高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題（新高考新教材）專題突破練15空間位置關(guān)系空間角的向量方法

專題突破練15空間位置關(guān)系、空間角的向量方法1.(2022·新高考Ⅱ,20)如圖,PO是三棱錐PABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E為PB的中點.(1)證明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角CAEB的正弦值.2.(2022·新高考Ⅰ,19)如圖,直三棱柱ABCA1B1C1的體積為4,△A1BC的面積為22.(1)求A到平面A1BC的距離;(2)設(shè)D為A1C的中點,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角ABDC的正弦值.3.如圖,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,D為△ABC所在平面內(nèi)一點,且四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四邊形ACC1A1為正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.(1)求證:B1O⊥平面ABCD;(2)求二面角CDC1A1的正弦值.4.(2023·新高考Ⅱ,20)如圖,在三棱錐ABCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.(1)證明:BC⊥DA;(2)點F滿足EF=DA,求二面角DABF5.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.(1)若PA=1,求證:AE⊥平面PCD;(2)當(dāng)直線PC與平面ACE所成的角最大時,求三棱錐EABC的體積.6.如圖,在三棱錐ABCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(1)求證:AC⊥BD.(2)有三個條件:①θ=60°;②直線AC與平面BCD所成的角為45°;③二面角ACDB的余弦值為33.請你從中選擇一個作為已知條件,求直線BC與平面ACD所成角的正弦值專題突破練15空間位置關(guān)系、空間角的向量方法1.(1)證明連接OA,OB,如圖所示.∵PO是三棱錐PABC的高,∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,∠POA=∠POB=90°.又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB.取AB的中點D,連接OD,DE,則OD⊥AB.∵AB⊥AC,∴OD∥AC.又AC?平面PAC,OD?平面PAC,∴OD∥平面PAC.∵D,E分別是AB,PB的中點,∴DE∥PA.又DE?平面PAC,PA?平面PAC,∴DE∥平面PAC.∵OD∩DE=D,∴平面ODE∥平面PAC.∵OE?平面ODE,∴OE∥平面PAC.(2)解過點D作DF∥OP,分別以DB,DO,DF所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵PO=3,PA=5,∴OA=4.由(1)知OB=OA=4,又∠ABO=∠CBO=30°,∴OD=2,DB=23,∴P(0,2,3),B(23,0,0),A(23,0,0),E3,設(shè)AC=a,則C(23,a,0).設(shè)平面AEB的法向量為n1=(x,y,z),AB=(43,0,0),DP=(0,2,3),則AB可取n1=(0,3,2).設(shè)平面AEC的法向量為n2=(x,y,z),AC=(0,a,0),AE=AC可取n2=(3,0,6).設(shè)二面角CAEB的平面角為θ,則|cosθ|=|cos<n1,n2>|=n1sinθ=1-因此,二面角CAEB的正弦值為11132.解(1)由題意可得,VA-A1BC=VA1-ABC=設(shè)點A到平面A1BC的距離為d,則13S△A1BC·d=1∴d=2.(2)連接AB1交A1B于點E,如圖.∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.又BC?平面A1BC,∴BC⊥AB1,又BC⊥BB1,AB1,BB1?平面ABB1A1,且AB1∩BB1=B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB,BC⊥A1B.∴AB,BC,BB1兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點,以BC,BA,BB1的方向分別為x設(shè)AA1=AB=h,則BC·h2·∴點A(0,2,0),B(0,0,0),D(1,1,1),E(0,1,1).設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面ABD的一個法向量.∵BA=(0,2,0),BD=(1,1,1),∴n令x1=1,則z1=1,∴n1=(1,0,1).由AB1⊥平面A1BC,得AE為平面BDC的一個法向量,而AE=(0,1,1),∴cos<n1,AE>=n1·AE∴二面角ABDC的正弦值為1-3.(1)證明如圖,取A1C1的中點M,連接MD,MB1,MO.由題意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,所以四邊形B1MDO是平行四邊形.因為A1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.因為四邊形ACC1A1為正方形,所以O(shè)M⊥A1C1.又OM∩B1M=M,所以A1C1⊥平面B1MDO.又MD?平面B1MDO,所以A1C1⊥DM.又平面A1DC1⊥平面A1B1C1,平面A1DC1∩平面A1B1C1=A1C1,DM?平面A1DC1,所以DM⊥平面A1B1C1.又平面ABCD∥平面A1B1C1,所以DM⊥平面ABCD.因為四邊形B1MDO是平行四邊形,所以B1O∥DM,所以B1O⊥平面ABCD.