江蘇省南通市啟東中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2021-2022學(xué)年度江蘇省啟東中學(xué)高二第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)1.等差數(shù)列為遞增數(shù)列，為其前項和，已知，，則()A. B. C. D.2.橢圓與雙曲線有相同的焦點，則的值為()A.1 B. C.2 D.33.已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B. C. D.4.已知數(shù)列前項和為且

為非零常數(shù)則下列結(jié)論中正確的是(

)A.數(shù)列不是等比數(shù)列 B.時C.當(dāng)時， D.5.以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C D.6.給出下列說法：①方程表示一個圓；②若，則方程表示焦點在軸上的橢圓；③已知點、，若，則動點的軌跡是雙曲線的右支；④以過拋物線焦點的弦為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切.其中正確說法個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.47.以下四個命題表述錯誤的是()A.圓上有且僅有個點到直線的距離都等于B.曲線與曲線，恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為C.已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，為切點，則直線經(jīng)過點8.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”．在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，若，且，則解下個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為()A. B.C. D.二、多選題(本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求)9.下列四個命題中，假命題的是()A.要唯一確定拋物線，只需給出拋物線的準(zhǔn)線和焦點B.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的橢圓，只需給出一個焦點和橢圓的上一點C.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的雙曲線，只需給出雙曲線上的兩點D.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線方程和離心率10.已知拋物線的焦點為，過點任作一直線交拋物線于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線為拋物線的準(zhǔn)線，則()A.以線段為直徑的圓與直線相離B.的最小值為C.為定值D.當(dāng)，不重合時，直線，軸，直線三線交于同一點11.已知等差數(shù)列的首項為1，公差，前n項和為，則下列結(jié)論成立的有A.數(shù)列的前10項和為100B.若成等比數(shù)列，則C.若，則n的最小值為6D.若，則的最小值為12.已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則()A.雙曲線實軸長為B.雙曲線的離心率C.點為雙曲線上任意一點，若點到的兩條漸近線的距離分別為、，則D.直線與交于、兩點，點為弦的中點，若(為坐標(biāo)原點)的斜率為，則三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)13.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則____．14.過點與圓相切的直線方程為______.15.過拋物線C：的焦點F作互相垂直的弦AB，CD，則四邊形ACBD面積的最小值為____．16.2021年是中國傳統(tǒng)的“?！蹦辏梢栽谄矫孀鴺?biāo)系中用拋物線與圓勾勒出牛的形象．已知拋物線：的焦點為，圓：與拋物線在第一象限的交點為，直線：與拋物線的交點為，直線與圓在第一象限的交點為，則______；周長的取值范圍為______．四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為Sn，且，，N．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和Tn．18.如圖，圓M：，點為直線l：上一動點，過點P引圓M的兩條切線，切點分別為A、B.(1)若，求切線所在直線方程；(2)求的最小值；19.在①離心率為，且經(jīng)過點；②半長軸的平方與半焦距之比等于常數(shù)，且焦距為這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的直線存在，求出的方程；若問題中的直線不存在，說明理由.問題：已知曲線：的焦點在軸上，______，是否存在過點的直線，與曲線交于，兩點，且為線段的中點？注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.20.已知數(shù)列的前項和是，數(shù)列的前項和是，若，，．再從三個條件：①；②，；③，中任選一組作為已知條件，完成下面問題的解答．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)定義：．記，求數(shù)列的前項的和．21.已知平面內(nèi)一動點到點距離比到軸的距離大.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線與相交于，兩點，在軸上是否存在點使得？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.22.如圖，已知橢圓與等軸雙曲線共頂點，過橢圓上一點作兩直線與橢圓相交于相異兩點，直線、的傾斜角互補．直線與軸正半軸相交，分別記交點為．(1)求橢圓和雙曲線的方程；(2)若的面積為，求直線的方程；(3)若與雙曲線的左、右兩支分別交于，求的范圍．2021-2022學(xué)年度江蘇省啟東中學(xué)高二第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)1.