新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加減運算的坐標(biāo)表示教師用書新人教A版必修第二冊

6.3.2平面對量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面對量加、減運算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解平面對量的正交分解，把握向量的坐標(biāo)表示．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解向量坐標(biāo)的概念，把握兩個向量和、差的坐標(biāo)運算法則．(數(shù)學(xué)運算)如圖，在物理學(xué)中，一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G，其作用體現(xiàn)在兩個方向：與斜面平行的方向和與斜面垂直的方向，故在解決問題時，經(jīng)常要把重力分解為使物體沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2．在實際應(yīng)用中，經(jīng)常需要把一個力、速度、位移等分解為不同方向的重量的和．學(xué)問點1平面對量坐標(biāo)的相關(guān)概念學(xué)問點2平面對量加、減運算的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有下表：運算文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要結(jié)論一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，則AB＝(xB－xA，yB－yA)向量坐標(biāo)與點的坐標(biāo)的區(qū)分是什么？[提示]意義不同．點A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，向量a＝(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．1．設(shè)i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，則a＋b與a－b的坐標(biāo)分別為________．[答案](2，5)，(4，3)2．已知點A(1，－2)，點B(4，0)，則向量AB＝________．[答案](3，2)類型1平面對量的坐標(biāo)表示【例1】已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，(1)求向量OA的坐標(biāo)；(2)若B(3，－1)，求BA的坐標(biāo)．[解](1)設(shè)點A(x，y)，則x＝|OA|cos60°＝43cos60°＝23，y＝|OA|sin60°＝43sin60°＝6，即A(23，6)，所以O(shè)A＝(23，6)．(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．求點、向量坐標(biāo)的常用方法(1)求一個點的坐標(biāo)：可利用已知條件，先求出該點相對應(yīng)坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo)，該坐標(biāo)就等于相應(yīng)點的坐標(biāo)．(2)求一個向量的坐標(biāo)：首先求出這個向量的始點、終點坐標(biāo)，再運用終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo)．[跟進訓(xùn)練]1．如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i，j，{i，j}作為基底，分別用i，j表示OA，[解]由題圖可知，OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它們的坐標(biāo)表示為OA＝(6，2)，OB＝(2，4)，AB＝(－4，2)．類型2平面對量的坐標(biāo)運算【例2】(1)已知點A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，則向量BC＝()A．(－7，－4) B．(7，4)C．(－1，4) D．(1，4)(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐標(biāo)．(1)A[法一：設(shè)C(x，y)，則AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x=-4，y=-2，從而BC＝(－4，－2)－(3，2)法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC＝AC-AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－故選A．](2)[解]a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)．平面對量坐標(biāo)(線性)運算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差的運算法則進行．(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則必需先求出向量的坐標(biāo)，再進行向量的坐標(biāo)運算．(3)向量的坐標(biāo)(線性)運算可類比數(shù)的運算進行．[跟進訓(xùn)練]2．若A，B，C三點的坐標(biāo)分別為(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求AB+[解]法一：∵AB＝(－2，10)，BC＝(－8，4)，AC＝(－10，14)，∴AB+BC＝(－2，10)＋(－8，4)＝(－10，BC-AC＝(－8，4)－(－10，14)＝(2，－法二：∵AB＝(－2，10)，BC＝(－8，4)，AC＝(－10，14)，∴AB+BC＝AC＝(－10，14)，BC-AC＝BA＝－AB＝類型3平面對量坐標(biāo)運算的應(yīng)用【例3】已知點O(0，0)，A(1，2)．(1)若點B(3t，3t)，OP＝OA+OB，則t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，則四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求t值；若不能，說明理由．[解](1)OP＝OA+OB＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t若點P在x軸上，則2＋3t＝0，∴t＝－23若點P在y軸上，則1＋3t＝0，∴t＝－13若點P在其次象限，則1+3t<0∴－23<t<－1(2)OA＝(1，2)，PB＝OB-OP＝(3－3t，3－3t若四邊形OABP為平行四邊形，則OA＝PB，∴3-故四邊形OABP不能成為平行四邊形．向量相等的條件及其應(yīng)用(1)條件：相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等．(2)應(yīng)用：利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可以求出某些參數(shù)的值或點的坐標(biāo)．[跟進訓(xùn)練]3．已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)，使這四點為平行四邊形的四個頂點．[解]設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由AB＝(1，2)，DC＝(3－x，4－y)，且AB＝DC，得D(2，2)；當(dāng)平行四邊形為ACDB時，由AB＝(1，2)，CD＝(x－3，y－4)，且AB＝CD，得D(4，6)；當(dāng)平行四邊形為ACBD時，由AC＝(5，3)，DB＝(－1－x，3－y)，且AC＝DB，得D(－6，0)，故點D的坐標(biāo)為(2，2)或(4，6)或(－6，0)．1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，則b－a等于()A．(－2，1) B．(2，－1)C．(2，0) D．(4，3)[答案]B2．已知A(2，－3)，AB＝(3，－2)，則點B的坐標(biāo)為()A．(－5，5) B．(5，－5)C．(－1，1) D．(1，1)B[OB＝OA+AB＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．