陜西省西安市含光中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

陜西省西安市含光中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.給出以下四個數(shù)：6，-3，0，15，用冒泡排序法將它們按從大到小的順序排列需要經(jīng)過幾趟（

）A．1B．2C．3D．4

參考答案：C2.若橢圓的離心率為，則實數(shù)m等于(

)A．3

B．1或3

C．3或

D．1或參考答案：C3.下列說法中，正確的個數(shù)是（

）(1)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等。（2）與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多

的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息。(3)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這一組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不改變。(4)一個樣本的方差，則這組數(shù)據(jù)的總和等于60.(5)數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為A.5

B.4

C.3

D.2

參考答案：A略4.已知命題p：?n∈N，n+＜4，則?p為（）A．?n∈N，n+＜4 B．?n∈N，n+＞4 C．?n∈N，n+≤4 D．?n∈N，n+≥4參考答案：D【考點】命題的否定．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行判斷即可．【解答】解：命題為特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得命題的否定為：?n∈N，n+≥4，故選：D．5.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學(xué)，這個同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的數(shù)學(xué)期望為()．A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1參考答案：A依題意得，得分之和X的可能取值分別是0、1、2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴得分之和X的分布列為X

0

1

2

P

0.3

0.5

0.2

∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.6.已知命題對于恒有成立；命題奇函數(shù)的圖像必過原點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為真

B．為真

C．為真

D．為假參考答案：C7.已知x+2y=1，則2x+4y的最小值為（） A．8 B． 6 C． D． 參考答案：C8.已知三次函數(shù)f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在x∈（﹣∞，+∞）無極值點，則m的取值范圍是（）A．m＜2或m＞4 B．m≥2或m≤4 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4參考答案：C【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為則f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即△≤0即可，求出m的范圍即可．【解答】解：f′（x）=x2﹣2（4m﹣1）x+（15m2﹣2m﹣7）若f（x）在（﹣∞，+∞）上無極值點，則f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即△≤0即可，即[﹣2（4m﹣1）]2﹣4（15m2﹣2m﹣7）≤0，解得：2≤m≤4，故選：C．9.設(shè)，，若，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.已知P為△ABC所在平面α外一點，PA=PB=PC，則P點在平面α內(nèi)的射影一定是△ABC的

（

）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線頂點為，焦點為，是拋物線上的動點，則的最大值為

．參考答案：略12.已知不等式解集為，則不等式的解集為____

.參考答案：13.已知a∈R，若在區(qū)間（0，1）上只有一個極值點，則a的取值范圍為．參考答案：a＞0【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用極值、函數(shù)單調(diào)性，即可確定a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=（x+）ex，∴f′（x）=（）ex，設(shè)h（x）=x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，∵h(yuǎn)（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一個零點x0，使得f′（x0）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0為函數(shù)f（x）在（0，1）上唯一的極小值點；a=0時，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，此時h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值；a＜0時，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值．綜上所述，a＞0，故答案為：a＞0．14.過拋物線C：y2=4x的焦點F作直線l將拋物線C于A、B，若|AF|=4|BF|，則直線l的斜率是

．參考答案：【考點】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合|AF|=3|BF|，轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線斜率的方程求解．【解答】解：∵拋物線C方程為y2=4x，可得它的焦點為F（1，0），∴設(shè)直線l方程為y=k（x﹣1），由，消去x得y2﹣y﹣k=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=4|BF|，∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4，解得y2=±1，解，得k=±．故答案為：．15.過拋物線x2=2py（p＞0）的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點（點A在y軸左側(cè)），則=．參考答案：3【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】作AA1⊥x軸，BB1⊥x軸．則可知AA1∥OF∥BB1，根據(jù)比例線段的性質(zhì)可知==，根據(jù)拋物線的焦點和直線的傾斜角可表示出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理求得xA+xB和xAxB的表達(dá)式，進(jìn)而可求得xAxB=﹣（）2，整理后兩邊同除以xA2得關(guān)于的一元二次方程，求得的值，進(jìn)而求得．【解答】解：如圖，作AA1⊥x軸，BB1⊥x軸．則AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知xA＜0，xB＞0，∴=﹣，∵直線AB方程為y=xtan30°+即y=x+，與x2=2py聯(lián)立得x2﹣px﹣p2=0∴xA+xB=p，xA?xB=﹣p2，∴xAxB=﹣p2=﹣（）2=﹣（xA2+xB2+2xAxB）∴3xA2+3xB2+10xAxB=0兩邊同除以xA2（xA2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵xA+xB=p＞0，∴xA＞﹣xB，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案為：3【點評】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系以及比例線段的知識．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．16.設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項和為，則

參考答案：17.

