1.6 完全平方公式（第1課時）課件 2023-2024學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)

1.6完全平方公式（第1課時）計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4（3）（p－1)2=(p－1)(p－1)=

.p2－2p+1（4）（m－2)2=(m－2)(m－2)=

.m2－4m+4根據(jù)上面的規(guī)律，你能直接下面式子的寫出答案嗎？(a＋b)2=

.a2+2ab+b2(a－b)2=

.a2－2ab+b2我們來計算下列(a+b)2，(a－b)2.(a+b)2=

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2.(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ab+b2

=a2－2ab+b2.完全平方公式（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2

兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫作完全平方公式.簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”公式的特點(diǎn)：4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項式和多項式.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b21.積為二次三項式；2.其中兩項為兩數(shù)的平方和；3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與左邊乘式中間的符號相同.首平方，尾平方，積的2倍在中央你能用圖解釋這一公式嗎?

babababa=++a2ababb2（a+b）2=a2+2ab+b2思考：你能根據(jù)下圖解釋這個公式嗎?a?ba?baabb（a-b)2陰影部分的面積是：_________abb(a-b)abb(a-b)所以（a-b)2=a2-ab-b(a-b)

=a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2陰影部分的面積也可以用大正方形面積減去_____和_________兩數(shù)和的完全平方公式：兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的兩倍兩數(shù)差的完全平方公式：兩數(shù)差的平方等于這兩數(shù)的平方和減去這兩數(shù)積的兩倍上面兩個公式稱為完全平方公式.

例1.利用完全平方公式計算：(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)

(mn－a)2

.解：(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32

=4x2－12x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2；(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2

=m2n2－2amn+a2.思考(a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相等嗎?(a-b)2與a2-b2相等嗎?為什么?解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有當(dāng)b=0或a=b時，(a-b)2=a2-b2.例2.運(yùn)用乘法公式計算:(1)(x+2y－3)(x－2y+3);

解:原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]=x2－(2y－3)2=x2－(4y2－12y+9)=x2－4y2+12y－9.(2)(a+b－5)2.解：原式=[(a+b)－5]2=(a+b)2－10(a+b)+52=a2+2ab+b2－10a－10b+25方法總結(jié)：把其中兩項看成一個整體，再運(yùn)用完全平方公式計算.方法總結(jié)：需要分組.分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”.方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.例3如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．例4.已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.解：因為a2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab

＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab

＝13－2×6＝1.1.在下列計算中，正確的是(

)A．m3＋m2＝m5B．m5÷m2＝m3C．(2m)3＝6m3D．(m＋1)2＝m2＋12.若x2＋6x＋k是完全平方式，則k等于(

)A．9B．－9C．±9D．±33.若(x＋3)2＝x2－ax＋9，則a的值是(

)

A.3B.－3C.6D.－6D4.下列各式中，與（-a+1）2相等的是（）A．a(chǎn)2-1 B．a(chǎn)2+1 C．a(chǎn)2-2a+1

D．a(chǎn)2+2a+1C5.下列計算正確的是(

)A．(a＋2)(a－2)＝a2－2B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2C．(a＋b)2＝a2＋b2D．(a－b)2＝a2－2ab＋b26.利運(yùn)用完全平方公式計算：(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52

＝4x2－20x＋25；(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2

1.完全平方公式：想一想，怎樣計算1022,1972更簡單呢？(1)1022；(2)1792.因為102比較接近______，所以102可以寫成_____________,1022可以寫成_____________.100（100+2）（100+2）2

解：1022

=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404思考：把1972改寫成(a+b)2還是(a?b)2的形式?因為197比較接近______，所以197可以寫成_____________,1972可以寫成_____________.200（200-3）（200-3）2

解：1972

=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809通過上面的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？

完全平方公式在用于簡便運(yùn)算的應(yīng)用時，關(guān)鍵是找到與原數(shù)接近的整數(shù)，再將原數(shù)與整數(shù)進(jìn)行比較，變形成(a+b)2還是(a?b)2的形式，使之符合公式的特點(diǎn)，再用完全平方公式進(jìn)行求解．例1.計算：(1)(x+3)2-x2;解：(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9(2)(a+b+3)(a+b-3);解：(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32

=a2+2ab+b2-9例2.化簡：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)=(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4.例3.已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.解：因為a2＋b2＝13，ab＝6，

所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.常見的完全平方公式的變形完全平方公式變形(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab

②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab

②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：①位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2

③指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2

⑤換式變化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2

⑥增項變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2

=x2-2xy

+y2-z2

⑦連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4

⑧逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]

=2x(-2y+2z)

=-4xy+4xz一位老人非常喜歡孩子．每當(dāng)有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們．如果來1個孩子，老人就給這個孩子1塊糖果；來2個孩子，老人就給每個孩子2塊糖果；如果來3個孩子，老人就給每個孩子3塊糖果……

假如第一天有a個孩子一起去看老人，第二天有b個孩子一起去看老人，第三天有(a+b)個孩子一起去看老人，那么第三天老人給出去的糖果和前兩天給出去的糖果總數(shù)一樣多嗎？

請你用所學(xué)的公式解釋自己的結(jié)論.第一天a個孩子，給出去的糖果a×a=a2.第二天b個孩子，給出去的糖果b×b=b2.第二天(a+b)個孩子，給出去的糖果(a+b)2=a2+2ab+b2.所以第三天老人給出去的糖果比前兩天給出去的糖果多.1.將9.52變形正確的是(

)A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.52C2.若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，則A為(

)A．2abB．－2abC．4abD．－4ab3.若(2a＋3b)(

)＝4a2－9b2，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是(

)

A.－2a－3b

B.2a＋3bC.2a－3b

D.3b－2