故選B3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j，以{i，j}作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，若|a|＝2，θ＝45°，則向量a的坐標(biāo)為________．(2，2)[由題意知a＝2cos45°i＋2sin45°j＝2i＋2j＝(2，4．已知平行四邊形OABC，其中O為坐標(biāo)原點，若A(2，1)，B(1，3)，則點C的坐標(biāo)為________．(－1，2)[設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，則由已知得OC＝AB，所以(x，y)＝(－1，2)．]回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．平面對量正交分解與平面對量基本定理存在哪些聯(lián)系？[提示]平面對量的正交分解實質(zhì)上是平面對量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個基向量e1和e2相互垂直．2．向量終點的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)嗎？[提示]假如一個向量的起點是坐標(biāo)原點，這個向量終點的坐標(biāo)就是這個向量的坐標(biāo)；若向量的起點不是原點，則向量的終點坐標(biāo)不是向量的坐標(biāo)，如：若A(xA，yA)，B(xB，yB)，則AB＝(xB－xA，yB－yA)．3．如何求兩個向量的和或差的坐標(biāo)？[提示]向量和、差的坐標(biāo)就是它們對應(yīng)向量坐標(biāo)的和、差．課時分層作業(yè)(八)平面對量的正交分解及坐標(biāo)表示平面對量加、減運算的坐標(biāo)表示一、選擇題1．假如用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，則AB可以表示為()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋jC[記O為坐標(biāo)原點，則OA＝2i＋3j，OB＝4i＋2j，所以AB＝OB-OA＝2i－j．故選C2．已知向量AB＝(2，4)，AC＝(0，2)，則BC＝()A．(－2，－2) B．(2，2)C．(1，1) D．(－1，－1)A[BC＝AC-AB＝(－2，－2)．故選A3．(多選)下面幾種說法中正確的有()A．相等向量的坐標(biāo)相同B．平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)C．一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量D．平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應(yīng)ABD[由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個坐標(biāo)可對應(yīng)很多個相等的向量，故C錯誤．]4．已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，則頂點D的坐標(biāo)為()A．(－7，0) B．(7，6)C．(6，7) D．(7，－6)D[由于四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB＝DC．設(shè)D(x，y)，則有(－1－5，7＋1)＝(1－x，2－y)，即-6=1-因此D點坐標(biāo)為(7，－6)．]5．(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，點A(2，3)，B(－3，4)，如圖所示，x軸、y軸正方向上的兩個單位向量分別為i和j，則下列選項正確的是()A．OA＝2i＋3j B．OB＝3i＋4jC．AB＝－5i＋j D．BA＝5i－jACD[i，j相互垂直，故可作為基底，由平面對量基本定理，有OA＝2i＋3j，OB＝－3i＋4j，AB＝OB-OA＝－5i＋j，BA＝OA-OB＝5i二、填空題6．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．－3[由于a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2m+n=9，m所以m－n＝2－5＝－3．]7．已知2023個向量的和為零向量，且其中一個向量的坐標(biāo)為(8，15)，則其余2022個向量的和為________．(－8，－15)[設(shè)其余2022個向量的和為(x，y)，則(8，15)＋(x，y)＝(0，0)，∴(x，y)＝(－8，－15)．]8．如圖，在?ABCD中，AC為一條對角線，若AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，則BD＝________．(－3，－5)[BC＝AC-AB＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，BD＝BC+CD＝BC-AB＝(－1，－1)－(2，4)＝(三、解答題9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．(1)若OP＝AB+AC，求點(2)若PA+PB+PC＝[解](1)由于AB＝(1，2)，AC＝(2，1)，所以O(shè)P＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即點P的坐標(biāo)為(3，3)．(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，由于PA+PB+PC＝0，又PA+PB+PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3所以6-3x=0所以點P的坐標(biāo)為(2，2)，故OP＝(2，2)．10．已知M(3，－2)，N(5，－1)，若NP＝MN，則點P的坐標(biāo)為()A．(3，2) B．(3，－1)C．(7，0) D．(1，0)C[設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則NP＝(x－5，y＋1)．MN＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，由于NP＝MN，即(x－5，y＋1)＝(2，1)，所以x-5=2，y+1=1，解得x=7，y=0，所以點P11．若{i，j}為正交基底，設(shè)a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則向量a對應(yīng)的坐標(biāo)位于()A．第一、二象限 B．其次、三象限C．第三象限 D．第四象限D(zhuǎn)[由于x2＋x＋1＝x+122＋3－(x2－x＋1)＝－x-12所以向量a對應(yīng)的坐標(biāo)位于第四象限．]12．對于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定義m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于()A．2，45C．2，-4A[設(shè)b＝(x，y)，由新定義及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝45，所以向量b＝2，13．已知在非平行四邊形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三點的坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，0)，(1，1)，則頂點C的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．(1，3)∪(3，＋∞)[當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時，則AC＝AB+AD＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故滿足題意的頂點C的橫坐標(biāo)的取值范圍是(1，3)∪(3，＋∞)14．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝a，AB＝b，四邊形OABC為平行四邊形．(1)求向量a，b的坐標(biāo)；(2)求點B的坐標(biāo)．[解](1)過點A作AM⊥x軸于點M(圖略)，則OM＝OA·cos45°＝4×22＝22AM＝OA·sin45°＝4×22＝22∴A(22，22)，故a＝(22，22)．∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°．又OC＝AB＝3，∴C-32，332，∴即b＝-3(2)