等差數(shù)列為遞增數(shù)列，為其前項和，已知，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式基本量運算公式計算出公差，進而利用求和公式計算出答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，，得：，解得：，又因為數(shù)列遞增，所以，，所以．故選：A．2.橢圓與雙曲線有相同的焦點，則的值為()A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由雙曲線方程知，結(jié)合橢圓方程及共焦點有且，即可求值.【詳解】由雙曲線知：且，而其與橢圓有相同焦點，∴且，解得，故選：A3.已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當(dāng)AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題．4.已知數(shù)列前項和為且

為非零常數(shù)則下列結(jié)論中正確的是(

)A.數(shù)列不是等比數(shù)列 B.時C.當(dāng)時， D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，利用數(shù)列通項和前n項和的關(guān)系求解，再逐項判斷.【詳解】解：因為，所以，當(dāng)時，，兩式相減得，又，所以數(shù)列是以p為首項，以為公比的等比數(shù)列，故A錯誤；當(dāng)時，，故B錯誤；當(dāng)時，，所以，故C正確；由得，故D錯誤，故選：C5.以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】先由雙曲線方程，得到右頂點坐標(biāo)，設(shè)所求拋物線方程為，得到，進而可求出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的方程可得：右頂點為：，設(shè)所求拋物線方程為：，因為其以為焦點，所以，因此；故拋物線方程為：.故選：A【點睛】本題主要考查由焦點坐標(biāo)求拋物線方程，熟記雙曲線的性質(zhì)以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.給出下列說法：①方程表示一個圓；②若，則方程表示焦點在軸上的橢圓；③已知點、，若，則動點的軌跡是雙曲線的右支；④以過拋物線焦點的弦為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切.其中正確說法的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】對于①，由配方法整理方程，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案；對于②，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案；對于③，根據(jù)雙曲線的定義，可得答案；對于④，根據(jù)拋物線定義，結(jié)合圓與直線的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】方程即不表示圓，故①錯；若m>n>0，則方程，即，所以表示焦點在y軸上的橢圓，故②對；已知點、，若，所以動點P的軌跡是一條射線，故③錯；設(shè)過拋物線焦點的直線與拋物線的交點為A,B，線段AB的中點為M,由拋物線的定義可得即為AB兩點到準(zhǔn)線的距離和，即為M點到準(zhǔn)線距離的兩倍，所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故④對；故選：B.7.以下四個命題表述錯誤的是()A.圓上有且僅有個點到直線的距離都等于B.曲線與曲線，恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為C.已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，為切點，則直線經(jīng)過點【答案】B【解析】【分析】選項A根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來確定所求點的個數(shù)；選項B根據(jù)兩曲線有四條公切線，確定曲線類型為圓，再由兩圓外離列不等式求解；選項C利用圓心與切點的連線垂直切線列等式，轉(zhuǎn)化為求圓心到直線上的點的距離的最小值問題；選項D，設(shè)點為直線上一點，求出切線的方程即可判斷．【詳解】解：選項A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個點到直線的距離都等于，故選項A正確；選項B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓，方程可化為，因為圓與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑，同時兩圓的位置關(guān)系為外離，有，即，解得，故B錯誤；選項C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時等號成立，所以的最小值為，故選項C正確；選項D：設(shè)點為直線上一點，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，所以直線過定點，D正確．故選：B．8.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”．在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，若，且，則解下個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式逐項計算可得出，即為所求.【詳解】數(shù)列滿足．且，所以，，，，.所以解下個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為．故選：C．二、多選題(本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求)9.下列四個命題中，假命題的是()A.要唯一確定拋物線，只需給出拋物線的準(zhǔn)線和焦點B.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的橢圓，只需給出一個焦點和橢圓的上一點C.