一個長方體的各頂點均在同一個球的球面上，且過同一個頂點的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積是

；參考答案：14π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）作出函數(shù)圖象，并求不等式f（x）＞2的解集；（2）設(shè)g（x）=，若對于任意的x1，x2∈[3，5]都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求正實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【分析】（1）去掉絕對值，化簡函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象．（2）由題意可得當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）max≤g（x）min，由于當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）max=3，故g（x）的最小值大于或等于3．分當(dāng)∈[3，5]、當(dāng)∈（0，3）、當(dāng)＞5三種情況，分別求得m的范圍，綜合可得結(jié)論．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|=，如圖所示：令=2，求得x=，故結(jié)合圖象，由f（x）＞2可得x＜，或x＞3．（2）設(shè)g（x）=，若對于任意的x1，x2∈[3，5]，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，故當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）max≤g（x）min．由于當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）max=5﹣2=3，故g（x）的最小值大于或等于3．∵m＞0，g（x）=x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=∈[3，5]時取等號，顯然滿足2≥3，故有m∈[9，25]．當(dāng)∈（0，3），即0＜m＜9時，＜3，g（x）=x+在[3，5]上單調(diào)遞增，g（x）的最小值為g（3）=3+＞3，滿足條件．當(dāng)＞5，即m＞25時，＞5，g（x）=x+在[3，5]上單調(diào)遞減19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，，60°，，E是PC的中點.（1）證明：AE⊥平面PCD；（2）求二面角A-PD-C的正弦值.參考答案：（1）證明：在四棱錐P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA

……………2分由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，∴AE⊥CD

……………4分由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD

……………6分（2）解過點E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示.由(1)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則AM⊥PD.因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角

……………8分由已知，可得∠CAD＝30°.設(shè)AC＝a，可得PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a.在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，則AM＝＝＝a

……………10分在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝.所以二面角A－PD－C的正弦值為

……………12分方法二：∵AB=BC且∠ABC=60°

∴AB=BC=AC又∴AB⊥AD

且AC⊥CD∴∠DAC=30°，∠ADC=60°

……………2分不妨令

PA=AB=BC=AC=a分別以AB、AD、PA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則A（0,0,0）

B（a,0,0）P（0,0,a）

D（0,,0）C（）

E（）

……………4分（1）

且∴AE⊥面PCD

……………6分（2）為面PAD的一個法向量

……………7分

由（1）知為面PCD的一個法向量

……………8分∴二面角的余弦值

…………10分∴二面角的正弦值為

…………12分20.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，焦距是． （1）求橢圓的方程； （2）若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，，求k的值． 參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)． 【專題】計算題；整體思想；設(shè)而不求法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】（1）由題意知，，從而求橢圓的方程即可． （2）設(shè)出交點坐標(biāo)，聯(lián)立方程化簡得（1+3k2）x2+12kx+9=0，從而結(jié)合韋達(dá)定理及兩點間的距離公式求解即可． 【解答】解：（1）由題意知， 故c2=2， 又∵， ∴a2=3，b2=1， ∴橢圓方程為． （2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）， 將y=kx+2代入， 化簡整理可得，（1+3k2）x2+12kx+9=0， 故△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0， 故k2≥1； 由韋達(dá)定理得， ， 故， 而y1﹣y2=k（x1﹣x2）， 故； 而代入上式， 整理得7k4﹣12k2﹣27=0， 即（7k2+9）（k2﹣3）=0， 解得k2=3，故． 【點評】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用及學(xué)生的化簡運算能力． 21.已知動點P與雙曲線x2－y2＝1的兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為定值，（1）求動點P的軌跡方程；（2）設(shè)M(0，－1)，若斜率為k(k≠0)的直