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點,OC,OD,OB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則C(1,0,0),D(0,3,0),C1(1,3,1),A1(1,3,1),所以CD=(1,3,0),DC1=(1,0,1),A1C1=(2,0,0),OD設(shè)平面CDC1的法向量為m=(x,y,z),則m令y=1,則x=3,z=3,所以m=(3,1,3)為平面CDC1的一個法向量.因為OD·A1C1=0,OD·DC1=0,所以O(shè)D=(0,設(shè)二面角CDC1A1的大小為θ,則|cosθ|=|cos<m,OD>|=|m·OD||m||OD所以二面角CDC1A1的正弦值為4274.(1)證明如圖1,連接AE,DE.∵DB=DC,E為BC的中點,∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均為等邊三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E為BC中點,∴BC⊥AE.∵AE,DE?平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE,∴BC⊥DA.圖1圖2(2)解設(shè)BC=2,由已知可得DA=DB=DC=2.DE為等腰直角三角形BCD斜邊BC上的中線,∴DE=1.∵△ABD,△ACD為等邊三角形,∴AB=AC=2.∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC為等腰直角三角形,∴AE=1.易知DE=1.∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,∴AE,BC,DE兩兩垂直.以E為坐標(biāo)原點,ED,EB,EA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,1),B(0,1,0),C(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,0),∴AB=(0,1,1).∵EF=DA=(1,0,1),∴F∴BF=(1,1,1).設(shè)平面ABD的法向量m=(x,y,z),則m令z=1,則x=1,y=1,即平面ABD的一個法向量m=(1,1,1).設(shè)平面ABF的法向量n=(u,v,w),則n·AB=0,n·BF=0,即v-w=0,設(shè)二面角DABF的平面角大小為θ,則|cosθ|=|m·n||m||n5.(1)證明∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵四邊形ABCD為矩形,∴AD⊥CD.又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD,∴CD⊥AE.∵PA=AD=1,E為PD的中點,∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.(2)解以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)AP=a(a>0),則C(2,1,0),P(0,0,a),E0,∴AC=(2,1,0),AE=0,12,a2,PC=(2,1,a設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則AC令y=a,則x=a2,z=1,∴n=a2,-a設(shè)直線PC與平面ACE所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,PC>|=|n當(dāng)且僅當(dāng)20a2=5a2,即a=2時,∴當(dāng)a=2時,直線PC與平面ACE所成的角最大,此時三棱錐EABC的體積為13×12×2×6.(1)證明如圖,取BD的中點O,連接OA,OC,則OC⊥BD.因為BC=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以O(shè)A⊥BD.又OA∩OC=O,所以BD⊥平面AOC.又AC?平面AOC,所以AC⊥BD.(2)解在直線AC上取點P,使得∠POC=90°,連接PB,PD,由(1)知BD⊥平面AOC,PO?平面AOC,所以BD⊥PO.又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.由(1)知OC⊥BD,所以O(shè)C,OD,OP兩兩互相垂直.以O(shè)為原點,OC,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.因為∠BCD=90°,BC=CD=1,所以O(shè)C=OB=OD=22又PO⊥平面BCD,所以PB=PC=PD.選①,由θ=60°,可知△PCD是等邊三角形,所以PD=CD=1,OP=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,2設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,則y=z=1,所以n=(1,1,1)為平面PCD的一個法向量.設(shè)直線BC與平面PCD所成的角為α,則sinα=|cos<BC,n>|=|BC因為平面ACD與平面PCD為同一個平面,所以直線BC與平面ACD所成角的正弦值為63選②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO為直線AC與平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,所以O(shè)P=OC=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,則y=z=1,所以n=(1,1,1)為平面PCD的一個法向量.設(shè)直線BC與平面PCD所成的角為α,則sinα=|cos<BC,n>|=|BC因為平面ACD與平面PCD為同一個平面,所以直線BC與平面ACD所成角的正弦值為63選③,作PM⊥CD,垂足為M,連接OM.由PO⊥平面BCD,