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的雙曲線，只需給出雙曲線上的兩點D.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線方程和離心率【答案】CD【解析】【分析】對于四個選項，分別根據(jù)圓錐曲線的定義逐項進行判斷即可．【詳解】A：選項中給出拋物線上的焦點和準(zhǔn)線，由拋物線定義可確定拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離，所以能唯一確定拋物線，故A正確；B：選項中以坐標(biāo)原點為中心，給出橢圓的一個焦點，則另一個焦點能確定，再給出橢圓上一點，則可確定橢圓上點到兩個焦點的距離和，由橢圓定義可知，能唯一確定橢圓，所以B選項正確；C：選項中以坐標(biāo)原點為中心，若給出的雙曲線上的兩點關(guān)于雙曲線的對稱軸對稱，則無法確定雙曲線，所以C選項不正確；D：選項給出雙曲線的一條漸近線方程和離心率，但無法確定焦點的位置，所以無法唯一確定雙曲線，所以D選項不正確．故選：CD．10.已知拋物線的焦點為，過點任作一直線交拋物線于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線為拋物線的準(zhǔn)線，則()A.以線段為直徑的圓與直線相離B.的最小值為C.為定值D.當(dāng)，不重合時，直線，軸，直線三線交于同一點【答案】ABCD【解析】【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)和、的方程，方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，利用已知條件，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：設(shè)為線段的中點，則點到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線一定相切，進而與直線一定相離，A正確；設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，則，．于是，當(dāng)時，有最小值為，B正確；由，，得為定值，故C對；，則直線的方程為，令，得即與軸的交點為，恰為準(zhǔn)線與軸的交點，故D正確．故選：ABCD．11.已知等差數(shù)列的首項為1，公差，前n項和為，則下列結(jié)論成立的有A.數(shù)列的前10項和為100B.若成等比數(shù)列，則C.若，則n的最小值為6D.若，則的最小值為【答案】AB【解析】【分析】由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列通過公式即可求得前10項和;通過等比中項可驗證B選項;因為,通過裂項求和可求得;由等差的性質(zhì)可知利用基本不等式可驗證選項D錯誤.【詳解】由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列,則前10項和為.所以A正確;成等比數(shù)列,則,即,解得故B正確;因為所以,解得,故的最小值為7,故選項C錯誤;等差的性質(zhì)可知,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號,因為,所以不成立,故選項D錯誤.故選:AB【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查裂項求和,等比中項,和基本不等式求最值,難度一般.12.已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則()A.雙曲線的實軸長為B.雙曲線的離心率C.點為雙曲線上任意一點，若點到的兩條漸近線的距離分別為、，則D.直線與交于、兩點，點為弦的中點，若(為坐標(biāo)原點)的斜率為，則【答案】BCD【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線與圓相切求出的值，結(jié)合離心率公式可判斷AB選項的正誤；設(shè)點，則，結(jié)合點到直線的距離公式可判斷C選項的正誤；利用點差法可判斷D選項的正誤.【詳解】解：由題意知的漸近線方程為，所以，因為，則，所以雙曲線的實軸長為，故A錯誤；，所以，故B正確；設(shè)，則，，故C正確；設(shè)、，則，兩式作差得，所以，，D對.故選：BCD.三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)13.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則____．【答案】.【解析】【分析】利用求解即可.【詳解】當(dāng)時可得，當(dāng)時，由，得，兩式做差可得，因為，所以數(shù)列是從第二項開始，以3為公比的等比數(shù)列，所以故答案為：14.過點與圓相切的直線方程為______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、所求直線的斜率不存在，則直線的方程為，驗證是否與圓相切，②、所求直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由直線與圓的位置關(guān)系可得的值，即可得此時直線的方程，綜合2種情況即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①、所求直線的斜率不存在，則直線的方程為，與圓相切，符合題意；②、所求直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即，要求直線與圓相切，則有，解可得，此時要求直線的方程為：，綜上可得：所求直線的方程為：或故答案為或【點睛】本題考查圓的切線方程的計算，注意分析直線的斜率是否存在，屬于基礎(chǔ)題．15.過拋物線C：的焦點F作互相垂直的弦AB，CD，則四邊形ACBD面積的最小值為____．【答案】32【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，將直線的方程代入拋物線的方程，列出韋達定理，利用拋物線的定義得出，同理得出，由面積公式結(jié)合基本不等式可得出四邊形面積的最小值．【詳解】如下圖所示，顯然焦點的坐標(biāo)為，所以，可設(shè)直線的方程為，將直線的方程代入拋物線的方程并整理得，所以，，所以，，同理可得，由基本不等式可知，四邊形的面積為．