新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)定理課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)定理學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理直觀想象2．會應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理證明空間位置關(guān)系的簡單命題邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|

平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果______________有一直線垂直于這兩個平面的__________，那么這條直線與另一個平面__________．符號語言圖形語言一個平面內(nèi)交線垂直a?α

a⊥l

【預(yù)習(xí)自測】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一點E，作EF⊥A1B1于點F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是

(

)A．平行 B．EF?平面A1B1C1D1C．相交但不垂直 D．相交且垂直【答案】D【解析】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又∵EF?面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1．故選D．如果α⊥β，則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線嗎？【提示】正確．若設(shè)α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，則a⊥b，故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線．|課堂互動|題型1面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥AB．證明：如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB．又∵AB?平面PAB，∴BC⊥AB．平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直．應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，注意三點：一是兩個平面垂直是前提條件；二是直線必須在其中一個平面內(nèi)；三是直線必須垂直于它們的交線．證明：如圖，設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，則EO∥PC．∴PC2＋CD2＝PD2，則PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD．∴EO⊥平面ABCD．∵EO?平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．題型2線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD．(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點，則能否在棱上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．(1)證明：設(shè)G為AD的中點，連接PG，BG，如圖．

∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，∴BG⊥AD．∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB．(2)解：當(dāng)F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD．證明如下：在△PBC中，F(xiàn)E∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE．又∵FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB．由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD．1．空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的．它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：2．空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個基本原則，解題時，要抓住幾何圖形自身的特點，如等腰（邊）三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對角線互相垂直等．還可以通過解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件，對于一些較復(fù)雜的問題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題．解：(1)如圖，取AB的中點E，連接DE，CE，因為△ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB．當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC．又因為CE?平面ABC，所以DE⊥CE．(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD．證明如下：①當(dāng)點D在平面ABC內(nèi)時，因為AC＝BC，AD＝BD，所以點C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD．②當(dāng)點D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE．又因為AC＝BC，所以AB⊥CE．又因為DE，CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE．由CD?平面CDE，得AB⊥CD．綜上所述，總有AB⊥CD．易錯警示對面面垂直性質(zhì)定理的條件把握不準(zhǔn)確致誤已知兩個平面垂直，有下列命題：①一個平面內(nèi)的一條直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)的一條直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個平面；④過平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．其中正確命題的個數(shù)是 (

)A．3 B．2C．1 D．0錯解：B易錯防范：④中過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，并沒有說明這一垂線一定在平面內(nèi)．

對于④，很容易認(rèn)為是正確的而錯選B．“兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直”與“兩個平面垂直，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線與另一個平面垂直”是不同的，關(guān)鍵是過一點作的直線不一定在平面內(nèi)．正解：如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD．對于①，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1與BD是異面直線，且夾角為60°，故①錯誤；②顯然正確；對于③，AD1?平面AA1D1D，但AD1與平面ABCD不垂直，故③錯誤；對于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，過點D作AD的垂線，假設(shè)為C1D，易證C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD顯然不成立，故④錯誤．綜上，正確命題的個數(shù)為1．故選C．|素養(yǎng)達(dá)成|面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸、轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：1．(題型1)下列命題中錯誤的是

(

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面β，其他與交線不垂直的直線均不與平面β垂直，故D項敘述是錯誤的．2．(題型1)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是 (

)A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β【答案】D【解析】A中，m，n可能為平行、垂直、異面、相交直線；B中，m，n可能為異面直線；C中，m應(yīng)與β中兩條相交直線垂直時結(jié)論才成立.3．(題型1)已知直線m，n與平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是

(

)A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α【答案】B【解析】根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知應(yīng)增加條件n⊥m，才能使n⊥β．4．(題型2)如圖，在三棱錐P－ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________．5．(題型2)如圖，在三棱錐P－ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC邊的中點．(1)求證：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°．求證：平面PEF⊥平面PBC．證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AC，BC邊的中點，∴EF∥AB．又∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平