【分析】（1）延長CB到E，使BE＝AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延長CB到E，使BE＝AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（3）在CB截取BE＝AM，連接DE，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．【解答】（1）AM+BN＝MN，證明：延長CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，證明：延長CB到E，使BE＝AM，連接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，證明：在CB截取BE＝AM，連接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠DAM=∠DBE∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【題型8全等三角形的應(yīng)用】【例8】（2022春?二七區(qū)期末）為了測量一池塘的兩端A，B之間的距離，同學(xué)們想出了如下的兩種方案：方案①如圖1，先在平地上取一個可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接AC，BC，并分別延長AC至點(diǎn)D，BC至點(diǎn)E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的長；方案②如圖2，過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過D作BD的垂線DE，在垂線上選一點(diǎn)E，使A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，則測出DE的長即是AB的距離．問：（1）方案①是否可行？請說明理由；（2）方案②是否可行？請說明理由；（3）小明說在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要AB∥DE就可以了，請把小明所說的條件補(bǔ)上．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△DCE≌△ACB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)ASA證明△ABC≌△EDC，進(jìn)一步即可得證；（3）只需要AB∥DE，此時∠ABC＝∠EDC，證明△ABC≌△EDC（ASA）即可得證．【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：在△DCE和△ACB中，DC=AC∠DCE=∠ACB∴△DCE≌△ACB（SAS），∴DE＝AB，∴方案①可行；（2）方案②可行，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDCBC=CD∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，故方案②可行；（3）只需要AB∥DE，此時∠ABC＝∠EDC，證明步驟同（2），故答案為：AB∥DE．【變式8-1】（2021春?普寧市期末）學(xué)校為開展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，成立了以小明為首的戶外測量小組，測量小組帶有測量工具：繩子、拉尺、小紅旗、測角器（可測量兩個點(diǎn)分別到測量者連線之間的夾角大小）．小明小組的任務(wù)是測量某池塘不能直接到達(dá)的兩個端點(diǎn)A、B之間的距離．（1）小明小組提出了測量方案：在池塘南面的空地上（如圖），取一個可直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，用繩子連接AC和BC，并利用繩子分別延長AC至D、BC至E，使用拉尺