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，四邊形的面積的最小值為32．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系應(yīng)用，弦長的求法，基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力．16.2021年是中國傳統(tǒng)的“?！蹦?，可以在平面坐標(biāo)系中用拋物線與圓勾勒出牛的形象．已知拋物線：的焦點為，圓：與拋物線在第一象限的交點為，直線：與拋物線的交點為，直線與圓在第一象限的交點為，則______；周長的取值范圍為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】聯(lián)立圓與拋物線的方程即可求得m，然后由分別與拋物線，與圓的方程聯(lián)立求得A，B的坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：由，解得，∴由，解得，所以由，解得，所以，由拋物線的定義得：∴，∴周長，，.，故答案為：2，．四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為Sn，且，，N．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和Tn．【答案】(1)；(2)證明見解析，【解析】【分析】(1)由和分別表示出等式中的、、和，解方程組求出和，再由等比數(shù)列的通項公式表示出即可；(2)時，求出，時，由和的關(guān)系得到，進而求出，用定義證明數(shù)列是等差數(shù)列即可，分別求出數(shù)列和的前項和，從而求出.【詳解】(1)由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，所以.(2)由題意，當(dāng)時，，又，所以，當(dāng)時，，所以，所以，又，所以，，所以，所以，，所以數(shù)列是以首項為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，所以數(shù)列的前項和.【點睛】本題主要考查求等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，考查分組求和的計算方法，屬于中檔題.18.如圖，圓M：，點為直線l：上一動點，過點P引圓M的兩條切線，切點分別為A、B.(1)若，求切線所在直線方程；(2)求的最小值；【答案】(1)切線方程為，(2)【解析】【分析】(1)設(shè)出切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解；(2)將弦長構(gòu)造成角度的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可.【詳解】(1)由題意，切線斜率存在，可設(shè)切線方程為，即，則圓心M到切線的距離，解得或，故所求切線方程為，；(2)連接，交于點N，設(shè)，則，在中，，因為，，，.故的最小值為.【點睛】本題考查圓的切線方程的求解，以及圓中弦長的最值問題，屬綜合題；第二問的難點在于如何構(gòu)造函數(shù)，本題以角度入手，值得總結(jié).19.在①離心率為，且經(jīng)過點；②半長軸的平方與半焦距之比等于常數(shù)，且焦距為這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的直線存在，求出的方程；若問題中的直線不存在，說明理由.問題：已知曲線：的焦點在軸上，______，是否存在過點的直線，與曲線交于，兩點，且為線段的中點？注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【解析】【分析】選條件：可得曲線為焦點在軸上的雙曲線，根據(jù)條件求出雙曲線方程，根據(jù)直線的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時易得直線方程，驗證是否滿足題意即可；斜率存在時，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達定理驗證是否滿足題意；選條件：可得曲線為焦點在軸上的橢圓，根據(jù)條件求出橢圓方程，根據(jù)直線的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時易得直線方程，驗證是否滿足題意即可；斜率存在時，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理驗證是否滿足題意.【詳解】選條件：由題設(shè)得曲線為焦點在軸上的雙曲線，設(shè)，，所以的方程為，由題設(shè)得，解得，，所以的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，與曲線有且僅有一個交點，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，直線的方程為，即，代入得，若，即時，方程有且僅有一解，不符合題意；若，即時，其判別式，則，所以方程有兩個不同實數(shù)解時，，于是，解得，與且矛盾，所以，不存在直線，與曲線交于，兩點，且為線段中點．選條件：由題設(shè)得曲線為焦點在軸上的橢圓，設(shè)，，所以的方程為，由題設(shè)得，解得，，所以的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入得，不是線段的中點，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，直線的方程為，即，代入得，其判別式，于，解得，故，即，所以存在直線：，與曲線交于，兩點，且為線段的中點．【點睛】方法點睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．20.已知數(shù)列的前項和是，數(shù)列的前項和是，若，，．再從三個條件：①；②，；③，中任選一組作為已知條件，完成下面問題的解答．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)定義：．記，求數(shù)列的前項的和．【答案】選擇見解析；(1)；(2)．【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件可知數(shù)列是公比為